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2025-2026学年云南省昆明市安宁市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，的平均数为( )
A. B. C. D.
2.已知，计算( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
7.设抛物线：的焦点为，点在上，过作准线的垂线，垂足为若直线的方程为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，零点分别为，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将个不同的小球放入个分别标有，，号的盒子中，不允许有空盒子的放法种数为( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线，则( )
A. 的离心率为
B. 双曲线与有相同的渐近线
C. 直线与相交的弦长为
D. 的焦点到渐近线的距离为
11.对于函数和，下列正确的有( )
A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图像有相同的对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.假设，，且与相互独立，则 ______； ______．
13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 ______．
14.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求，的值；
求函数在上的最值．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列．
若，求满足条件的最大整数．
17.本小题分
已知函数
求的最小正周期；
当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，．
证明：；
求平面与平面夹角的正切值．
19.本小题分
求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．
如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求．
一条光线从点射出，经轴反射后，与圆：相切，求反射后光线所在直线的方程．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为，所以，
因为函数在处取得极值，
所以“，且，
解得，；
经检验，，时，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极值，符合题意，所以，；
由可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得极小值，在时，取得极大值，
又，，
所以在的最小值为，最大值为．
16.证明：由，得，
则，又，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由可得，，
，
则
．
由，得，
即，
为单调增函数，满足的最大正整数为．
即满足条件的最大整数．
17.解：

18.证明：设，则，．
在中，根据余弦定理，
所以，所以．
则，所以，
因为底面，底面，所以．
又因为，、平面，所以平面．
而平面，所以．
解：因为底面，，四边形为平行四边形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由知，，，则，，，，
易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
，，
则，取，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，
故．
19.解：依题意，双曲线的焦点坐标是，，
故双曲线方程可设为，
又双曲线的离心率，
则
解得，，
故双曲线的方程为．
抛物线的准线为，过作垂直于直线，垂足为，作于，直线与轴交于点，
则轴，即，四边形是矩形，中，
由抛物线定义知，，而，，
则，解得，
所以．
点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为，
则可得出反射光线为，即，
因为反射光线与圆相切，
则圆心到反射光线的距离，即，解得或
则反射直线的方程为或．
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