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【期末真题汇编】新浙教版八年级数学下册 第二章一元二次方程 解答题 分析
三、知识点分布
一、解答题
1 0.65 其他问题(一次函数的实际应用)；根据判别式判断一元二次方程根的情况；营销问题(一元二次方程的应用)
2 0.85 公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
3 0.85 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
4 0.85 等式的性质2；因式分解法解一元二次方程
5 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；用一元一次不等式解决实际问题
6 0.65 等式的性质2；因式分解法解一元二次方程
7 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
8 0.85 一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
9 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；用一元一次不等式解决实际问题
10 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
11 0.85 营销问题(一元二次方程的应用)
三、知识点分布
12 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
13 0.85 营销问题(一元二次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用
14 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
15 0.85 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式
16 0.65 单项式乘多项式的应用；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式
17 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
18 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
19 0.85 解一元二次方程——配方法；因式分解法解一元二次方程
20 0.85 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
21 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用
22 0.85 因式分解法解一元二次方程；列代数式；营销问题(一元二次方程的应用)
23 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)
24 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；因式分解法解一元二次方程；增长率问题(一元二次方程的应用)；其他问题(一元二次方程的应用)
三、知识点分布
25 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式
26 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用
27 0.65 由一元二次方程的解求参数；根据判别式判断一元二次方程根的情况
28 0.65 因式分解法解一元二次方程；营销问题(一元二次方程的应用)
29 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
30 0.65 配方法的应用
31 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用
32 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式
33 0.85 其他问题(一元二次方程的应用)；求自变量的值或函数值【期末真题汇编】新浙教版八年级数学下册
第二章一元二次方程 解答题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？
(3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由．
2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解．
3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒．
(1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？
(2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？
4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）以下是小数同学解方程的过程．
解：方程两边同除以，得．
根据小数的解题过程，回答下列问题：
(1)小同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因．
(2)请你写出正确的解答过程．
5．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．
(1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率．
(2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等)
6．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）对于解方程，小刚的做法如下：
解：等号右边提取公因式，得，步骤 等号两边同时除以，得，步骤 移项，得，步骤 合并同类项，得．步骤
已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程．
7．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件．
素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件．
问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？
8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程必有两个不相等的实数根．
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
9．（24-25八年级下·浙江金华·期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为万人，5月3月的游客人数为万人．
(1)求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率；
(2)5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？
10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到．
(1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率．
(2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？
11．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒．
(1)若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒：
(2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定为多少元合适？
12．（24-25八年级下·浙江金华·期末）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同．
(1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率．
(2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务．若该公司现有20名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工．
13．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克．
