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绝密★使用前
高二数学学科练习
注意事项：
1.本卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。
4.结束后，只需上交答题卡。
选择题部分（共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U = {_1, 0,1, 2,3} ，A = {_1,1, 2,3} ，B = {1, 2}，则CU (A B) = ( )
A. {_1,0,3} B. {0,3} C. {1, 2} D. {_1, 0}
2.在一个文艺比赛中，12 位观众评委给同一名选手的打分依次为：36，42，46，47，49，55， 58，62，66，68，70，75，这组数据的第 80 百分位数为 ( )
A.66 B.67 C.68 D.69
(
x
_
3
)3.已知x ∈ R ，则“ _2 ≤ x ≤ 3 ”是“ ≤ 0 ”的 ( )
x + 2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数f (x ，则 f (f (1)) = ( )
A.e B. 1 C._e D._ 1
e e
5.已知直线y = x + a 是曲线f (x) = x2 _ ln 3x 的一条切线，则a = ( )
A.ln 3 B._ln 3 C.ln 3 D._ln 3
2 2
6.已知sinα_ sin ，则 cos ( )
A. 7 B 7 C. 7 D 7
9 9 25 25
(
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)WZ10XIAO 高二数学学科
7.用数字0，1，2，3，4，5 组成一个无重复数字的六位数，该数能被 5 整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（ ）个
A.72 B.96 C.108 D.120
8.在菱形ABCD 中，| AC |= 4 ，点 E 为线段BC 上一点，且 AE . AC = 12 ，点 F 为线段BD 上的一个
动点（包括端点），若AF = xAE + yAC ，则 的最小值为 ( )
A B C.1 + 2 D
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.已知复数z 则以下说法正确的是 ( )
A.复数 z 的虚部为 B. z 的模为
C. z 的共轭复数 D. z 是方程10x2 + 6x +1 = 0 的一个根
10.下列说法正确的是 ( )
A.若随机变量ξ N(1,σ2) ，且P(ξ< 2) = 0.82 ，则 P(0< ξ< 2) = 0.64
B.若样本数据x1 , x2 , , x10 的方差为 2，则数据2x1 +1, 2x2 +1, , 2x10 +1 的方差为 5
C.一组样本数据(80,120) ，(90,140) ， (100, a) ，(110,165) ， (120,180) ，其经验回归方程为
y = 1.45x + 7 ，则 a = 155
D.利用 x2 进行独立性检验时， x2 的值越大，判断两个分类变量不独立的把握越大
11.已知函数f (x) 满足 ▽m, n∈R ，f (m + n) + 2m + 2n = 2mf (n) + 2nf (m) +1 ，f (1) = 3 ，当
x > 0 时，f (x) > f (0) ，则 ( )
A.f (0) = 1 B.f (x) 是偶函数
C.f (x) 在(0, +∞)上单调递增 D.存在t ∈ , 使得f (x) < t 恒成立
非选择题部分(共 92 分)
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在题中的横线上.
(
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4
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12.在 的展开式中，含x2 项的系数是 .
13.已知函数f = sin 在[0,] 上的值域为 ，则 ⑴ 的取值范围为 .
14.已知四面体ABCD 满足BC = 22 ，其余五条棱长均为 2，该四面体的外接球球心为点O1 ，内切球球心为点O2 ，过直线O1O2 的平面截四面体ABCD 所得的截面的周长为L ，则 L 的最小值为
.
_______
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）已知 ΔABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，且满足bcosC + ccosB = 2a cosA ．
（1）求角 A 的值.
（2）若 a = 1，求 b + c 的最大值．
16.（本小题满分 15 分）已知正三棱台ABC _ A1B1C1 中，AB = 6 ， AA1 = A1B1 = 3 ，点 O 为 ΔABC 的重心.
（1）求证： A1O 丄 BC .
（2）求直线AB 与平面BCC1B1 所成角的正弦值.
17.（本小题满分 15 分）已知函数f (x) = log2 (4x + a)__ x 是偶函数， （1）求 a 的值.
（2）令g(x) = 2f ( x) ，x ∈[0, 2] ，
(ⅰ) 求g(x) 的值域.
(ⅱ) 若不等式m(4x + 1 ) _ 2mg(x) + 3 ≥ 0 对任意x ∈[0, 2] 恒成立，求m 的取值范围．
4x
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18.（本小题满分 17 分）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为 90%，乙生产线的产品合格率为 95%.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为 94%.
（1）求甲、乙两条生产线的产量之比.
（2）从混合产品中随机抽取 3 件，记其中甲生产线生产的件数为X ，以频率估计概率，求 X 的分布列及数学期望.
（3）从混合产品中随机抽取n(n ≥ 2) 件，若发现恰有 2 件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发
生的概率为pn ，求pn 取得最大值时n 的值.
