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山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知实数是与的等比中项，则( )
A. B. C. D.
4.学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，则抽中的人中有女教师的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则( )
A. B.
C. D.
7.已知等差数列满足，则的公差的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.甲乙丙三家公司同时对目标网络系统发起攻防测试，三家公司成功突破系统的概率分别为，，，系统被家公司突破且瘫痪的概率为，系统被家公司突破且瘫痪的概率为，若家公司同时突破，系统必定瘫痪，则该网络系统被瘫痪的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.学校在一次调查“体育迷”的活动中，随机调查了名同学，获得了如下数据：
性别是否体育迷 男 女 合计
体育迷
非体育迷
合计
计算得，则下列结论正确的是( )
A.
B. 是与的等差中项
C. 任取人为体育迷的概率为
D. 没有的把握认为是否为体育迷与性别有关
10.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. 事件与相互独立 B. 事件与互斥
C. D.
11.已知数列的前项和为，且，则( )
A. B. 为递减数列 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列中，，，则 ．
13.已知数列满足，，则 ．
14.已知盒中装有大小相同的个红球和个黑球，盒中装有大小相同的个红球，从盒中随机抽取一个球，若是红球，则放回盒若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为次操作，重复以上操作，直到盒中个球全是红球为止记次重复操作后，盒中个球恰好全是红球的概率为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某人工智能公司从某年起年的利润情况如下表所示．
第年
利润亿元
求出关于的回归直线方程；
根据回归直线方程，预测该人工智能公司第年的利润．
参考公式：．
参考数据：．
16.本小题分
已知数列满足
记，证明：数列为等比数列，并求；
求的前项和．
17.本小题分
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次．
求质点在第次移动后位于的概率
记质点最终位置到原点的距离为随机变量，求的分布列和期望．
18.本小题分
已知数列的前项和为．
求的通项公式；
记数列的前项和为，若．
求；
设为数列的前项和，证明：．
19.本小题分
设点集，从集合中任取两个不同的点，定义两点间的距离．
当时，若，求的值；
若，记．
求的分布列与期望；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，，，
则，，
所以关于的回归方程为．
由知，当时，
所以该人工智能公司第年的利润约为亿元．

16.解：证明：，
且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
于是；
解：
．

17.解：质点在第次移动后位于，
需要向右移动次，向左移动次，
所以概率
的所有可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列如下：
期望．
18.解：
当时，，
当时，，
验证当时，，所以
由得，时，，
相减得：，
化简得：，所以，则，
又已知，当时，，所以，即，
所以，即，
法一：利用原题中关系式求．
．
法二：利用乘公比错位相减求．
因为，
所以，
则，
所以，
两式相减得：
即：，化简得：．
由和知．
所以
由知，
所以，
又因为，所以．

19.解：由题意得，
所以．
由题意可知，中元素的个数为个，
对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，
即，剩下个坐标值满足，
此时所对应情况数为种，
所以，
故的分布列为：
所以，
因为，
所以
，
所以．
因为，所以原不等式等价于，
当时，，所以；
当时，因为，
所以
，
所以原不等式等价于，
即证，
因为，
所以，故．

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