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2025-2026学年重庆市忠县拔山中学教共体八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若有意义，则a的取值范围是（　　）
A. a≥1 B. a≤1 C. a≥0 D. a≤-1
2.如图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（　　）
A. 225
B. 144
C. 81
D. 无法确定
3.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D. 55°
4.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23
5.估计的值在（　　）
A. -3和-2之间 B. -2和-1之间 C. -1和0之间 D. 0和1之间
6.下列说法正确的是（　　）
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形
C. 一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE=15m,那么A，B两点间的距离是（　　）
A. 20m
B. 24m
C. 30m
D. 28m
8.“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景.通过查阅资料岭南到长安相距2000里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚10小时到达，用快马比预定时间早5小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间.设预定的时间为x小时，由题意可列方程（　　）
A. B.
C. D.
9.在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在线段AD上，点F在线段BD上，连接AF、EC，且EC=6，连接EF交AC于点M，∠AFO=∠FMO，点G在线段EF上，且DG=FG，延长DG交AC于点H，则DH=（　　）
A. 4
B.
C.
D.
10.有5个正整数a1，a2，a3，a4，a5，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数.
①a1，a2，a3是三个连续偶数（a1＜a2＜a3），②a4，a5是两个连续奇数（a4＜a5），③a1+a2+a3=a4+a5.
该小组成员分别得到一个结论：
甲：取a2=6，5个正整数不满足上述3个条件；
乙：取a2=12，5个正整数满足上述3个条件；
丙：当a2满足“a2是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
丁：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10p（p为正整数）；
以上结论正确的个数有（　　）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.代数式中x的取值范围是 .
12.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
13.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=1尺，B′C=3尺，设AC的长度为x尺，可列方程为 .
14.如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 度．
15.若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 .
16.对于任意一个四位数m,若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记F（m）为m的各个数位上的数字之和.例如：m=1432，∵1+4=2+3，∴1432是“天平数”，F（1432）=1+4+3+2=10；m=6397，∵6+3≠9+7，∴6397不是“天平数”.求出F（5234）= ；已知M，N均为“天平数”，其中M=1000x+100b+320+y,（1≤x≤9，0≤b≤6，0≤y≤9，x,b,y是整数），N=2000a+100b+10c+d,（1≤a≤4，0≤b≤6，0≤c≤9，0≤d≤9，a,b,c,d是整数），若F（M） F（N）=180，求出满足条件的N的最大值 .
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.计算
（1）-+；
（2）×-（+）（-）．
18.先化简，再求值：，其中．
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接BE.
（1）尺规作图：过点A作线段BE的垂线，交BC于点F，交BE于点G.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问的条件下，求证：CF=DE.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABF=∠C=90°，
∴∠ABG+∠CBE=∠ABF=90°，
又∵AF⊥BE，
∴∠ABG+∠BAF=______①，
∴∠BAF=∠CBE，
在△BAF与△CBE中，
，
∴△BAF≌△CBE（______③），
∴BF=CE，
∵BC=CD，
∴BC-BF=______④，
∴CF=DE.
20.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥AD，EF经过点O且与AB，CD相交于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若AB=10，AD=8，求 ABCD的面积.
21.(本小题10分)
某特产店出售A、B两种特产，已知每袋A种特产的售价比每袋B种特产的售价贵3元，老王第一次购买时，花费4500元购买A种特产，花费1800元购买B种特产，发现购买的A种特产的数量恰好是B种特产数量的2倍.
（1）求每袋A种特产与每袋B种特产的售价分别是多少元；
（2）已知每袋A种特产的进价是m元，每袋B种特产的进价比A种特产的进价少40%，A、B两种特产的售价不变，老王第二次购买时，A种特产的数量比第一次少3m袋，B种特产的数量比第一次少，若特产店第二次销售共获利2100元，求m的值.
22.(本小题10分)
如图，BF是菱形BCFP的对角线，过点C作CD⊥PF于点D，CD交BF于点E，点A在FP的延长线上，且满足∠DPE=∠ABP，连接AB.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=6，BC=10，求CE的长.
23.(本小题10分)
人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开.今年春季，某学校组织八年级学生去一公园踏青.公园内有如图所示的四边形ABCD循环步道.经测量，点B在点A的南偏东60°，点C在点A的正东方，点D在点A的东北方向米处，且点D也在点C的西北方向.（参考数据：，，）
（1）求BC的长度（结果保留根号）；
（2）已知从A到C有两条路线可走：路线①A→D→C，路线②A→B→C.路线①的步行速度为50米/分钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数）
24.(本小题10分)
在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上.
（1）如图1，连接AF，DE，若AF⊥DE，垂足为点G，求证：AF=DE；
（2）如图2，连接AE，AF，若AE平分∠BAF，求证：AF=BE+DF.
25.(本小题10分)
△ABC中，点D在直线BC上.
（1）如图1，点D在BC边上，点E在AC边上且BD=EC=2.若AB=AC=10，∠ADE=∠B，求△ABC的周长；
（2）如图2，点D在CB的延长线上且DB=BC，CF⊥AB于点F，BH⊥AC于点H，CF与BH相交于点T，在线段AB上有一点G，连接DG.若AH=TH，∠D=∠HCT.猜想线段BF，BG、DG之间的数量关系并证明；
（3）如图3，AB=AC=10，∠BAC=60°，在BC下方作∠CBK交AC的延长线于点K，使得，点D在BC上的延长线上，连接DK、AD.以DK为斜边在KD右侧作等腰Rt△KDQ，以AD为直角边在AD的左侧作等腰Rt△ADP.连接KP，取KP的中点O连接AO、QO、AQ，当BK=DK时，请直接写出△AOQ的面积.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】x≥2且x≠3
12.【答案】6
13.【答案】x2+32=（x+1）2
14.【答案】70
15.【答案】4
16.【答案】14
8190

17.【答案】解：（1）-+
=
=；
（2）×-（+）（-）
=
=3-2
=1．
18.【答案】解：原式=[+]
=
=，
当时，原式===．
19.【答案】见解答．
①90°；②∠C；③ASA；④CD-CE．
20.【答案】（1）在 ABCD中，AB∥CD，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）48.

21.【答案】每袋A种特产的售价为15元，则每袋B种特产的售价为12元；
10．
22.【答案】见解析过程；
CE=．
23.【答案】BC的长度为200米；
路线②A→B→C更省时间．
24.【答案】证明见解答过程；
证明见解答过程．
25.【答案】32 DG=（BG+BF）；证明：∵CF⊥AB于点F，BH⊥AC于点H，
∴∠AFC=∠AHB=90°，
∴∠FAH+∠FTH=180°，
∵∠CTH+∠FTH=180°，
∴∠FAH=∠CTH，
在△ABH和△TCH中，
，
∴△ABH≌△TCH（ASA），
∴BH=CH，∠ABH=∠HCT，
则△BCH为等腰直角三角形，
∴∠BCH=∠CBH=45°，
设∠GDB=∠ABH=∠HCT=α，
∴∠ABC=∠ABH+∠CBH=45°+α，
∵∠ABC=∠GDB+∠DGB，
∴∠DGB=45°，
过D作DM⊥AB交AB延长线于点M，

则△DMG为等腰直角三角形，
∴DG=DM=MG，
在△DBM和△CBF中，
，
∴△DBM≌△CBF（AAS），
∴BM=BF，
∴GM=BG+BM=BG+BF，
∴DG=（BG+BF）
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