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2025-2026学年福建省永春第一中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱台上下底面边长分别为、，高为，则正三棱台外接球的体积为( )
A. B. C. D.
6.某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量如图，单位：米，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为米．
A. B. C. D.
7.如图，矩形，，，半径为，且为线段的中点，为圆上动点，设，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点，是外接圆上一点，则( )
A. 的最大值为
B.
C.
D. 当取最大值时，，，三点共线
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，，且有两解，则的取值范围是
11.如图，在棱长为的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是( )
A. 当时，平面
B. 当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形
C. 当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的体积为，上底面半径为，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为 ．
13.若正四面体的表面积为，则该正四面体的棱长为；该正四面体的高为该正四面体的体积为该正四面体的外接球表面积为正确的序号有 ．
14.在复平面上，复数和所对应的点分别、，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为虚数单位，，是的两个根．
设，满足方程，求，的值；
设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知正四棱柱中，，，点，分别是棱，的中点，过，，三点的截面为．
作出截面保留作图痕迹；
设截面与平面交于直线，且截面把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为，
(ⅰ)求证：；
(ⅱ)求的值．
17.本小题分
如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，点是棱上的一点，且．
求证：平面；
棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，，．
求角；
若是线段的中点，且，求；
若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
19.本小题分
定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．
若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正顶点恰好在轴的正半轴上，求证：为定值；
已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围；
已知向量为函数的“源向量”，在时的取值为，设是外心，若，且，求实数的值．
参考答案
1.
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14.
15.解：为虚数单位，，是的两个根，
，满足方程，
，，，
方程的两个根，为共轭复数，
设，，
由韦达定理得，，
将，代入，
得，即，
，解得，，，
，．
，，，，
，，
与的夹角为钝角，
，且与不共线，
，解得且，
实数的取值范围为．
16.解：在正四棱柱中，
连接并延长交的延长线于点，连接交于，连接，
则四边形是过，，三点的平面截正四棱柱的截面，如图：
证明：在正四棱柱中，平面平面，
平面平面，平面平面，
所以．
(ⅱ)由及已知，平面，平面，
由是中点，，得是的中点，又，
则，
，
，
所以．
17.解：证明：连接，在正方体中，，分别是，中点，
且，
则四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面，
存在，且，理由如下：
，所以，
，而
，
由平面，平面，
平面，
取中点，连接，，如图：
，是中点，
是的中位线，则，
为中点，则且，
四边形是平行四边形，
，
综上，，平面，平面，
平面，又，，平面，
平面平面；
18.解：，，
根据正弦定理得：，化简得，
，
又，，，
，，
，；
由及余弦定理得：，即，
又，，
，
由得：，
．
由得，则，即，
由正弦定理可知，，
．
为锐角三角形，，，
，，，
，则的周长的取值范围为．
19.证明：因为函数，
所以其“源向量”，显然，
即轨迹为单位圆，由正三角形的性质可知，，
所
，是定值；
因为向量为函数的“源向量”，所以，
则方程在上有且仅有四个不相等的实数根，
所以上有且仅有四个不相等的实数根，
令，，
当时，；
当时，，
所以，
其图象为：
由，
可得，
由向量的数量积公式可得，
即，
由正弦定理可得，
即，所以．
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