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2025-2026学年重庆市江北区字水中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. ，2，
2.如图，在 ABCD中，AB=5cm,AD=7cm,∠ABC平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF=（　　）
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 7cm
3.下列各式正确的是（　　）
A. =-2 B. ×= C. =-5 D. ÷=2
4.下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A. 四条边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直
5.如图，在矩形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速运动到点D为止，在这个过程中，下列图象可以大致表示△APD的面积S随点P的运动时间t的变化关系的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的三边为边向外作正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积.若S2=16，S3=10，则BC的长为（　　）
A.
B.
C.
D. 6
7.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（　　）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若AC=8，BC=6，则BF的长为（　　）
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 4
9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE=EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　）
A. α
B.
C. 90°-α
D. 90°+α
10.关于x的分式方程的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数a的绝对值之和为（　　）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 21
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.函数y=中自变量x的取值范围是______．
12.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB=13，若点B的坐标为（8，12），点D的坐标为（8，2），则点A的坐标为 .
13.已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 边形.
14.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1.若∠AFC=90°，则BC的长度为 .
15.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．则PE+PF=______．
16.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则HG= .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
“五一”假期，小雯一家自驾去离家310公里的某景区旅游，她们离家的距离y（km）与小车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示.
（1）从小雯家到该景区一共用了多少时间？
（2）求出发1小时至3小时之间行驶速度是多少？
（3）小雯一家出发2.5小时时离目的地有多远？
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC.
（1）求作菱形ABDC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB=13，BC=10，求菱形ABDC的面积.
20.(本小题10分)
先化简，再求值：（-）÷，其中x=-1．
21.(本小题10分)
如图：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）求AF的长.
22.(本小题10分)
如图，在等腰△ABC中，AB=BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E.
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB=3，∠ABE=120°，求DE的长.
23.(本小题10分)
学习函数知识后，小明对新函数y=|2x+4|-x-5的性质及图象进行如下探究.
（1）下表是该函数y与自变量x的几组对应值.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y … m 0 -3 -2 -1 0 n …
其中m=______，n=______.
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质.
（3）结合图象分析，当y＞3时，x的取值范围为______.
24.(本小题10分)
某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 50 75
B型 70 100
（1）若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
25.(本小题10分)
若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）概念理解，如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由；
（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE、CE分别交AB、BD于点M、N，若AB=2，AC=，求线段DE的长．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】x≥
12.【答案】（-4，7）
13.【答案】六
14.【答案】12
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】0 2
18.【答案】4h 110 km/h 85 km
19.【答案】见解答．
120．
20.【答案】解：原式=[-]÷
=[-]÷
=÷
=×
=
当x=-1时，原式=．
21.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
由翻折的性质得DE=CD，∠E=∠C=90°，
∴AB=DE，∠E=∠A，
又∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF≌△EDF（AAS） AF=1.75
22.【答案】解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由：∵AB=BC，BO平分∠ABC，
∴AO=CO，
∵AD∥BE，
∴∠DAO=∠ACB，∠ADO=∠CBO，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BO平分∠ABC，∠ABE=120°，
∴∠DBC=∠ABE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB=3，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=3，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∴∠E=90°-∠DBC=30°，
∴BE=2BD=6，
∴DE===3，
∴DE的长为3．
23.【答案】3;1 图象如下：
一条性质为：函数的最小值为y=-3（答案不唯一） x＞4或x＜-4
24.【答案】A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元
25.【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：
连接BD、AC，
∵AB=AD，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2=AD2+BC2，理由如下：
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABO中，由勾股定理得，
AB2=OA2+OB2，
同理：CD2=OD2+OC2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）连接CD、BE，
∵四边形ACFD、AEGB是正方形，
∴AD=AC，AB=AE，∠DAC=∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴△DAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠AEC，
∵∠BMN=∠AME，
∴∠BNM=∠MAE=90°，
∴BD⊥CE，
∴四边形BCDE是垂美四边形，
∵AB=2，AC=，
∴CD=AC=，BE=AB=2，BC=1，
由（2）得，BC2+DE2=CD2+BE2，
∴DE2=6+8-1=13，
∵DE＞0，
∴DE=．
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