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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于、的描述正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，是边的中点，在上，且，则( )
A. B.
C. D.
8.已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则( )
A. B.
C. 可以作为平面向量的一个基底 D.
10.已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知复数满足，则 ．
12.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则 ．
13.已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ．
四、解答题：本题共3小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
计算：
；
；
．
15.本小题分
如图，已知正方体的棱长为．
正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
若，分别是，的中点，求异面直线与所成角的大小．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，，．
证明：；
求二面角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
．
．
15.解：正方体中，
直线是异面直线的棱所在直线有：
，，，，，，共条．
，分别是，的中点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，，
，，
设异面直线与所成角的大小为，
则，
，
异面直线与所成角的大小为．
16.解：证明：取的中点，则，且，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以，所以，
因为，，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
可得，
因为，
设平面的法向量为，
则，即得
令，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即得
令，则，，
所以，
记二面角的平面角为，
因为，
显然，所以，
所以二面角的正弦值为．
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