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2025-2026学年重庆市第十一中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A. 若a＞b,则a+c＞b+c B. 若a＞b,b＞c,则a＞c
C. 若a＞b,c＞0，则ac＞bc D. 若a＞b,c＞0，则
3.下列因式分解正确的是（　　）
A. 2x2-4x=2x（x-4） B. 2x2+2x-6=2x（x+1）-6
C. D. 2a2-4a+2=2（a-1）2
4.函数中自变量x的取值范围是（　　）
A. x≥-1且x≠3 B. x＞-1且x≠3 C. x≠3 D. x＞-1
5.下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若a2＞b2，则a＞b
C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等
6.在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示.下列说法不正确的是（　　）
小刚： 小强：
A. x表示规定时间 B. y表示慢马的速度 C. *表示 D. △表示x-1
7.黑板上有一个不完整的题目：如图，在△ABC中，D是BC的中点.DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F，BE=CF.数学兴趣小组的两位同学发表了自己的观点.
小明：△ABC是等腰三角形.
小红：若∠A=60°，则AE=3BE.
对于他们两人的观点（　　）
A. 只有小明对 B. 只有小红对 C. 两人都对 D. 两人都错
8.如图，直线y=kx+b经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式kx+b＜2x＜0的解集为（　　）
A. x＜-2
B. -2＜x＜-1
C. -2＜x＜0
D. -1＜x＜0
9.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点M，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点N，若，则EN的长为（　　）
A. B. C. D.
10.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）.已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（　　）
①a2025=x+4；
②若，则；
③若a1 a2 a3…a23=8，则；
④若的值为整数，则满足条件的整数x共有6个.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：4a3-16a= ．
12.如图，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
13.如图，等腰△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足，则两三角形重叠部分的面积是 .
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，D是BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，且点E在直线BC的下方，AE与边BC交于点M，继续将AC向下折叠，使AC与AE重合，折痕为AF（F在边CM上），连接EF.若△DEF是等腰三角形，则∠BAD的度数为 .
15.若关于y的不等式组有且只有4个奇数解，且关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的值的和为 .
16.对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，且它的十位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个数为“精益数”，则最大的“精益数”是 ；若“精益数”，规定将p的十位数字与百位数字之差记为G（P）.若正整数s,t都是“精益数”，其中s=1000n+10m+517，t=10x+2y+3390，（2≤m≤8，1≤n≤9，1≤x≤9，1≤y≤4，且m,n,x,y是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数s和t的和为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组：；并把解集在数轴上表示出来.
18.(本小题8分)
化简求值：.其中m从0，1，2三个数中选择一个合适的数代入求值.
19.(本小题10分)
如图所示，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-5，3），C（-1，1）.
（1）在图中，画出△ABC向右平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）在图中，画出以原点O为对称中心，与△A1B1C1成中心对称图形的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使得PC+PB2最短，请直接写出点P的坐标.
20.(本小题10分)
小张同学在八年级下册学习三角形的过程中，遇到了这样一个问题：如图，在△ABC中，∠A=2∠C，请把△ABC分成两个等腰三角形，并说明理由.聪明的小张经过思考后很快就有了思路：作线段BC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到解决.
请根据小张的思路进行尺规作图并完成下面的填空：
解：作BC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接BE.（保留作图痕迹）
∵DE垂直平分线段BC，
∴①______，
∴△BCE是等腰三角形.
∴∠C=②______.
∵∠AEB=∠CBE+∠C，
∴∠AEB=2∠C.
∵∠A=2∠C，
∴③______，
∴AB=EB，
∴△ABE是等腰三角形.
故△BCE和△ABE是等腰三角形.
21.(本小题10分)
【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：（a+b）2=a2+2ab+b2，如果我们将（a-b）2写成[a+（-b）]2，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式.过程如下：（a-b）2=[a+（-b）]2=a2+2a （-b）+（-b）2=a2-2ab+b2.
（1）【类比推理】已知两数的立方和公式为a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：a3-b3=a3+（-b）3=______.
（2）【应用公式】因式分解：x3-3x2y+3xy2-y3.
（3）【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3.若S1+S2+S3=60，则：
①S2=______.
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b,且S3=4，请先将代数式a3-a2b-ab2+b3进行因式分解，然后求出代数式的值.
22.(本小题10分)
五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品进行销售.若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍.
（1）求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元.若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？
23.(本小题10分)
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，动点P从A出发，沿着折线A→B→C运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为t秒（0＜t＜8），△ACP的面积为y.
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出△ACP的面积为3时t的值.（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
24.(本小题10分)
如图在平面直角坐标系中，直线l过点A（4，0），B（0，2）.
（1）求直线l表达式.
（2）在图1中，以AB为腰在第一象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°.线段EF在x轴上移动（E在F左侧），EF=2，当FC+EB最小时，求E点坐标和FC+EB的最小值.
（3）在（2）的条件下，如图2，点P坐标（0，4），点M是线段BC中垂线上一动点，过点C作x轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标.
25.(本小题10分)
如图，等腰△ABC，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD.
（1）如图1，∠BAC=60°，以AD为边在其左侧作等边△ADE，连接BE，BE=2BD=2，求AB的长.
（2）如图2，∠BAC=90°，以AD为底边在其左侧作等腰直角△ADE，连接BE，求证：.
（3）如图3，∠BAC=120°，E为BC中点，将AD绕点A其逆时针旋转60°得到线段AD′，连接D′E，直线D′E与直线AB交于点F，当D′E的长最小时，直接写出的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】4a（a+2）（a-2）
12.【答案】270
13.【答案】4
14.【答案】20°或27.5°或35°
15.【答案】2
16.【答案】9876
14004

17.【答案】-1≤x＜2，数轴表示如下：

18.【答案】；当m=1时，原式=-1．
19.【答案】△A1B1C1即为所求作 △A2B2C2即为所求作；
A2（-3，-5），B2（-1，-3），C2（-5，-1） 点P即为所求作；由图可得点P（0，-1）
20.【答案】DE即为所求作；
①BE=CE；②∠CBE；③∠A=∠AEB
21.【答案】（a-b）（a2+ab+b2） （x-y）3 ①20；②（a+b）（a-b）2，24
22.【答案】甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元 商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个；方案②：购进甲商品95个，乙商品30个
23.【答案】 这个函数的图象，如图2即为所求；
性质：当x=3时，△ACP的面积y取得最大值，最大值是6；或当0＜x≤3时，△ACP的面积y随P点运动的时间增大而增大，当3＜x＜8时，△ACP的面积y随P点运动的时间增大而减小 1.5或5.5秒
24.【答案】 ； Q点坐标为（6，5）或（6，8）
25.【答案】3 延长DE到F，使得EF=DE，连接AF，BF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=90°，AE⊥DF，
∵EF=DE，
∴AE垂直平分DF，
∴AD=AF
又∵∠DAF=2∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAF=90°．
∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，
即∠CAD=∠BAF．
在△ACD和△ABF中，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴∠C=∠ABF．
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠ABF=45°．
∴∠FBC=∠ABC+∠ABF=90°，
即△FBD为直角三角形．
∵E为DF中点，
∴在Rt△FBD中，BE为斜边DF的中线．
∴，即DF=2BE．
∵△ADF为等腰直角三角形，
∴．，
，

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