19.（本小题满分 17 分）已知函数J (x) = a(x _1)ex ，g xlnx ，
（1）当a = 1时，求函数J (x) 的单调区间.
（2）求证：g
（3）令h(x) = J (x) _ g(x) ，若对任意不同的x1 , x2 ∈[1, e] ，都有| h(x1) _ h(x2) |< 3| x1 _ x2 | ，求实数a的取值范围.
(
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4
页)
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高二数学学科练习
注意事项：
1.本卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。
4.结束后，只需上交答题卡。
选择题部分（共 58分）
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合U ={ 1,0,1,2,3}， A ={ 1,1,2,3}， B ={1,2}，则CU (A B) =（ ）
A.{ 1,0,3} B.{0,3} C.{1,2} D.{ 1,0}
2.在一个文艺比赛中，12位观众评委给同一名选手的打分依次为：36，42，46，47，49，55，
58，62，66，68，70，75，这组数据的第 80百分位数为（ ）
A.66 B.67 C.68 D.69
x 3
3.已知 x R，则“ 2 x 3”是“ 0”的（ ）
x + 2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
ex
, x 0
4.已知函数 f (x) = x ，则 f ( f (1)) =（ ）
ln x x3 , x 0
1 1
A. e B. C. e D.
e e
5.已知直线 2y = x + a是曲线 f (x) = x ln3x的一条切线，则 a =（ ）
3 3
A. ln3 B. ln3 C. ln D. ln
2 2
1 2
6.已知 sin sin( + ) = ，则 cos(2 ) =（ ）
3 3 3
7 7 7 7
A. B. C. D.
9 9 25 25
WZ10XIAO 高二数学学科 第1页(共 4 页)
7.用数字 0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被 5整除且万位上的数字小于
千位上的数字，则这样的六位数共有（ ）个
A.72 B.96 C.108 D.120

8.在菱形 ABCD中， | AC |= 4，点 E为线段BC上一点，且 AE AC =12，点 F 为线段 BD上的一个
1 1
动点（包括端点），若 AF = xAE + yAC，则 + 的最小值为（ ）
x + y x + 2y
3 3 2 2
A. + 2 B. + C.1+ 2 D.1+
2 2 2 2
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
i
9.已知复数 z = ，则以下说法正确的是（ ）
1 3i
i 10
A.复数 z的虚部为 B. z的模为
10 10
3 i
C. z的共轭复数 z = D. z是方程10x2 + 6x +1= 0的一个根
10 10
10.下列说法正确的是（ ）
A.若随机变量 N (1, 2 )，且 P( 2) = 0.82，则 P(0 2) = 0.64
B.若样本数据 x1, x2 , , x10的方差为 2，则数据 2x1 +1,2x2 +1, ,2x10 +1的方差为 5
C.一组样本数据 (80,120)， (90,140)， (100,a)， (110,165)， (120,180)，其经验回归方程为
y =1.45x + 7，则 a =155
D.利用 2进行独立性检验时， 2的值越大，判断两个分类变量不独立的把握越大
11.已知函数 f (x)满足 m,n R， f (m + n) + 2m + 2n = 2m f (n) + 2n f (m) +1， f (1) = 3，当
x 0时， f (x) f (0)，则（ ）
A. f (0) =1 B. f (x)是偶函数
C. f (x)在 (0,+ )上单调递增 D.存在 t ，使得 f (x) t恒成立
非选择题部分(共 92分)
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.把答案填在题中的横线上.
WZ10XIAO 高二数学学科 第2页(共 4 页)
2
12.在 (x + )5的展开式中，含 x2 项的系数是 .
x
1
13.已知函数 f (x) = sin( x )( 0)在[0, ]上的值域为[ ,1]，则 的取值范围为________.
6 3 2
14.已知四面体 ABCD满足 BC = 2 2，其余五条棱长均为 2，该四面体的外接球球心为点O1，内切
球球心为点O2，过直线O1O2的平面截四面体 ABCD所得的截面的周长为 L，则 L的最小值为
_______.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13分）已知 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，且满足
bcosC + ccosB = 2acosA．
（1）求角 A的值.
（2）若 a =1，求b + c的最大值．
16.（本小题满分 15分）已知正三棱台 ABC A1B1C1中， AB = 6， AA1 = A1B1 = 3，点O为 ABC的
重心.
（1）求证： A1O ⊥ BC .
（2）求直线 AB与平面 BCC1B1所成角的正弦值.
17.（本小题满分 15分）已知函数 f (x) = log2 (4
x + a) x是偶函数，
（1）求 a的值.
（2）令 g(x) = 2 f (x)， x [0,2]，
（ⅰ）求 g(x)的值域.
1
（ⅱ）若不等式m(4x + ) 2mg(x) + 3 0对任意 x [0,2]恒成立，求m的取值范围．
4x
WZ10XIAO 高二数学学科 第3页(共 4 页)
18.（本小题满分 17分）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为 90%，
乙生产线的产品合格率为 95%.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为 94%.
