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2025-2026学年陕西省西安市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知个互不相等的正整数的平均数为，极差为，则这四个数的方差为( )
A. B. C. D.
2.如图，圆台的高为，是母线，，现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为( )
A. B.
C. D.
3.如图，已知正方体的棱长为，点为棱的中点，点在正方形内部不含边界运动，给出以下两个结论：
存在点满足；
存在点满足与平面所成角的大小为．
判断正确的是( )
A. 正确，不正确
B. 不正确，正确
C. 均正确
D. 均不正确
4.复数、分别对应复平面内的点、，若，则其中为坐标原点，是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形
5.已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则( )
A. B. C. D.
7.在中，，当时，的最小值为若，，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的四点，，，均为正六边形的顶点，且，的位置如图所示，则的值在下列哪个范围内( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 圆锥外接球的表面积为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
10.如图，在中，为边上的动点，为边上的动点，线段、相交于点则下面说法正确的是( )
A. 若、分别为与中点，则
B. 若点是平面内任意一点，且满足，则点的轨迹一定过三角形的内心
C. 若，，则实数的值为
D. 若，，为中点，则的最大值为
11.如图，在等边正三棱柱中注：侧棱长和底面边长相等的正三棱柱叫做等边正三棱柱，，已知点，分别在线段，，是线段上任意一点，连接，，，若过，，三点的平面把等边正三棱柱分成上下两部分，则( )
A. 上半部分是四棱锥
B. 下半部分的体积是
C. 的面积是
D. 当最大时，的长度是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，若复数满足，则的最大值为 ．
13.甲、乙、丙等名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件“甲、乙两人的出场顺序相邻”，“丙在第位出场”，则 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形．
求的解析式，及为偶函数时的最小正实数；
求的值．
16.本小题分
如图，在中，已知，，，点在边上且，与边上的中线相交于点．
求中线的长；
求的余弦值．
17.本小题分
如图是一个由菱形和两个直角三角形和所组成的平面图形，其中，，，，，现将和分别沿，折起，使得点与点重合于点，并连结，得到如图所示的四棱锥．
求证：平面；
若为棱上一点，记；
若，求直线与平面所成角的正切值；
是否存在点使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
18.本小题分
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱如图所示，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
若，，求该几何体的体积与表面积．
若正四棱锥的侧棱长为，，且，分别是线段，上的动点，求的最小值．
19.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
若，，等边的顶点，，分别在边，，上不含端点，求的面积的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：
，
所以点的纵坐标为，
因为为等腰直角三角形，
所以，
所以的最小正周期，
因为，
所以，解得，
所以的解析式为，
所以，
由于函数为偶函数，
所以，，
即，，
故最小正实数为．
由图知，点是的中点，
所以．
16.解：因为为中线，则，
在中，，
则；
以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
则，
则，即，
所以，，
，
则，
所以的余弦值为．
17.证明：连结，交于点，又底面为菱形，所以，
由题可得，，且，平面，平面，平面，又平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面；
解：连结交于点，由得平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，，
所以，
因为，所以，
在三角形中，由，，
所以由余弦定理得：，
，
所以，即，
所以，
所以直线与平面所成角的正切值为；
连结，因为，所以或其补角为直线与直线所成角，
则假设存在点，满足，
由得，，
在三角形中，，
所以由余弦定理得：，
过点作，交于，
由平面，平面，得，所以，
由可得，
因为，所以，，
在三角形中，
由余弦定理得：，
再由，平面，可得平面，
又因为平面，
所以，
在直角三角形中，
由勾股定理得：
，
在三角形中，又因为，，
所以由余弦定理得：，
解得，
所以存在使得直线与直线所成角为．
18.解：由题可知，正四棱锥中，，
过点作，垂足为，则，
正四棱锥的体积为，
侧面积为，
因为，
所以正四棱柱的体积为，
去掉上底面的表面积为，
所以该几何体的体积为，表面积为．
如图，将侧面和侧面展开，
易知的最小值为展开图中，，三点共线时的最小值，
即展开图中点到线段上点的最小值，
由题可知，．
过点作．，垂足为，则，
因为正方形中，，
所以，
所以，所以，所以．
因为，，
因为，所以为锐角；
，所以为锐角，
所以的最小值为点到的距离，
所以．
即的最小值为．
19.解：由，可得，
结合正弦定理得，
在中，，
所以，化简得，
因为中，，
所以，解得不符合题意，舍去，
由，可得，故，；
由知，由正弦定理得，
所以，，
结合，
可得的周长
，
根据是锐角三角形，可得，
解得，，
结合，可得，
所以，
即的周长的取值范围是；
设，，则，，，
在中，，可得，
在中，，可得，
由，可得，
所以，
在中，，，可得，
所以，，
可得，
因为，其中，，
当，即时，等号成立，
所以，可得，
即的面积的最小值为．
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