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北京市顺义区2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，则( )
A. B. 或
C. D. 或
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差数列满足，则( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，点在角的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是( )
A. 与关于轴对称 B. 与关于轴对称
C. 与关于直线对称 D. 与关于直线对称
9.已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为当时，的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论：
若函数，则的最大值为；
若函数和都是减函数，则也是减函数．
则下列判断正确的是( )
A. 都正确 B. 正确，错误 C. 都错误 D. 错误，正确
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.抛物线的焦点到准线的距离为 ．
12.已知正方形的边长为，点为中点，则 ．
13.在中，．
若，则 ．
若为锐角三角形，则的取值范围是 ．
14.现有两个完全相同的四棱柱材料如图一所示某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体正方形与正方形在同一平面内，四点在一条直线上，，则图一所示的四棱柱的侧面的面积为 ，图二所示的几何体的体积为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解；
存在，有负实数，使得方程无实数解；
存在，有正实数，使得方程恰有个实数解；
存在，有实数，使得方程恰有个实数解．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在四棱锥中，平面平面，是棱上一点，满足
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.已知函数，其中．
若，求值；
已知在区间上单调递减，，再从条件条件条件
这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值．
条件：在区间上单调递增；
条件：；
条件．
注；如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔．
求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率；
记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间单位：分钟，求的分布列与数学期望；
设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间记的方差为，中的方差为比较方差与大小结论不要求证明．
19.已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上下顶点，．
求椭圆的方程；
设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点不同于点，且与轴交于点，点在直线上，且求证：的面积为定值．
20.已知函数，，．
若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值；
设，且．
求的极值；
证明：函数有个不同的零点．
参考数据：，，
21.已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集：
集合的任意两个不同子集的元素之和不相等；
对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
若，判断是否为集合的完美子集；
若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为；
若集合为集合的完美子集，证明：．
参考答案
1.
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5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：平面平面，且平面平面，
平面，，
由面面垂直的性质定理，
平面．
以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意得，，，．
，
，
．
由得平面，
平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
，，
则
令，解得，，即．
设平面与平面的夹角为，
则．

17.解：由两角和的正弦公式，可得．
，且，
．
由题意，
，即，．
又在区间上单调递减，该区间长度为，
正弦函数的单调区间长度不超过半周期，故，其中，解得．
选择条件：在区间上单调递增，
同理该区间长度为，符合的范围，且为递增区间的右端点、递减区间的左端点，即在处取最大值，
，即，．
联立
两式相减得，其中；当时满足要求，此时解得，
代入得，
因为，解得．
此时，当时，，满足单调递减要求，所以此时函数存在且唯一确定．
选择条件：，
已知，由得：
，即，---
又在上单调递减，区间长度为，故正弦函数半周期，结合得．
由条件得：
，即，---
得，即，．
结合，仅时符合要求，代入得，解，
因为，解得，此时同选条件，由上可知，函数存在且唯一确定．
选择条件：
由条件得，即，---
联立和，得，即，．
结合：
时，不符合要求；
时，代入得，因为，所以，
此时，当时，，不满足单调递减的要求；
时，不符合的要求，故条件不满足要求．

18.解：因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次，
所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为．
最后一部反诈宣传短片可能在第部或第部播放完成，
所以可取值为．
则；．
可得的分布列为：
所以．
文明出行宣传短片可能在第部、第部、第部播放完成，
所以可取值为．
则；；．
所以，
则．
而，所以．

19.解：由题意，上、下顶点，故，得，
离心率，且，
代入，得，解得，故，所以椭圆方程为．
依题意，，，过斜率为的直线，
与椭圆方程联立：
解得对应或，则．
得，
直线与轴交于点，令得，故．
点，直线的斜率，所以直线方程为，
点在上，可设，由，即，
，
所以垂直条件等价于，即，解得，
于是，因此点的纵坐标为定值，
而，所以的面积所以的面积为定值．

20.解：由题意知，，所以点在两条曲线上，
分别求导得，，
由曲线与曲线在点处有相同的切线，则，
即，所以．
解：，，
所以，
令，则或，
因为，所以，
又，所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取极大值为；
在处取极小值为．
由可知，，，，
则，所以．
又在处取极小值为，，
令，则，，
因为，所以，因此在单调递减，
又，所以，即．
因为当时，；当时，，，则，
因此在有个零点；在存在个零点；在存在个零点，
因此，函数有个不同的零点．

21.解：中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质，
是再添一个不在中但在中的元素，取，，
的不同子集元素和分别为：
，
没有和相等的子集，所以不满足性质，不是的完美子集；
的任意子集之和可以是，
均互不相等，满足性质，
对于性质，对任意，，任意子集之和组成的集合为
当，存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为，
即可满足条件，而当，，取子集和即可，
所以是的完美子集；
反证法：设的元素和为，若，考察包含的元子集．
由于的任意两个子集元素之和不等，且的任意一个包含的子集元素和比的任意个不包含的子集元素和大，
从而的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而．
又满足条件，此时，从而的最小值为．
，
假设若，则的非空子集有个，
而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾．
假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内
因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于
若，则由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
所以此时最大的和不大于
而，则必有两个子集的和相等，矛盾．
若则由知．，不同时属于，
由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
所以此时最大的和不大于
而，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和．
而，则必有两个子集的和相等，矛盾．
综上所述，．

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