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2025-2026学年福建省厦门市思明区莲花中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A. y=-x B. y=1-2x C. D. y=2x2
2.下列选项中，运算正确的是（　　）
A. 4-=4 B. +=3 C. ×= D. =2
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=6，则CD的长是（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，耗油量为0.1L/km.在该变化过程中，常量是（　　）
A. 行驶路程 B. 每千米的耗油量 C. 耗油总量 D. 油箱中的剩余油量
5.如图，在 ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（　　）
A. CD的长 B. BC的长 C. CM的长 D. CN的长
6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A. 当AB=BC时，它是菱形
B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当AC=BD时，它是正方形
D. 当∠ABC=90°时，它是矩形
7.如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　）
A. 1
B. 3
C.
D.
8.海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐.早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐.受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间.下列说法中不正确的是（　　）
A. 当t=9时，该港口水深最浅
B. 当h=6时，t的值是1或5
C. 0时到3时和9时到12时，海水均在上涨
D. 某船吃水深度为3m,它可以在7时出入该港口
9.如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2
A. 24 B. 17 C. 18 D. 10
10.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18，BC=12，BF=10，点M在棱AB上，且AM=6，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　）
A. 20 B. C. D. 18
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.函数自变量取值范围是 .
12.七边形内角和的度数是 ．
13.如图，在 ABCD中，AD=8，E为AD上一点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为______.
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的周长是 ．
15.若，则m5-2m4-2025m3= .
16.如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC=60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF=3，则AE+AF的值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB=______，BC=______，AC=______；△ABC的面积为______．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
四、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）÷-×+.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题8分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：四边形AECF是平行四边形.
21.(本小题8分)
为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米100元.经测量∠B=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m.求购买运动型塑胶地板的费用.
22.(本小题10分)
探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是______；
（2）下表是y与x的几组对应数值：
x … -3 -2 -1 0 n 2 3 4 …
y … m 0 -1 -3 5 2 …
①表格中的m=______；n=______；
②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质.
23.(本小题10分)
阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
小华：等边三角形一定是奇异三角形!
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确，若正确请证明，若不正确请举反例说明？
（2）在Rt△ABC中，两边长分别是，c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由.
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,AC=b,BC=a,且b＞a,若Rt△ABC是奇异三角形，求的值.
24.(本小题12分)
在正方形ABCD中，E是△ABD内的点，EB=EC．
（1）如图1，若EB=BC，求∠EBD的度数；
（2）如图2，EC与BD交于点F，连接AE，若S四边形ABFE=a，试探究线段FC与BE之间的等量关系，并说明理由．
25.(本小题14分)
请阅读材料并填空：
如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，，PC=1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是：
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′.
（1）根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC= ______°，等边△ABC的边长为______.
（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，PC=1.求∠BPC度数和正方形ABCD的边长.
（3）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，∠A=75°，，AC=4km,工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则PA+PB+PC的最小值是______km.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】x≥2
12.【答案】900°
13.【答案】4
14.【答案】20
15.【答案】0
16.【答案】
17.【答案】（1）5 ；；；；
（2）△ABC的面积：7×2-×3×1-×4×2-×7×1=5．
18.【答案】解：（1）
=2+2+1-2
=3；
（2）÷-×+
=-+2
=4-+2
=4+．
19.【答案】解：原式=（-）
=
=，
当a=-2时，
原式=
=
=．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
21.【答案】11400元．
22.【答案】x≠1 ; 当x＞-1时，y随x的增大而减小
23.【答案】正确，
证明：设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2=2a2，符合“奇异三角形”的定义，
∴等边三角形一定是“奇异三角形” 当c为斜边时，Rt△ABC不是“奇异三角形”；当b为斜边时，Rt△ABC是“奇异三角形”，
理由：①当c为斜边时，
∵，c=10，
∴，
∴a2=50，b2=50，c2=100，
∴a2+c2≠2b2，b2+c2≠2a2，a2+b2≠2c2，
∴Rt△ABC不是“奇异三角形”；②当b为斜边时，，
∴a2=50，b2=150，c2=100，
∴a2+b2=200=2c2，
∴Rt△ABC是“奇异三角形”
24.【答案】解：（1）如图1，∵EB=BC=EC，
∴△EBC是等边三角形，
∴∠EBC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD=45°，
∴∠EBD=∠EBC-∠CBD=60°-45°=15°；
（2）线段FC与BE之间的等量关系是：FC BE=2a，理由是：
如图2，连接AF交BE于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠DBC，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠ABE=∠DCE，
∴∠ABE+∠BAF=∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AF⊥BE，
∴S四边形ABFE=S△ABE+S△BEF，
=，
=，
=，
∵S四边形ABFE=a，
∴=a，
∴FC BE=2a．
25.【答案】150，；
∠ BPC=135°，正方形边长为；
．
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