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2025-2026学年重庆市朝阳中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2 B. x≠-1 C. x＝2 D. x＝-1
2.下列分式中是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
3.若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（2，-1），则k的值是（　　）
A. 2 B. -2 C. D.
4.下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A. y=2x+1 B. y=x-4 C. y=2x D. y=-x+1
5.在下列关于平行四边形的各命题中，假命题是（　　）
A. 平行四边形的对边相等 B. 平行四边形的对角相等
C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 平行四边形的对角线互相垂直
6.函数y=kx-k与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3，AD=4，则EF的长是（　　）
A. 1
B. 2
C. 2.5
D. 3
8.在平行四边形ABCD中，CF⊥AB于点F，点E为BC上一点，连接DE交CF于点G，已知AD=7，AB=BE=5，若∠EGF=α，则∠A的角度用含α的代数式表示为（　　）
A. 90°+α B. 180°-α C. 180°-2α D. 2α
9.如图， ABCO的顶点B在双曲线上，顶点 C在双曲线上，BC的中点P恰好落在y轴上，已知S OABC=10，则k的值为（　　）
A. -8
B. -6
C. 4
D. -2
10.我们定义：形如：（m、n不为零），且两个解分别为x1=m,x2=n的方程为“十字分式方程”.
例如为“十字分式方程”，可化为，∴x1=2，x2=3.
再如为“十字分式方程”，可化为，∴x1=-1，x2=-7.
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则x1=-3，x2=-4.
（2）若十字分式方程x的两个解分别为x1=a,x2=b,求的值为.
（3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞3，x1＞x2），则的值为2.
正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：= .
12.若点M（m-2，1）与点N（3，n-1）关于y轴成轴对称，则m+n= .
13.已知，则分式的值为 .
14.如上右图，已知P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=7，S△PAD=4，则阴影部分的面积是 .
15.如图，将 ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'，DE=10，CE=8，∠BAC=90°，则线段AC的长度为 ．
16.若一个四位正整数千位数字是a,百位数字是b,十位数字是c,个位数字是d,当这个四位数字满足：a+c=b+d,我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除.则满足条件的“交替数”m的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
先化简，再求值：（1-）÷，其中x=．
19.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，且BE=BC.
（1）用直尺和圆规在BC上方作∠BCF，使得∠BCF=∠ABE，CF交BE于点F.
（2）在（1）的条件下，为了证明CF=CD，小才的思路是：先证明△ABE≌△FCB，再结合平行四边形的性质，证明结论.请根据小才的思路完成下面的填空.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴①______，
∵在△ABE与△FCB中（ASA），
，
∴△ABE≌△FCB（ASA），
∴③______，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴④______，
∴CF=CD.
小才再进一步研究发现，若点E为AD边上任意一点，在BC上方作∠BCF，使得∠BCF=∠ABE，CF交BE于点F.线段CF的长度与平行四边形的某些边的长度均有此特征，请你依照题意完成下面命题：按上述要求得到的线段CF的长度等于⑤______.（请填入：“E点所在的边与对边”或“E点不在的边与对边”）的长度.
20.(本小题10分)
已知关于x的分式方程.
（1）若分式方程的根是x=5，求a的值；
（2）若分式方程无解，求a的值.
21.(本小题10分)
山城步道是重庆的特色，市民可以在步道里面休闲、运动，享受美好生活.半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，由甲、乙两个工程队合作完成，甲工程队修建的步道长度比乙工程队修建的步道长度的2倍少400米.
（1）求甲、乙两工程队各修建步道多少米？
（2）实际修建过程中，甲工程队每天比乙工程队多修5米，最终甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，则甲工程队每天修建步道多少米？
22.(本小题10分)
冰箱的冷循环系统是由制冷机通过做功吸收物质的热量Q1（单位：千焦），再将一部分热量Q2（单位：千焦）释放到空气中，从而使冰箱内的物质保持在较低的温度.小明发现某品牌冰箱Q2和Q1的关系如图所示.
（1）求Q2关于Q1的函数解析式；
（2）已知物体释放的热量Q=mc（T1-T2）（其中m为物体的质量，c为比热容，T1为初始温度，T2为最终温度）.小明把常温25℃的质量0.34千克的牛奶放入该冰箱，并调节冰箱制冷温度为5℃，求制冷机向空气中释放的热量.（参考数据：2.5千焦/（千克 摄氏度）为牛奶的比热容）
23.(本小题10分)
如图1，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，连接AC，∠BAC=90°，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发沿折线C→A→D运动，设点P运动时间为x秒，△ABP的面积为y1，
（1）请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）的函数图象如图2所示，当y1≥y2时请直接写出x的取值范围.（结果保留一位小数，误差小于0.2）
24.(本小题10分)
如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C（2，m），D（-1，-2）.