(1)求该农户这一天销售西瓜的总收入．
(2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？
14．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴．
(1)【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率．
(2)【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？
15．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米．
(1)用含x的代数式表示的长．
(2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
16．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在周长相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为4，它的另一边长为6．
(1)设矩形的一边长为x，用含x的代数式表示它的另一条边长和面积；
(2)圆圆说其中有一个矩形的面积为21，方方说有一个矩形的面积为30．你认为圆圆和方方的说法是否正确？请说明理由．
17．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人．
(1)求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率．
(2)某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
19．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小北同学解一元二次方程的过程如下图所示：
解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步
(1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误．
(2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答．
20．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”．
(1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”．
(2)已知关于的一元二次方程．
①求证：该方程必有两个不相等的实数根；
②若该方程是“倍根方程”，求的值．
21．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人．
(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率；
(2)若月份继续保持相同的增长率，则该博物馆月份预计接待游客多少万人？
22．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元．设某位顾客买了斤（），
(1)在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含的代数式表示）；
(2)若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤．
23．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况
公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天各多售出2件
情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元（a，b均为整数）．
任务解决
任务1 甲店销售的衬衫，每件利润为_____元（用含的代数式表示）． 乙店销售的衬衫，每天的销售量为_____（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 当时，请分别求出甲、乙两店每件衬衫下降各多少元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元．
24．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘． 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 年平均亩产量达到．
(1)若 年到年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率．
(2) 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积亩，每亩种植成本为万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变．
25．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃．花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米．下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）：
(1)如图1是小高同学设计的方案，花圃的一边靠墙（米），另三边用篱笆围成．设的长为x米，
①求的长（用含x的代数式表示）；
②当花圃面积为42平方米时，求x的值；
(2)如图2是小周同学设计的方案，花圃的一边由围墙（）和部分篱笆（）组成，另三边由剩余的篱笆围成．问花圃面积能达到50平方米吗？请通过计算说明．
26．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个．经过市场调查发现：若挂件以单价25元售出，一天能售出70个；若每个降价1元，则一天可多售出10个．
(1)当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个？
(2)要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元？
27．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程．
(1)若方程的一个根为2，求的值．
(2)当时，求证：方程有两个实数根．
28．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天．
(1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少；
(2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由；
(3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案：
书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）；
书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）．
是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由．
29．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
30．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
（2）已知，则______；
探究问题；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
拓展结论；
（4）已知实数x、y满足，求的最值．
31．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
(1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________；
(2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
(3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
32．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））．
(1)设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）；
(2)若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？
