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2025-2026学年山东省济南市第三中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 三个点可以确定一个平面
B. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
C. 一条直线和一个点可以确定一个平面
D. 两条直线可以确定一个平面
3.在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则( )
A. B. C. 或 D.
4.若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，若，，，则三角形解的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 不确定
7.中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A. B. C. D.
8.“迪拜世博会”于年月日至年月日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，此模型外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是( )
A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数
C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限
10.已知向量，满足，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 存在非零实数，使得 D. 向量与的夹角为
11.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 若，，，四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则以为顶点，以过、、三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为 ．
14.如图，在平面四边形中，，，，，则 ，四边形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若为纯虚数，求的值；
若为实数，求的值；
若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面．
17.本小题分
如图，已知正方形的边长为，为的中点，．
若，求的值；
求的取值范围．
18.本小题分
已知为锐角三角形，，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，的面积为，求的周长；
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
如图，设半圆的半径为，点，三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图中完成下列各题．
求在圆锥中的线段的长；
求四面体的体积；
若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：由复数为纯虚数，可得且，解得；
由复数为实数，可得，
解得或；
由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，
解得，即的取值范围为．
16.证明：在四棱锥中，平面，
平面，
平面平面，
．
取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由可得，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
17.解：已知正方形的边长为，为的中点，，
如图所示，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
因为，则，解得；
由知，，，
则根据平面向量数量积的坐标运算可得：
，
当时，，
即的取值范围是．
18.解：由正弦定理及，得，
所以，
因为，
所以，
所以，所以．
因为的面积为，
所以，
所以，
由余弦定理得，，
所以，
所以周长为．
由正弦定理得，，
所以，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，
所以
故周长的取值范围为．
19.解：在图中，设圆锥的底面圆半径为，
则，解得，
在图中，点、三等分半圆，
在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，
为等边三角形，，，
又点、分别是、的中点，
；
，
圆锥的高，
，
，
即四面体的体积为；
在线段上存在点，且，使得平面，理由如下：
如图，取的中点，且是的中点，连接，
，．
取的四等分点，使，连接，．
，，，
，，
四边形是平行四边形，．
又平面，平面，平面．
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