（1）求甲、乙两条生产线的产量之比.
（2）从混合产品中随机抽取 3 件，记其中甲生产线生产的件数为 X ，以频率估计概率，求 X 的分
布列及数学期望.
（3）从混合产品中随机抽取 n(n 2)件，若发现恰有 2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发
生的概率为 pn ，求 pn 取得最大值时 n的值.
x2
19.（本小题满分 17分）已知函数 f (x) = a(x 1)ex， g(x) = + x ln x，
2
（1）当 a =1时，求函数 f (x)的单调区间.
1 1
（2）求证： g(x) .
2e2 e
（3）令 h(x) = f (x) g(x)，若对任意不同的 x a1, x2 [1,e]，都有 | h(x1) h(x2 ) | 3 | x1 x2 |，求实数
的取值范围.
WZ10XIAO 高二数学学科 第4页(共 4 页)高二年级数学学科 参考答案
命题：乐清市第二中学高一备课组 周巧云
审稿：乐清市第二中学高三备课组 项凯斌
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B D B A C A
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9 10 11
BCD ACD AC
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 40 13.[2, 4] 14.
小题解析：
11.法 1：赋值法
A.令 m = n = 0 可得 f(0) = 1 ，选项 A 正确.
B.令 m = 1 ，n = _1得 f f(_1) ≠ f(1)且f(_1) ≠ _f(1) ，f(x) 为非奇非偶函数，选项 B 错误.
C. ▽x1 , x2 ∈ (0, +∞) ，且 x1 < x2 ，则 x2 _ x1 > 0 ， f(x2 _ x1) > 1 .
f(x2) = f(x2 _ x1 + x1) = 2x2 _x1 f(x1) + 2x1 f(x2 _ x1) + 1 _ 2x2 _x1 _ 2x1
: f(x2) _ f(x1) = 2x2 _x1 f(x1) + 2x1 f(x2 _ x1) + 1 _ 2x2 _x1 _ 2x1 _ f(x` )
= (2x2 _x1 _1)[f(x1) _1] + 2x1 . [f(x2 _ x1) _1] > 0即 f(x2) > f(x1) ，所以 f(x) 在 (0, +∞)上单调递增，C 正确.
D.令m = x ， n = 1 得 f(x +1) = 2f(x) + 2x+1 _1 .
当 x → +∞ 时， f(x) > 1 ， 2x+1 _1→ +∞ , 故 f(x +1) → +∞ , 即 f(x) → +∞ .选项 D 错误.法 2：原型函数法
f(m + n) + 2m + 2n = 2m f(n) + 2n f(m) + 1 : f(m + n) _1 = 2m . [f(n) _1]+ 2n . [f(m) _1]
令 g(x) = f(x) _1 ，则 g(m + n) = 2m . g (n) + 2n . g (m) ，即 WZ10XIAO 高二数学学科 第 1页(共 7 页)
令 h 则 h(m + n) = h(n) + h(m) .
满足条件的函数 h(x) 的原型函数为 h(x) = kx ，则 f(x) = kx . 2x + 1 .由 f(1) = 3 得 k = 1 ，所以 f(x) = x . 2x + 1 ，即可判断各个选项.
14.由题意可得， BC 的中点为点O1 ，取 AD 的中点M ，点 O2 在线段 O1M 上.
设截面与 AC 交于点E ，则截面与BD 相交于点F .
x x x x x x设 O1E = xO1C + (1_ x)O1A ， O1F = yO1B + (1_ y )O1D ，
x x x x x x x则 O1M = λO1E + μO1F = λxO1C + λ(1_ x )O1A + μyO1B + μ(1_y )O1D
(
| λx = μy
(
|
1
):〈| λ(1_ x) = 2 :x = y | 1
|lμ (1__ y) = 2
又 AC = BD : AE = DF ， CE = BF可证 ΔO1CE 三 ΔO1BF ， ΔDMF 三 ΔAME
: O1E = O1F ， ME = MF ，即截面关于直线 O1O2 对称
翻折可得min 所以L 的最小值为 .
（若截面与 CD 相交，则截面与 AB 相交，情况与上面一样）
四、解答题：本大题共5 小题，共 77 分.
15. （本小题满分 13 分）
（1）（6 分）
法 1 ： b a cosA ………………………2 分
: a = 2a cos A :cosA ………………………2 分
A∈(0, π ) :A ………………………2 分法 2： sin Bcos C + sin CcosB = 2sin Acos A ………………………2 分
:sin(B + C) = 2sin AcosA : sin A = 2sin Acos A
(
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A∈(0, π ) : sin A ≠ 0 :cosA ………………………2 分
:A ………………………2 分
（2）（7 分）
法 1： a2 = b2 + c2 _ 2bc cosA :1 = b2 + c2 _bc = (b+ c)2 _ 3bc ………………………2 分
2 _1 = 3bc ………………………2 分 :(b+ c)2 ≤ 4 ，即b + c ≤ 2 ，当且仅当b = c = 1时取等.