33．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式，已知当足球踢出后4秒回到地面．
(1)求a的值．
(2)若该足球踢出t秒后和秒后，足球的高度相同，求t的值．
(3)是否有可能该足球踢出秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明．【期末真题汇编】新浙教版八年级数学下册
第二章一元二次方程 解答题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)
(2)糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元
(3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由见解析
本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用．
（1）取表格两组数据，利用待定系数法求解；
（2）根据销量、单价、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可；
（3）假设该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元，列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有解即可．
（1）解：（1）设，
由题意得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元；
（3）解：该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下：
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程无解，
∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元．
2．(1)，
(2)，方程的另一个根为，
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用公式法解一元二次方程．
（1）将代入方程，利用公式法求一元二次方程的解；
（2）根据根与系数的关系求出方程的另一个根以及的值．
（1）解：当时，原方程为，
，
，
解得，；
（2）解：设方程的另一个解为，
由根与系数的关系可知：，
解得，
，解得，
∴，方程的另一个根为．
3．(1)纸盒的高为
(2)裁去的正方形的边长为
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：纸盒的高为；
（2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得：
解得：，不符合题意，舍去．
答：裁去的正方形的边长为．
4．(1)两边同除以不为的数或式，等式依然成立，而可能为
(2)，
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）由于可以等于，则方程两边并不能同时除以，所以小数的解题过程不对；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为两个一次方程，解两个一次方程即可．
（1）两边同除以不为的数或式，等式依然成立，而可能为．
（2），
，
或，
，．
5．(1)
(2)该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）求出7月投递快递总件数为：万件，比较后得出该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，再设增加m名投递业务员，根据7月的投递量不少于万件，列出一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
（1）解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：7月投递快递总件数为：（万件），
，
该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，
设增加m名投递业务员，
由题意得：，
解得：，
是正整数，
的最小值为3，
答：至少需要增加3名投递业务员．
6．小刚开始出错的步骤是步骤，解答过程见解析
本题考查了解一元二次方程，根据等式的性质可判断步骤出现错误，再利用因式分解法解答即可求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
解：小刚开始出错的步骤是步骤．
正确且完整的解答过程如下：
移项，得，
因式分解，得，
即，
或，
，．
7．问题1：22000元；问题2：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为；问题3：A款服装应降价10元
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
问题1：利用6月份销售A，B两款服装的利润之和=每件A款服装的销售利润×A款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润×B款服装的月销售量，即可求出结论；
问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x，利用A款服装6月份的销售量款服装4月份的销售量款服装从4月到6月销售量的平均月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
问题3：设A款服装应降价y元，则每件A款服装的销售利润为元，A款服装的月销售量为件，B款服装的月销售量为件，利用7月份销售A，B两款服装的利润之和=每件A款服装的销售利润款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润款服装的月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：问题1：根据题意得：
（元）．
答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元；．
问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长举为x，
由题意可以列出方程，
解得（不合题意，舍去），
答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为．
问题3：设A款服装应降价y元，
由题意可以列出方程．
解得．
答：A款服装应降价10元．
8．(1)见解析
(2)或
此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证；
（）利用根与系数的关系得，，代入求解即可．
（1）证明：∵
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
∴或．
9．(1)
(2)万人
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为，根据5月1日和5月3日的人数建立方程求解即可；
（2）设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天为人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的建立不等式求解即可．
（1）解：设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为，
由题意得，
解得：，（舍去）
5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为．
（2）解：设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天为人，
由题意得，
解得：，
答：平均每天游客人数最多是万人．
10．(1)平均亩产量的年增长率
(2)该合作社应增加种植面积20亩
本题整体考查了一元二次方程在实际问题中的应用，涵盖增长率问题和成本问题．解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案．
（1）设年增长率为x，表示出 2024年亩产量，列方程求解．
（2）设增加面积y亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解．
（1）解：设年增长率为x．
2022年平均亩产量为，2023年则为，2024年为．
∴．
化简得，
开方得
舍去负根，得，即年增长率为．
答：“红美人”平均亩产量的年增长率为．
（2）设增加种植面积y亩．
原来种植10亩，成本为万元．
增加后种植面积为亩，每亩成本为万元．
由种植成本不变，列方程：．
展开并整理得，
因式分解得．
解得（舍去）或，即应增加20亩．
答：2025年该合作社应增加种植面积20亩．
