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山东济南市名校协作体2025-2026学年高一下学期5月期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则复数的共轭复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数的值为 ．
A. B. C. D.
3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知直线，平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5.如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯壁厚均不计，则球形容器装满时，约可以倒满水杯( )
A. 杯 B. 杯 C. 杯 D. 杯
6.某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部在同一水平面上的，两点，测得，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，且，则宁波天封塔的高度是( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱台的上底边长为，下底边长为，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知菱形边长为，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若复数的共轭复数为，则
B. 若，，则复数的虚部是
C. 若复数是纯虚数，则实数或
D. 若复数满足，则的最大值为
10.已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的面积为 D.
11.如图，在边长为的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 二面角的正切值为
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若为实数，且，则 ．
13.一个圆锥的底面直径为，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为 ．
14.如图，圆内接边长为的正方形，是弧包括端点上一点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，．
Ⅰ求的最小值；
Ⅱ若，求实数的值；
Ⅲ若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求角；
若，点满足，且，求的面积．
17.本小题分
已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
求直线和平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为．
求的大小；
若外接圆半径为，求的周长最大值．
设，若，且满足成立，求常数的值．
19.本小题分
九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接、、．
证明：平面试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角只需写出结论；若不是，请说明理由；
记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．
设点是的中点，若面与面所成二面角的大小为，求三棱锥的外接球的表面积．
参考答案
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14.
15.解：Ⅰ，，
故的最小值为，
Ⅱ由题设知，
，，解得，
Ⅲ
由题知，解得
所以实数的取值范围是
16.解：，
由正弦定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
．
由题意得，，
，
，即，
，解得或舍去，
的面积为．

17.【详解】取的中点，连接、，又为的中点，则且，
而平面，平面，则，，又，则，
因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面，
所以平面．
在等边中，为的中点，则，
由平面，平面，得，
而，于是，，又，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面．
在平面内，过作于，连接，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，则为和平面所成的角，
由，，得，，，
在中，，
所以直线和平面所成角的正弦值为．

18.由余弦定理得，，
所以，
所以，
所以，即，
又因为，所以；
由正弦定理得，，
又，所以，
由可知，所以，
所以的周长
，
所以，
因为，所以，
所以
所以的周长的取值范围是
所以的周长的最大值为．
设，则，，．
在中，由正弦定理得，即．
在中，由正弦定理，即．
因为，
两式作商得，，化简得，
因为，所以，
因此，故，
所以，
，
所以．
19.解：证明：因为底面，平面，所以，
因为为长方形，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，点是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，
其四个面的直角分别是，，，；
解：由已知，是阳马的高，
，
由知，是鳖臑的高，，
，
在中，，点是的中点，
，
．
解：取中点，连接，过作，连接；
因为，是，中点，所以，又平面，
所以平面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面，所以就是面与面所成二面角的平面角：
设，又因为，所以，所以，
所以，又，得
所以，解得，
因为，，所以，，；
所以，；
设的外接圆半径为，外接圆圆心为，
则，，
过点作，，垂足分别为，，连接，
则，，
又，所以，所以，
设球心为，设，若球心和点位于平面异侧，
则，
，三棱锥的外接球的半径为，
，
若球心和点位于平面同侧，
则
解得舍去．
综上，三棱锥的外接球的表面积为．

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