:b + c 的最大值为 2 ………………………3 分（取等条件 1 分）
法 2：由 得： b sin B ， c sinC . ………………………2 分
………………………3 分当B 时， b + c 取到最大值 2. ………………………2 分
16. （本小题满分 15 分）
（1）（6 分）
法 1：连接 AO 并延长交 BC 于点H ，取 B1C1 的中点H1 ，连接 HH1 和 A1H1 ，
点 O 为 ΔABC 的重心， ΔABC 为正三角形
: 点H 为 BC 的中点， BC 丄 AH ………………………1 分又 点H 为 B1C1 的中点，侧面 BCC1B1 是等腰梯形
: BC 丄 HH1 ………………………2 分 AH HH1 = H : BC 丄 平面 AHH1A1 ………………………2 分 A1O C 平面 AHH1A1 : A1O 丄 BC ………………………1 分
法 2：可补形成正三棱锥证明.
(
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（2）（9 分）法 1：
如图，以点H 为坐标原点建立空间直角坐标系.
则 A(33, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， C(0, _3, 0) .
在梯形 AHH1A1 中，作 A1M 丄 AH 交 AH于点M ，作 H1N 丄 AH 交 AH于点 N ，计算得 A1H ， AH = 33 ， HH ，
(
3
3
3
)由 AA12 _ AM2 = HH12 _ HN2 可得 HN H1N .
:H1 ( , 0, 6 ) ，B1 ( , , 6 ) ………………………2 分（建系+1 点坐标 1 分，H1 或 B1 坐标 1 分） 2 2 2
: ABx= (_3·丶3, 3, 0) ， BCx= (0, _6, 0) ………………………2 分
x
设平面 BCC1B1 的法向量为 n = (x, y , z) .
(
x
:
n
=
(2
2
,
0,
_
1)
2
分
:
|
cos
………………………2
分
:
直线
AB
与平面
BCC
1
B
1
所成角的正弦值为
.
………………………1
分
xx
)由 z = 0 ，令 z = _1 ，则 x = 2 … (2)…，… (y) = 0 .
（正弦值与 | cos < AB, n >| 的关系）
(
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法 2：
过点 A 作 AT 丄 HH1 交HH1 于点T ，连接BT .
BC 丄 平面 AHH1A1 BC C 平面 BCC1B1
: 平面 BCC1B1 丄 平面 AHH1A1 2 分
又 平面 BCC1B1 平面 AHH1A1 = HH1 ， AT C 平面 AHH1A1 ， AT 丄 HH1
: AT 丄 平面 BCC1B1 2 分
: LABT 是直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角 1 分
在梯形 AHH1A1 中，作 A1M 丄 AH 交 AH于点M ，作 H1N 丄 AH 交 AH于点 N ，计算得 A1H ， AH = 3·3 ， HH
由 AA12 - AM2 = HH12 - HN2 可得 HN = 3 ,cos LNHH1 = 1 即 sin LAHH1 = 22 .
2 3 3
: AT = AH . sin LAHH1 = 2 6 2 分
在 RtΔABT 中， sin LABT 即直线 AB 与平面BCC1B1 所成角的正弦值为 .
………………………2 分
法 3：
补形为正三棱锥 P - ABC . ………………………1 分
设点 A 到平面 BCC1B1 的距离为 d ，直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角为θ .
VA-PBC = VP-ABC ………………………2 分
(
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)WZ10XIAO 高二数学学科
SΔ PBC . d SΔABC . PO : d = PO ………………………2 分
计算得 PO = 26 ，即 d = 2 ·6 ………………………2 分
: sin 即直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 .
………………………2 分
17.（本小题满分 15 分）
（1）（4 分）
f(x)是偶函数 :f(_x) = f(x) ………………………1 分
即 log2 (4__x + a) + x = log2 (4x + a) _ x
:2x = log2 (4x + a) _ log2 (4__x + a)
x = 4x ………………………2 分
:4x + a = 1 + a . 4x : a = 1 1 分
（2）
( ⅰ ) （5 分）
由（1）可得 f = log2 _ x = log log2
: g = 2log2 ………………………2 分
令u = 2x ，则 y = u .
x ∈[0, 2] :u ∈[1, 4] ………………………1 分
y = u 在 [1, 4] 上单调递增 :y = u
:g(x) 的值域为 ………………………2 分
( ⅱ ) （6 分）
令 t = 2x 则 t t2 _ 2 .
不等式 mmg 0 ，可化为 m(t2 _ 2) _ 2mt + 3 ≥ 0 ， 即 mt2 _ 2mt _ 2m + 3 ≥ 0 对任意t 恒成立. ………………………2 分
令 h(t) = mt2 _ 2mt _ 2m + 3 ， h(t) 的对称轴为t = 1 ，只需 h(t)min ≥ 0 .