（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数的表达式；
（2）点E为y轴正半轴上一点，当△CDE的面积为9时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线AB向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点F（1，n），交y轴于点G.点H为平面直角坐标系内一点，若以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H的坐标，并写出求解点H的坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB=AE，连接EO并延长交AD于点F，过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G
(1)若AH=3，HE=1，求△ABE的面积；
(2)若∠ACB=45°，求证：DF=CG
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】10
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】24
16.【答案】1001
8778

17.【答案】6
18.【答案】解：原式=
=
=，
当x=时，原式==-1．
19.【答案】 ∠ AEB=∠EBC;AB=CF;AB=CD;E点不在的边与对边
20.【答案】解：（1）∵分式方程的根是x=5，
∴-1=1，
解得a=1，
∴a的值为1；
（2）①∵ax-3x+10=0，
∴当a-3=0时，方程无解，
∴a=3，
②当分式方程有增根，
∴x=0或2，
当x=0时，0-0+10=0，
此时不存在a的值，
当x=2时，2a-6+10=0，
∴a=-2，
∴a的值为-2；
∴a=-2，
∴若分式方程无解，a的值为3或-2．
21.【答案】解：（1）设乙工程队修建步道x米，则甲工程队修建步道（2x-400）米，
根据题意得：2x-400+x=2000，
解得：x=800，
∴2x-400=2×800-400=1200（米）．
答：甲工程队修建步道1200米，乙工程队修建步道800米；
（2）设乙工程队每天修建步道y米，则甲工程队每天修建步道（y+5）米，
根据题意得：=×1.2，
解得：y=20，
经检验，y=20是所列方程的解，且符合题意，
∴y+5=20+5=25（米）．
答：甲工程队每天修建步道25米，乙工程队每天修建步道20米．
22.【答案】Q2=Q1 制冷机向空气中释放的热量为27千焦
23.【答案】解：（1）当点P在AC上时，
∵AB=3，BC=5，∠BAC=90°，
∴AC==4，
∵CP=x,
∴AP=4-x,
∴y1==×3×（4-x）=-x+6（0≤x＜4），
当点P在AD上时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，
过A作AH⊥BC于H，
∴AH===，
∴y1==（x-4）×=x-（4＜x＜9），
综上所述，y1关于x的函数表达式为y1=；
（2）如图所示；
当0＜x＜4时，y1随x增大而减小，当4＜x＜9时，y1随x增大而增大．
（3）由图象得当y1≥y2时，x的取值范围为0.8≤x≤3.2或4.7≤x≤9.0．
24.【答案】解：（1）把D（-1，-2）代入y=得k=（-1）×（-2）=-2，
∴反比例函数解析式为y=，
把C（2，m）代入y=得m=1，则C（2，1），
把C（2，1），D（-1，-2）分别代入y=ax+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y=x-1；
（2）当x=0时，y=x-1=-1，
设E（0，t），t＞0，则BE=t+1，
∵S△CDE=S△BCE+S△BDE，
∴（t+1） 2+（t+1） 1=9，
∴t+1=6，
∴t=5，
∴点E的坐标为（0，5）；
（3）把F（1，n）代入y=得n=2，则F（1，2），
设直线AB向上平移后的解析式为y=x-1+h（h＞0），
把则F（1，2）代入得2=1-1+h,
∴h=2，
∴直线AB向上平移后的解析式为y=x+1，
当x=0时，y=x+1=1，
∴G（0，1），
∴EG=4，
设H（x,y），
①当EF为平行四边形的对角线时，x=1，2+4=6，
∴H（1，6）；
②当EG为平行四边形的对角线时，x+1=0，y=2，
∴H（-1，2）；
③当FG为平行四边形的对角线时，x=1，2-4=-1，
∴H（1，-2）；
综上所述：H点坐标为（1，6）或（-1，2）或（1，-2）．
25.【答案】解：（1）∵AH=3，HE=1，
∴AB=AE=4，
又∵Rt△ABH中，BH==，
∴S△ABE=AE×BH=×4×=；
（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=∠NGC=45°，
∵AB=AE，
∴BM=EM=BE，∠BAM=∠EAM，
又∵AE⊥BG，
∴∠AHK=90°=∠BMK，而∠AKH=∠BKM，
∴∠MAE=∠NBG，
设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α，则∠BAG=45°+α，∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α，
∴AB=BG，
∴AE=BG，
在△AME和△BNG中，
，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME=NG，
在等腰Rt△CNG中，NG=NC，
∴GC=NG=ME=BE，
∴BE=GC，
∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠OAF=∠OCE，∠AFO=∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF=CE，
∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE，
∴DF=BE=CG．
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