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2025-2026学年山东省青岛市莱西市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.代数式在实数范围内有意义，x的取值范围是（　　）
A. x＞1 B. x≥1 C. x＞-1 D. x≥-1
2.下列正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
4.用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时，下列变形正确的是（　　）
A. （x-2）2=1 B. （x-2）2=5 C. （x+2）2=3 D. （x-2）2=3
5.一元二次方程的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根
6.小明今年开了一家商店，1月份盈利4800元，3月份的盈利达到6912元，那么1月份到3月盈利的月平均增长率为（　　）
A. 10% B. 20% C. 22% D. 44%
7.根据下列表格x与ax2+bx+c的对应值，对一元二次方程ax2+bx+c=0的根，下列说法错误的是（　　）
x -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
ax2+bx+c 0.43 0.09 -0.2 -0.33 -0.43 -0.44 -0.37 -0.23 0 0.31
A. 方程有一根为1 B. 方程有一根的取值范围是-0.4＜x＜-0.2
C. 方程有一根为-0.33 D. 方程有两个不相等的实数根
8.如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，且AE=AD=4，则AC的长是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.化简：= .
10.计算：= .
11.在实数范围内定义一种新的运算“ ”，其规则为：a b=a2-ab,则方程（2x-1） （x+2）=0的解为 .
12.若关于x的一元二次方程x2+2x+t-1=0没有实数根，则实数t的取值范围是 .
13.我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE= ．
14.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方程x2=4和x2-2x=0有且仅有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“牵手方程”.若方程x2+2x-3=0和（x-3）（x+m）=0为“牵手方程”，则m的值为 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题9分)
计算：
（1）2+6-；
（2）；
（3）（-4）÷.
16.(本小题9分)
解方程：
（1）x2-4x-12=0；
（2）x（x-3）=2x-6；
（3）.
17.(本小题6分)
已知x=+2，y=-2，求的值.
18.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+m-1=0.
（1）若方程有一根为1-，求m的值；
（2）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根.
19.(本小题6分)
如图，已知△ABC中，∠BAC=45°，AB=7，BC=5，求AC的长.
20.(本小题8分)
某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果，然后以每斤4元的价格销售，每天的销售量为100斤.后通过市场调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.2元，每天可多售出40斤.
（1）若设这种水果每斤的售价为x元时，销售量为y斤，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）已知超市每天销售量不超过260斤，若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元，则每斤的售价应定为多少元？
21.(本小题8分)
如图1，校园中有两面互相垂直的围墙，在美化校园的活动中，学校想借助围墙（两边足够长），用10m长的篱笆围成一个小花园.
小明设计了两种方案：
方案一：如图2，围成矩形花园AEDF，DE和DF需用篱笆围成；
方案二：如图3，围成一个由以DF为直径的半圆和矩形AEDF两部分构成的花园，半圆（实线部分）和DE需用篱笆围成.
（1）方案一围成的花园面积能否达到25m2？若能求出DE的长；若不能说明理由；
（2）方案二围成的花园面积能否达到25m2？若能求出DE的长；若不能说明理由.
22.(本小题8分)
【阅读材料1】
根据求根公式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为：
x1=，x2=.
所以x1+x2=；
x1x2=.
例如：若x1，x2为一元二次方程3x2-2x-5=0的两根，则x1+x2=，x1x2=-.
【阅读材料2】
已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两根为m,n,求m2n+mn2.
解：∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个为m,n,
∴m+n=-，mn=-.
∴.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）若x1，x2为一元二次方程3x2-6x+1=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______；
（2）已知m,n为一元二次方程x2+2x-6=0的两根，不解方程，求的值；
（3）已知m,n为关于x的一元二次方程x2+3kx+k2-2=0的两根，且（ m-1）（n-1）=-1，求k的值.
23.(本小题8分)
综合与实践
【项目主题】
班级劳动实践小组拟用正方形和正三角形两种图案为某单位设计花卉展览场地.
【项目规划】
设计如图所示的花卉展览场地图案中的正方形和正三角形的边长均为1米，正方形和正三角形的每个顶点放置一盆花卉（顶点重合处只放一盆）.
【知识准备】
求边长为1米的正三角形ABC的面积.
【项目分析】
按照以上图形规律，建立下面的表格（不完整）：
图案序号 图案需要花卉盆数 占地面积（平方米）
第1个图案 6
第2个图案 12
第3个图案 20
第4个图案 30
… … …
第n个图案 ① ②
请补充表格中的数据：①______，②______；
【项目实施】
已知为该单位设计的花卉展览场地图案中总共用了132盆花卉，求该图案的占地面积有多少平方米？
24.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=4cm,AD=6cm,点P从A点出发沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从B点出发沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s.设运动时间为t（s）（0＜t≤3），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APQD的面积为16cm2？
（2）是否存在某一时刻t,使PQ=DQ？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t,使PQ⊥DQ？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】，x2=3
12.【答案】t≤2
13.【答案】3
14.【答案】3或-1
15.【答案】
16.【答案】x1=6，x2=-2 x1=3，x2=2 ，
17.【答案】．
18.【答案】 证明：∵Δ=（m+1）2-4（m-1）
=m2+2m+1-4m+4
=m2-2m+5
=m2-2m+1+4
=（m-1）2+4＞0，
∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根
19.【答案】或．
20.【答案】y=-200x+900 3.5元
21.【答案】5m 不能，理由如下：
设DE的长为y m．
根据题意，得，
即3y2-20y+50π-100=0．
Δ=（-20）2-4×3×（50π-100）=1600-600π＜0，
∴方程无实数根，
∴不能
22.【答案】2; 0，-3
23.【答案】（n+1）（n+2）
24.【答案】当t=2时，四边形APQD的面积为16cm2 存在某一时刻t，使PQ=DQ；t=2 存在某一时刻t，使PQ⊥DQ；t=2
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