当 m = 0 时， h(t) = 3 ≥ 0 恒成立.
(
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当 m > 0 时， h 单调递增， h(t)min = h(2) = _2m + 3 ≥ 0 ，解得 0 < m ≤ .
当 m < 0 时， h(t) 在 单调递减， hmin = hm + 3 ≥ 0 ，解得 _ ≤ m < 0 .
………………………3 分
综上所述， m 的取值范围是 . ………………………1 分
18.（本小题满分 17 分）
（1）（4 分）
设甲生产线生产的这批电子产品有 a 件，乙生产线生产的这批电子产品有b 件，
事件 A =“混合在一起的电子产品来自甲生产线 ”，事件 B =“混合在一起的电子产品来自乙生产线 ”，事件 C = “混合在一起的某一零件是合格品 ”，
则P P .
由P = P+ Px 0.95 = 0.94 ， ………………………2 分得 .
所以甲、乙两条生产线的产量之比为1 : 4 . ………………………2分
（2）（7 分）
由（1）可知， 甲生产线产品占总量的 ，所以X B . ………………………2 分P(X = 0) = C3 (0)()0 ()3 = = C
所以X 的分布列：
X 0 1 2 3
P 64 125 48 125 12 125 1 125
………………………3 分（2+1）
E ………………………2 分
（3）（6 分）
从混合产品中抽取 1 件是甲生产线生产的不合格品的概率为x 0.1 = 0.02 ，
则 pn = Cn (2) . (0.02)2 . (0.98)n_ 2 ………………………3 分（2+1）
(
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页)
)WZ10XIAO 高二数学学科
(
≥
p
n
+
1
≥
p
n
_
1
) (
(
p
)由〈 n
lpn
, 解得 99 ≤ n ≤ 100 .
所以当 n = 99 或100 时， pn 取得最大. ………………………3 分
19.（本小题满分 17 分）
（1）（3 分）
当 a = 1时， f(x) = (x _1)ex ， f,(x) = xex . ………………………1 分
令f,(x) > 0 得x > 0 ，令f,(x) < 0 得x < 0 .
所以函数 f(x) 的单调增区间为(0, +∞) ，单调减区间为(_∞, 0) .………………………2 分
（2）（6 分）
函数 gxlnx 的定义域为(0, +∞) ，求导得 g,(x) = x + ln x +1 g ,() = _ 2 + 1 = _1 < 0 ， g
:彐x 使得 g,(x0) = 0 ，即 x0 + ln x0 +1 = 0 ， ln x0 = _x0 _1 ………………………2 分又 g,(x)在 (0, +∞)上单调递增
: 当x ∈ (0, x0) 时， g,(x) < 0 ；当 x ∈ (x0 , +∞) 时， g,(x) > 0
:g(x)在 (0, x0)上单调递减，在 (x0 , +∞)上单调递增 ………………………2 分
x2 1 1
(
2
e
e
) y = _ _ x 在 x ∈ ( 2 , ) 上单调递减
即 g ………………………2 分
（3）（8 分）
▽x1 , x2 ∈ [1, e] ，且 x1 > x2 都有 _3(x1 _ x2) < h(x1) _ h(x2) < 3(x1 _ x2) ，即 .
:h(x)__ 3x在 [1, e]上单调递减， h(x)+ 3x 在[1, e]上单调递增. ………………………2 分
:h,(x)__ 3 ≤ 0 在[1, e]上恒成立， h,(x)+ 3 ≥ 0 在[1, e]上恒成立h,(x) = axex _ x _ ln x _1 = axex _ ln(xex) _1
令 t = ln(xex) ， xex 在 [1, e]上单调递增 :xex ∈ [e, e1+e] ， t ∈[1, 1 + e]
(
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)WZ10XIAO 高二数学学科
:aet _ t _ 4 ≤ 0 在 t ∈[1, 1 + e]上恒成立， aet _ t + 2 ≥ 0 在t ∈[1, 1 + e]上恒成立
………………………2 分
由 aet _ t _ 4 ≤ 0 得 a ≤ , 令 则 a ≤ ⑴(t)min .
, 在 t ∈[1, 1 + e] 上单调递减， min = ⑴
(
e
+
5
)所以 a ≤ 1+e 2 分
e
由 aet _ t + 2 ≥ 0 得 a ≥ , 令 则 a ≥ φ(t)max .
, 当 t ∈[1, 3) 时φ,(t) > 0 ， φ (t) 单调递增；当 t ∈(3, 1+ e] 时φ,(t) < 0 ， φ (t) 单调递减.
max 所以 a ≥ . ………………………2 分
综上所述，实数 a 的取值范围为 .