11．(1)11，140
(2)28元
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）直接计算降价后的单盒利润和销量即可．
（2）建立利润方程并求解，根据库存要求选择合适解．
（1）解：若降价2元，则每盒汤圆盈利：（元）
平均每天可售出：（盒）
故答案为：11；140；
（2）设每盒汤圆销售价降价x元：则平均每天可售出盒，
由题意：得．
整理，得，
解得．
为了尽快减少库存．
每盒汤圆销售价应降价5元．
每盒汤圆销售价定为（元）．
答：每盒汤圆销售价定为28元合适．
12．(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%；
(2)不能，至少需要增加2名员工．
本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，列方程，量是解题关键．
（1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出方程求解即可；
（2）首先求出六月份的销量，进而得出20名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理250辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数．
（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为，
根据题意得，
解得：，（不合题意舍去）．
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%．
（2）解：每月新能源汽车销量的增长率相同，
六月份的新能源汽车销量为：．
每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工，
．
不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务．
需要增加员工（名），
因为员工人数必须为整数，所以至少需要增加2名员工，
答“至少需要增加2名员工．
13．(1)4000元
(2)3元
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算．
（1）利用总收入销售单价销售数量，即可求出结论；
（2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为千克，根据要使该农户一天的销售总收入为4300元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要扩大销售，即可得出结论．
（1）解：（元），
答：该农户这一天销售的总收入为4000元；
（2）解：设在县城销售的单价降价x元，则由题意得：
，
，
，
，
解得或．
当时，销售量为；
当时，销售量为，
因为要扩大销售，，
故．
答：在县城内销售单价应该降价3元．
14．(1)
(2)2元
本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）设日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）设售价降低a元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
（1）解：设日平均增长率为x，
解得 ，（舍）
答：日平均增长率为．
（2）解：设售价降低a元，
，
解得 ，（负值不合题意，舍去）
答：售价应降低2元．
15．(1)米
(2)能；15
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程．
（1）根据题意表示出即可；
（2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可．
（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米，
∴米；
（2）解：能；根据题意得：
，
解得：，，
当时，，
∵墙长为40米，
∴不符合题意舍去；
∴x的值为15．
16．(1)矩形的另一条边长为，面积为
(2)圆圆的说法正确，方方的说法不正确，理由见解析
本题考查了列代数式、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键．
（1）先根据矩形的周长公式求出这个矩形的另一条边长，再利用矩形的面积公式求解即可得；
（2）分别根据矩形的面积为21、矩形的面积为30建立一元二次方程，利用因式分解法解方程、一元二次方程的根的判别式进行求解即可得．
（1）解：由题意得：矩形的另一条边长为，
则矩形的面积为，
答：矩形的另一条边长为，面积为．
（2）解：当矩形的面积为21时，则，
整理得：，
解得或，
所以当矩形的一条边长为3，另一条边长为7时，矩形的面积为21，
所以圆圆的说法正确．
当矩形的面积为30时，则，
整理得：，
这个方程的根的判别式为，方程没有实数根，
即在本题的条件下，没有一个矩形的面积为30，
所以方方的说法不正确．
17．(1)；
(2)元
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为，根据从2023年的1000人增加到2025年的1210人．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该护膝肌贴组每组应降价m元，由该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（1）解：设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为；
（2）解：设该护膝肌贴组每组应降价m元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价元．
18．(1)③
(2)或
(3)见解析
本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可；
（2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可；
（3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可．
（1）解：，解得：，
∴，故①不是“邻根方程”；
，解得：；
∴，故②不是“邻根方程”；
，解得：，
∴；故③是“邻根方程”；
故答案为：③
（2）解：方程的两根为，
方程是“邻根方程”，
，即，
或；
（3）证明：设，是方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
方程是“邻根方程”，
，，
，
．
19．(1)配方法，②
(2)，
本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合题干过程，得出运用配方法解该一元二次方程，且从第②步开始出现错误；
（2）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
（1）解：观察题干过程，得出小北同学选用了配方法解该一元二次方程，
则他的解法从第②步开始出现错误，第②的正确的过程为
故答案为：配方法，②；
（2）解：∵
∴
∴，．
20．(1)是，理由见解析
(2)①证明见解析
②或
本题主要考查了因式分解法一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，
对于（1），求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义解答即可；
对于（2），①求出，再根据结果证明；
②根据“倍根方程”的定义设两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系得出方程，求出解即可．
（1）解：是，理由如下：
，
解得，
∵，
∴这个方程是倍根方程；
（2）①证明：一元二次方程中，
∴．
∵，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根；
②∵一元二次方程是“倍根方程”，设一个根是a，则另一根是，
∴，
解得或．
21．(1)
(2)万人
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人，列出一元二次方程，解之其符合题意的值即可；
（2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可．
（1）解：（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不符合题意，舍去）；
故该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为．
（2）解：月份接待游客人数：（万人），
答：该博物馆月份预计接待游客万人．
