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河南南阳市2025-2026学年高二下学期期中质量评估数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（ ）
A. B. C. D.
3.函数在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（）
A. B. C. D.
5.在等差数列中，，等比数列满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列{}的前n项和为,且,,成等差数列,则=( )
A. 1或 B. 1或 C. 2或 D. 或
7.若数列满足，，则（ ）
A. 1020 B. 1024 C. 2044 D. 2048
8.已知单调递增数列的通项公式为，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论错误的是（）
A. 由样本数据得到的回归直线必过点
B. 若两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数就越接近于1
C. 从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌
D. 若散点图中所有点都在直线上，则样本相关系数
10.设{}是等差数列，是其前n项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与均为的最大值
11.如图，有一列曲线，，，…，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线的边数，为曲线所围成图形的面积，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列：1，，，4，，…，则是这个数列的第 项．
13.等比数列的公比为q，前n项和为，若，则 ．
14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）求函数的导函数；
（2）求曲线在点处的切线方程．
16.(本小题15分)
直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2025年前5个月的带货金额：
月份x 1 2 3 4 5
带货金额y/万元 350 440 580 700 880
(1)求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年7月份该公司的直播带货金额；
(2)该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女性 30 35
男性 10
总计
请填写上表，并判断是否有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关？
参考数据：，，，．
参考公式：，；
，其中．
0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
17.(本小题15分)
已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列是等差数列，并求；
(2)令，设数列的前n项和为．证明：．
18.(本小题17分)
一辆快递车从A地往B地运送快递，沿途（包括A，B）共有10站．从A地出发时，装上发往后面9站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件．设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列．
(1)求，，，并写出与的递推关系式；
(2)求数列的通项公式，并求出的最大值．
19.(本小题17分)
设函数，过点作x轴的垂线交函数的图象于点，以为切点作函数图象的切线交x轴于点，再过作x轴的垂线交函数的图象于点，以此类推得点，，…，记点，，…，，…的横坐标分别为，，…，，…，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】406
13.【答案】或1
14.【答案】2025
15.【答案】解：（1）设，根据求导的乘法法则，可得，∴
（2）设，根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得
∴，∴切线方程为即．

16.【答案】解：（1）因为，，
，，
所以，，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，（万元），
所以预测2025年7月份该公司的直播带货金额为1118万元；
（2）补全完整的列联表如下：
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女性 30 5 35
男性 10 10 20
总计 40 15 55
根据以上数据，经计算得到．
因为，所以有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关．

17.【答案】解：（1）当时，，∴
当时，，
∴，
即，
即，∵，∴
所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，故
（2）由（1）知
∴
又因为数列为递增数列，，
综上．

18.【答案】解：（1）由题意可知：，，．
在第n个快递站卸下件快递，同时装上件快递，
则，所以，．
（2）由（1）知：，，
可得，
且，符合上式，所以，
可得．

19.【答案】解：（1）
由，得
故以点为切点的切线方程为，
令得，即
又因为，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由题意可知
于是，①
，②
得：
，
所以，设，
那么，
当，即时，；当，即时，，
故当时，有最大值6
所以，即实数的取值范围是．

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