(
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)WZ10XIAO 高二数学学科2025 学年第二学期温州十校联合体期中联考
高二年级数学学科 参考答案
命题：乐清市第二中学高一备课组 周巧云（13002657587）
审稿：乐清市第二中学高三备课组 项凯斌（15356771806）
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B D B A C A
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.
9 10 11
BCD ACD AC
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12. 40 13.[2,4] 14. 2 2 3
小题解析：
11.法 1：赋值法
A.令m n 0可得 f (0) 1，选项 A 正确.
1
B.令m 1，n 1得 f ( 1) ， f ( 1) f (1)且 f ( 1) f (1)， f (x)为非奇非偶函数，选项 B 错误.
2
C. x1, x2 (0, )，且 x1 x2 ，则 x2 x1 0， f (x2 x1) 1.
f (x2 ) f (x
x2 x1 x1 x2 x1 x1
2 x1 x1) 2 f (x1) 2 f (x2 x1) 1 2 2
f (x ) f (x ) 2 x2 x12 1 f (x1) 2
x1 f (x2 x1) 1 2
x2 x1 2 x1 f (x`)
(2x2 x1 1)[ f (x1) 1] 2
x1 [ f (x2 x1) 1] 0
即 f (x2 ) f (x1)，所以 f (x)在 (0, )上单调递增，C正确.
D.令m x， n 1得 f (x 1) 2 f (x) 2 x 1 1.
当 x 时， f (x) 1， 2x 1 1 ，故 f (x 1) ，即 f (x) .选项 D 错误.
法 2：原型函数法
f (m n) 2m 2n 2m f (n) 2n f (m) 1 f (m n) 1 2m [ f (n) 1] 2n [ f (m) 1]
令 g(x) f (x) 1，则 g(m n) 2m g(n) 2n g(m) g(m n) g(n) g(m) ，即 m n n 2 2 2m
.
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令 h(x) g(x) x ，则 h(m n) h(n) h(m) .2
满足条件的函数 h(x)的原型函数为 h(x) kx，则 f (x) kx 2x 1.
由 f (1) 3得 k 1，所以 f (x) x 2x 1，即可判断各个选项.
14.由题意可得， BC的中点为点O1，取 AD的中点M ，点O2 在线段O1M 上.
设截面与 AC 交于点 E，则截面与 BD相交于点 F .

设O1E xO1C (1 x)O1A，O1F yO1B (1 y)O1D ，

则O1M O1E O1F xO1C (1 x )O1A yO1B (1 y )O1D
1 1 O1M O1A O1D，O1C O2 2 1
B

x y

(1 x)
1
x y
2

(1 y)
1

2
又 AC BD AE DF，CE BF
可证 O1CE O1BF ， DMF AME
O1E O1F ，ME MF ，即截面关于直线O1O2对称
翻折可得 (O1E EM )min 2 3，所以 L的最小值为 2 2 3 .
（若截面与CD相交，则截面与 AB相交，情况与上面一样）
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分.
15. （本小题满分 13 分）
（1）（6分）
a2 b2 c2 a2 c2 b2
法 1： b c 2acos A ………………………2 分
2ab 2ac
1
a 2a cos A cos A ………………………2分
2
A (0, ) A ………………………2 分
3
法 2： sin BcosC sinC cosB 2sin Acos A ………………………2 分
sin(B C) 2sin Acos A sin A 2sin Acos A
WZ10XIAO 高二数学学科 第 2页(共 7 页)
A (0, ) sin A 0 cos A 1 ………………………2分
2
A ………………………2 分
3
（2）（7分）
法 1： a2 b2 c2 2bccos A 1 b2 c2 bc (b c)2 3bc ………………………2 分
b c
(b c)2 1 3bc 3 ( )2 ………………………2 分
2
(b c)2 4，即 b c 2，当且仅当b c 1时取等.
b c的最大值为 2 ………………………3 分（取等条件 1 分）
b c a 2 3 2 3 2 3
法 2：由 得： b sinB， c sinC . ………………………2 分
sinB sinC sin A 3 3 3
b c 2 3 (sinB sinC) 2 3 (sinB sin( B))
3 3 3
2 3 (3 sinB 3 cosB) 2sin(B )
3 2 2 6
………………………3 分
当 B 时， b c取到最大值 2. ………………………2分
3
16. （本小题满分 15 分）
（1）（6分）
法 1：连接 AO并延长交 BC于点 H ，取 B1C1 的中点 H1 ，
连接 HH1和 A1H1 ，
点O为 ABC 的重心， ABC 为正三角形
点H 为 BC的中点， BC AH ………………………1 分
又 点H 为 B1C1 的中点，侧面 BCC1B1是等腰梯形
BC HH1 ………………………2 分
AH HH1 H BC 平面 AHH1A1 ………………………2 分
A1O 平面 AHH1A1 A1O BC ………………………1 分
法 2：可补形成正三棱锥证明.
