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玉溪一中2025—2026学年下学期高一年级期中考
数学学科试卷
总分：150分，考试时间：120分钟 命题人、审题人：高二数学备课组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．集合，，则
A． B． C． D．
2．已知向量，，且，则
A．-3 B．3 C． D．
3．
A． B． C． D．
4．已知，关于的不等式的解集为，则
A．3 B． C．1 D．
5．若，则
A． B． C． D．
6．若，，则
A． B． C． D．
7．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为
A．
B．
C．
D．
8．在中，为的中点，为平面内一点，且，则
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．若实数满足，则下列不等式一定成立的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是
A．若A=30°，a=2，b=3，则有两解
B．若，则
C．若acos A=bcos B，则一定是等腰三角形
D．若a=2，A=30°，则的外接圆半径是4
11．如右图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别
是棱，，的中点，点满足，则下列说法
正确的有
A．平面
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
D．若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的定义域为______．
13．已知向量，，则在上的投影向量为______．
14．已知函数若函数有四个不同的零点，且有如下关系，，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15．(本题共计13分)设是两个不共线的向量，．
(1)已知，，，若A，B，C三点在同一直线上，求；
(2)若，且与的夹角为，求的最小值．
16．(本题共计15分)设锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，且Δ的面积为，求的周长．
17．(本题共计15分)如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E点在棱PD上且．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由．
18．(本题共计17分)已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数．
(1)求的解析式；
(2)若函数的一个零点为，且，求．
19．（本题共计17分)已知，.
(1)证明：；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A B D C D A D C AC AB ACD
解答题：
【解】（1）由三点共线可设，即即，∵不共线，∴，解得．∴当时，三点在同一直线上.
，故当时，有最小值.
16．【解】（1），由正弦定理可得，又，所以，因为锐角三角形，故．
（2）的面积为，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，
所以的周长为．
17.【解】（1）因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.
下面给出证明：因为，所以，，
又因为点为上靠近点三等分点，所以，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为面，面，所以面，
因为E在棱PD上且，即，又因为，所以，
所以，又平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面，，
所以平面平面.
18.【解】（1）由题意可得，可得，又，而，可得，此时，由题意可得，要使函数为奇函数，则，，即，，而，所以，所以；
（2）由题意令，可得，即，因为，
所以，所以，所以
19.【解】（1）.
（2）的定义域为，任取，，则，即，
由，可得，
故在上单调递增.
（3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点，
所以，在时有2个实数根，
即在时有2个实数根，
令，易知在区间上单调递增，故，
由可得，令，，
由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，，，作函数草图如图，
当时，函数与有两个交点，
即函数的图象在区间上与x轴有2个交点，
所以，即实数m的取值范围为.
第4页，共8页
第5页，共8页玉溪一中2025-2026学年高 一 下学期期中考试双向细目表（数学）
题型 题号 主题 知识
模块 考 查 内 容 教材对应点 对应课标要求 情境创设 学科素养 关键能力 难度
数学运算 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数据分析 发现问题 提出问题 分析问题 解决问题 易 中 难
单项选择题 1 集合 集合的运算 必修一1.3 能求两个集合的交集 实数集与自然数集
2 平面向量 向量的坐标运算 必修二6.3 垂直关系的坐标运算 确定的向量
3 三角函数 三角恒等变换 必修二5.5 能用和差角公式进行简单的恒等变换 和差角公式逆用
4 一元二次函数、方程和不等式 三个二次的关系 必修一2.3 从函数观点看一元二次方程和不等式 给出不等式的解集考察方程的根
5 三角函数 三角恒等变换 必修二5.5 能用进行简单的恒等变换 给值求值
6 对数函数 对数运算 必修一4.3 理解对数的运算性质 不同底化同地的对数运算
7 立体几何初步 表面积或者体积计算 必修二8.3 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式，能用公式解决简单的实际问题 棱锥或者棱台（高易求）
8 平面向量 基底思想，系数和差的取值范围 必修二6.4（可参照课本31页15题或61页16题 会用向量方法解决简单的平面几何问题 平面图形
多项选择题 9 不等式性质 判断不等式是否成立 必修一2.1 掌握不等式的性质 给出具体不等式
10 解三角形 解三角形相关 必修二6.4 能用正、余弦定理解决简单的三角形问题 根据条件判断三角形个数，形状等
11 立体几何初步 立体图形中的线面位置关系 必修二8.4、8.5 借助长方体，通过直观感知，了解空间线面的平行和垂直关系，能用已获的结论证明空间位置关系 正方体中的线面位置关系
填空题 12 函数的概念 求函数定义域 必修一3.1 能求简单函数的定义域 分式、根号或者对数式
13 平面向量 投影向量 必修一6.2 通过几何直观，了解平面向量的投影向量的意义 根据已知向量计算投影向量
14 函数的应用 零点问题 必修一4.5 结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系 分段函数的零点问题
解答题 15 平面向量 三点共线和模长 必修二6.2、6.3 了解平面向量的线性运算，理解向量共线的含义，能用坐标表示向量的模和夹角 给出用不共线向量表示的向量
16 解三角形 边角互化，求角求面积和周长 必修二6.4 能用正、余弦定理解决简单的三角形问题 给出边角关系解三角形
17 立体几何初步 线线、线面平行关系的转化 必修二8.5 能用平行关系的定理证明图形中的平行关系 棱柱或者棱锥
18 三角函数 求函数解析式，求函数值 必修一5.6 会用三角函数解决简单问题 带参数的三角函数
19 函数的概念与性质 函数的单调性，函数零点 必修一3.2、4.5 会用符号语言表达函数单调性，结合函数图像，了解函数零点的概念 指数函数相关函数
满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 预估均分：100分

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