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2025-2026学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，或，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题是真命题的是( )
A. ， B. ，
C. 是的充分不必要条件 D. 是的必要不充分条件．
3.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如图等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是( )
A. 样本中多数男生喜欢手机支付
B. 样本中的女生数量少于男生数量
C. 样本中多数女生喜欢现金支付
D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
5.已知数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若当时，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则( )
A. 变量与的样本相关系数 B.
C. 当时，残差为 D. 当时，的预测值为
10.已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数相等，则下列说法正确的有( )
A. B. 第项的二项式系数最大
C. 的系数为 D. 展开式各项系数之和为
11.下列说法正确的有( )
A. 个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有种
B. 个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有种
C. 盒子内有个大小相同的球，其中红球个，黄球个，黑球个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球的概率是
D. 把个不同的球随机放入个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则的最小值是 ．
13.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若函数．
当时，求函数在点处的切线方程；
已知为自然对数函数的底数，若在区间上的最小值为，求实数的值．
16.本小题分
如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，．
证明：平面；
设，求平面与平面的夹角．
17.本小题分
随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．
为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从岁以下和岁及以上两个年龄层中各抽取名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
岁以下
岁及以上
总计
记选择新能源汽车者中年龄在岁以下的概率为，求的估计值；
依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关．
为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量单位：万台关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱．
附：在线性回归方程中，，；
样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强；
，其中．
18.本小题分
雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．
求小王答道题后积分小于的概率；
设小王答道题后积分为，求；
若小王一直答题，直到积分为或时停止，记小王的积分为时，最终积分为的概率为，请直接写出和的值，并求出的值．
19.本小题分
已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点．
求椭圆的方程．
记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为，，
若，求；
若，求的面积．
参考答案
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15.解：，则，
可得，，
在点处的切线方程为．
，则，，
由可得，由可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得，符合题意．
综上，．
16.解：证明：，且与无公共点，
，
平面，平面，
平面，
四边形是正方形，
，
平面，平面，
平面，
，，平面，
平面平面，
又平面，
平面．
平面，，平面，
，，，，，两两垂直，
以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示．
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，得，，故可取；
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，得，，故可取．
则，
平面与平面的夹角为．
17.解：样本中选择新能源汽车者共有人，其中年龄在岁以下共人，
所以选择新能源汽车者中年龄在岁以下的频率为，
由样本估计总体，所以选择新能源汽车者中年龄在岁以下的概率；
零假设为：选择新能源汽车与年龄无关，
所以，
依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过；
根据公式，，
得，
故与线性相关性很强．
18.解：小王答道题后积分小于，有两种情况：题都答错；答对题，答错题．
题都答错的概率为；答对题，答错题的概率为：．
所以小王答道题后积分小于的概率为：
设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以．
由题意知，所以，
所以．
当积分已为时，游戏已停止，无法再达到分，故；
当积分已为时，游戏已停止，已是目标状态，故．
当小王的积分为时，
若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为．
由全概率公式有，即，整理可得．
又，所以为等比数列．
由可得，
所以，
又，所以．
所以
．
19.解：椭圆的右顶点为，离心率为，
可得，，，．
椭圆的方程为：．
直线的斜率为，则直线的方程为，，代入椭圆方程，
化简可得：．
即．
设，，则，．
如图：
直线与直线的斜率分别为，，可得，，
，
由．
．
由．
由，
此时，．
．
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