WZ10XIAO 高二数学学科 第 3页(共 7 页)
（2）（9分）
法 1：
如图，以点 H 为坐标原点建立空间直角坐标系.
则 A(3 3,0,0)， B(0,3,0)，C(0, 3,0) .
在梯形 AHH1A1中，作 A1M AH 交 AH 于点M，作 H1N AH 交 AH 于点 N，
A 3 3计算得 1H1 3， AH 3 3， HH1 3，2 2
由 AA 21 AM
2 HH 2 2 31 HN 可得 HN ,H2 1
N 6 .
H 3 3 31( ,0, 6)，B1( , , 6) ………………………2 分（建系+1 点坐标 1 分，H1或 B1坐标 1 分）2 2 2

AB ( 3 3,3,0)， BC (0, 6,0) ， BB 3 31 ( , , 6) ………………………2 分2 2

设平面 BCC1B1的法向量为 n (x, y, z) .

6y 0 n BC 0
由 得 3 3 ，令 z 1，则 x 2 2， y 0 .
n BB1 0 x y 6z 0 2 2

n (2 2,0, 1) ………………………2分


| cos AB,n | | AB n | 6 6 6 ………………………2 分
| AB | | n | 18 3
6直线 AB与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 . ………………………1 分3

（正弦值与 | cos AB, n |的关系）
WZ10XIAO 高二数学学科 第 4页(共 7 页)
法 2：
过点 A作 AT HH1交HH1于点T ，连接 BT .
BC 平面 AHH1A1 BC 平面 BCC1B1
平面 BCC1B1 平面 AHH1A1 ………………………2 分
又 平面 BCC1B1 平面 AHH1A1 HH1， AT 平面 AHH1A1， AT HH1
AT 平面 BCC1B1 ………………………2 分
ABT 是直线 AB与平面 BCC1B1所成角 ………………………1 分
在梯形 AHH1A1中，作 A1M AH 交 AH 于点M，作 H1N AH 交 AH 于点 N，
计算得 A1H
3
1 3， AH 3 3，HH
3
1 3，2 2
由 AA 21 AM
2 HH 21 HN
2 3可得 HN , cos NHH 1 2 2
2 1
即 sin AHH .
3 1 3
AT AH sin AHH1 2 6 ………………………2 分
Rt ABT sin ABT AT 6 6在 中， ，即直线 AB与平面 BCC B 所成角的正弦值为 .
AB 3 1 1 3
………………………2 分
法 3：
补形为正三棱锥 P ABC . ………………………1 分
设点 A到平面 BCC1B1的距离为 d ，直线 AB与平面 BCC1B1所成角为 .
VA PBC VP ABC ………………………2 分
WZ10XIAO 高二数学学科 第 5页(共 7 页)
1 S d 1 PBC S ABC PO d PO ………………………2 分3 3
计算得 PO 2 6，即 d 2 6 ………………………2 分
sin d 6 6 ，即直线 AB与平面 BCC B 所成角的正弦值为 .
AB 3 1 1 3
………………………2 分
17.（本小题满分 15 分）
（1）（4分）
f (x)是偶函数 f ( x) f (x) ………………………1 分
即 log2 (4
x a) x log (4x2 a) x
2x log2 (4
x a) log2 (4
x a)
4x a
22x 4x ………………………2分
4 x a
4x a 1 a 4x a 1 ………………………1 分
（2）
（ⅰ）（5 分）
x
由（1）可得 f (x) 4 1 1 log (4 x2 1) x log2 x log
x
2 2
(2
2x
) .
log2 (2
x 1 )
g(x) 2 2x 2x 1 x ………………………2 分2
令 u 2x ，则 y u 1 .
u
x [0,2] u [1,4] ………………………1 分
y 1 u 在 [1,4] 1 17上单调递增 y u [2, ]
u u 4
g(x)的值域为 [2,17] ………………………2 分
4
（ⅱ）（6 分）
令 t 2x 1 x ，则 t [2,
17] 1， 4x (2x 1 )2 2 t 2x x 2 .2 4 4 2
不等式 m(4x 1 x ) 2mg(x) 3 0 ，可化为 m(t
2 2) 2mt 3 0，即 mt2 2mt 2m 3 0对任意
4
t [2,17]恒成立. ………………………2 分
4
令 h(t) mt 2 2mt 2m 3， h(t)的对称轴为 t 1，只需 h(t)min 0 .
当m 0时， h(t) 3 0恒成立.
WZ10XIAO 高二数学学科 第 6页(共 7 页)
当m 0时， h(t) 17 3在 [2, ]单调递增， h(t)min h(2) 2m 3 0，解得 0 m .4 2
当m 0 h(t) [2,17] h(t) h(17) 121 48时， 在 单调递减，
4 min
m 3 0，解得 m 0 .