22．(1)
(2)该顾客共购书10斤或20斤
本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，先求出这位顾客的购书单价，再由等量关系列一元二次方程求解即可得到答案，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键．
（1）由题意直接列代数式即可得到答案；
（2）由（1）知这位顾客的购书单价为，根据题意列一元二次方程求解即可得到答案．
（1）解：设某位顾客买了斤（），
已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元，则在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为，
故答案为：；
（2）解：由（1）知这位顾客的购书单价为元，
则，即
，
解得，，
经检验两个解均满足大于5
故该顾客共购书10斤或20斤．
23．任务1：，；任务2：甲店每天的盈利为元；乙店每天的盈利为元；任务3：甲、乙两店每件衬衫下降各10元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
任务1，由题意即可得出结论；
任务2：，由盈利=每件盈利×销售量，分别列式计算即可；
任务3，先得出，根据两家分店一天的盈利和为2200元，列出一元二次方程并解方程即可．
解：任务1，甲店每件利润为元，乙店每天的销售量为件，
故答案为：，件；
任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，，
，
两家分店一天的盈利和为2200元，
由题意得：，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
即甲、乙两店每件衬衫下降各10元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元．
24．(1)“红美人”平均亩产量的年增长率为
(2)年该合作社应增加种植面积亩
本题考查一元二次方程的实际应用，如增长率问题等，解题中需掌握不同类型应用题的对应方法．
（1）增长率问题，可根据（其中为基数，为最终值，为增长率，为年份间隔），即可求解；
（2）设增加种植面积亩，根据两种成本相同列方程即可．
（1）解：设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为，可得：
，
解得，（舍去）
答：种植“红美人”平均亩产量的年增长率为；
（2）解：设2025年该合作社应增加种植面积m亩，可得：
，
解得，（舍去），，
答：2025年该合作社应增加种植面积20亩．
25．(1)①米；②7
(2)矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由见解析
本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）①根据列式求解即可；②根据矩形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）设米，则米，根据矩形面积计算公式建立方程，看方程是否有正数解即可得到结论．
（1）解；①由题意得，米
②根据题意，得：，
整理得，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
∴x的值为7；
（2）解：矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由如下：
设米，则米
根据题意，得：，
整理得，
∵，
∴此方程无实数解，
∴矩形花圃面积不能达到50平方米．
26．(1)当每个挂件定价为22元时，能卖出100个
(2)每个挂件应降价1元
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）先算定价从25元降到22元降价的金额，再根据“每降价元多售10个”，算出多售的数量，最后原本能售的70个相加，得到定价22元时卖出的数量 。
（2）设降价元，先表示出降价后的单价元和销量个 ，再根据“利润 （单价 成本）×销量”列方程，求解后结合“每天最多售100个”的限制条件，筛选出符合题意的解 。
（1）解：个．
答：当每个挂件定价为22元时，能卖出100个．
（2）解：设每个挂件降价x元，则每个挂件定价为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，时符合题意．时，每天售出超出100个，不符合题意，舍去．
答：每个挂件应降价1元．
27．(1)
(2)见解析
本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
（1）把代入方程可得，然后代入求解即可；
（2）首先由得到，然后由判别式即可证明．
（1）把代入，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
28．(1)1400元；
(2)不能，理由见解析；
(3)存在，（）．
本题考查销售问题中的数量关系，一元二次方程的应用和整数解的讨论，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）销售额=销售单价销售数量，根据题意作答即可；
（2）根据题意得到每套书降价x元时销售额，建立方程求解即可；
（3）根据题意建立方程，求解即可．
（1）解：由题意得：，
所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元；
（2）不能，由题意可得：，
解得或，
因为x为整数且，所以都不满足题意，都舍去，
所以每套书降价x元（x为整数，）时，每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等；
（3）存在，由题意可得：，
整理得，
解得使两种方案的销售额相等，此时．
29．(1)
(2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可；
（2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可．
（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元．
30．（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4）
本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）把拆成两个整数的平方即可；
（2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．
解：（1）由题意得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，为．
31．(1)26，12
(2)剪去正方形的边长为
(3)剪去的正方形的边长为
本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据题意列式计算即可得出答案；
（2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
（1）解：由题意得：，，
纸盒底面长方形的长为，宽为；
（2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
∴剪去正方形的边长为；
（3）解：设剪去的正方形的边长为，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为．
32．(1)
(2)通道的宽度为．
本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，
（1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，可得式，化简即可得；
（2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得．
（1）解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．
33．(1)20
(2)
(3)没有可能，计算见解析
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）取，代入公式可得的值；
（2）由踢出t秒后和秒后，足球的高度相同得，解方程即可；
（3）求得自变量为和时的函数值，相减为18，看求得的是否符合题意即可．
（1）解：由题意得：当时，．
．
解得：；
（2）解：由（1）得：，
∵踢出t秒后和秒后，足球的高度相同
∴，
解得：；
（3）解：由题意得：．
．
解得：（不合题意，舍去）．
没有可能该足球踢出秒后的高度比踢出秒后的高度高18米．

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