4 16 121
………………………3 分
48 3
综上所述，m的取值范围是 [ , ]. ………………………1 分
121 2
18.（本小题满分 17 分）
（1）（4分）
设甲生产线生产的这批电子产品有 a件，乙生产线生产的这批电子产品有 b件，
事件 A “混合在一起的电子产品来自甲生产线”，事件 B “混合在一起的电子产品来自乙生产线”，
事件C “混合在一起的某一零件是合格品”，
a
则 P(A) ， P(B) b .
a b a b
由 P(C) P(A)P(C | A) P(B)P(C | B) a 0.9 b 0.95 0.94，………………………2 分
a b a b
a 1
得 .
b 4
所以甲、乙两条生产线的产量之比为1: 4 . ………………………2分
（2）（7分）
1 1
由（1）可知，甲生产线产品占总量的 ，所以 X B(3, ) . ………………………2 分
5 5
P(X 0) C0 (1)0 (4)3 64 P(X 1) C1(1)1(4)2 48 3 ， ，5 5 125 3 5 5 125
P(X 2) C2 (1)2 (4 12 )13 ， P(X 3) C
3(1)3(4)0 1 3 ，5 5 125 5 5 125
所以 X 的分布列：
X 0 1 2 3
P 64 48 12 1
125 125 125 125
………………………3 分（2+1）
E(X ) 3 1 3 . ………………………2 分
5 5
（3）（6分）
1
从混合产品中抽取 1 件是甲生产线生产的不合格品的概率为 0.1 0.02，
5
则 p C2n n (0.02)
2 (0.98)n 2 ………………………3 分（2+1）
pn pn 1
由 ，解得 99 n 100 .
pn pn 1
WZ10XIAO 高二数学学科 第 7页(共 7 页)
所以当 n 99或100时， pn 取得最大. ………………………3 分
19.（本小题满分 17 分）
（1）（3分）
当 a 1时， f (x) (x 1)ex， f (x) xex . ………………………1 分
令 f (x) 0得 x 0，令 f (x) 0得 x 0 .
所以函数 f (x)的单调增区间为 (0, )，单调减区间为 ( ,0) .………………………2分
（2）（6分）
2
函数 g(x) x x ln x的定义域为 (0, )，求导得 g (x) x ln x 1
2
g ( 1 ) 1 2 1 1 1 0 g (12 2 2 ， )
1 1 1 1 0
e e e e e e
1 1
x0 ( 2 , )使得 g (x0 ) 0，即 x0 ln x0 1 0， ln x0 x0 1………………………2 分e e
又 g (x)在 (0, )上单调递增
当 x (0, x0 )时， g (x) 0；当 x (x0 , )时， g (x) 0
g(x)在 (0, x0 )上单调递减，在 (x0 , )上单调递增 ………………………2分
x2 x2 x2
g(x) g(x ) 0 x ln x 00 0 0 x0 ( x0 1) 0 x2 2 2 0
2
y x x在 x ( 1 , 1 2 )上单调递减2 e e
x20 x 1 1 0 2 ，即 g(x)
1 1
………………………2 分
2 2e e 2e2 e
（3）（8分）
2
h(x) a(x 1)ex x x ln x
2
h(x ) 3x h(x ) 3x
x1, x2 [1,e]，且 x1 x2都有 3(x1 x2 ) h(x1) h(x2 ) 3(x1 x )
1 1 2 2
2 ，即 .
h(x1) 3x1 h(x2 ) 3x2
h(x) 3x在 [1,e]上单调递减， h(x) 3x在[1,e]上单调递增. ………………………2 分
h (x) 3 0在 [1,e]上恒成立， h (x) 3 0在[1,e]上恒成立
h (x) axex x ln x 1 axex ln(xex ) 1
令 t ln(xex )， xex 在 [1,e]上单调递增 xex [e,e1 e ]， t [1,1 e]
WZ10XIAO 高二数学学科 第 8页(共 7 页)
aet t 4 0在 t [1,1 e]上恒成立， aet t 2 0在 t [1,1 e]上恒成立
………………………2 分
由 aet t 4 0 a t 4 t 4得 t ，令 (t) t ，则 a (t)min .e e
(t) t 3 0 (t) t 4 t ， t 在 t [1,1 e]
e 5
上单调递减， (t) (1 e)
e e min e1 e
，
a e 5所以
e1 e
. ………………………2 分
由 aet t 2 0 a t 2 t 2 得 t ，令 (t) t ，则 a (t) .e e max
(t) 3 t t ，当 t [1,3)时 (t) 0， (t)单调递增；当 t (3,1 e]时 (t) 0， (t)单调递减.e
(t) 1 1max (3) 3 ，所以 a 3 . ………………………2 分e e
1 e 5
综上所述，实数 a的取值范围为 [ 3 ,e e1 e
] .
WZ10XIAO 高二数学学科 第 9页(共 7 页)

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