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单元检测十　计数原理、概率、随机变量及其分布
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·柳州模拟)二项式的展开式中，含的项的系数是(　　)
A.-10 B.10 C.-5 D.5
2.(2025·福州模拟)已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.6，P(B)=0.4，则P(A∪B)等于(　　)
A.0.8 B.0.5 C.0.4 D.0.16
3.(2026·金昌模拟)已知随机变量X的分布列如表：
X 1 2 3
P m2-2m m2-m 0.4
则数学期望E(X)等于(　　)
A.0.8 B.1.4 C.2m-3 D.2
4.(2025·阳江模拟)医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014.若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为(　　)
A.0.03 B.0.024 C.0.02 D.0.018
5.(2026·岳阳模拟)现有8把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻的条件下，则三人均相邻(甲、乙、丙之间无空座)的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.(2025·重庆模拟)若随机变量XN(2，σ2)，P(X<1)=x，P(2A.4 B.9 C.18 D.32
7.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每个黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间，小球每次下落，将随机地向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板，放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方下落，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是(　　)
A. B. C. D.
8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对 a>0，都有P(ξ≥a)≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，则其概率P(A)的最大值为(　　)
A. B. C. D.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知(x2-x)11=a0+a1x+a2x2+…+a22x22，则(　　)
A.a0=0
B.a0+a1+a2+…+a22=0
C.a0-a1+a2-…+a22=222
D.a0+a2+a4+…+a22=210
10.(2025·合肥模拟)下列说法中，正确的是(　　)
A.一组数据：2，3，4，7，8，10，12的第70百分位数是7.5
B.若随机变量X~B，则D(X)=
C.若随机变量X~N(2，σ2)，且P(X<0)=，则P(2≤X≤4)=
D.若三个随机事件A，B，C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
11.甲、乙两人拿两颗质地均匀的正方体骰子做抛掷游戏.规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数(即为10，11，12)，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数(即为2，3，4，5，6，7，8，9)，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为Pn，则(　　)
A.P2=
B.P3=
C.P10=-
D.Pn=-Pn-1+(n≥2)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·怀化模拟)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号.已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有　　　　种.
13.(2025·重庆模拟)设随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≥5.5)=0.2，若P(X≥m)=0.8，则m=　　　　.
14.已知数列{an}的首项为1，在(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)(x-a5)(x-a6)的展开式中，若{an}是公差为2的等差数列，则展开式中x5的系数为　　　　；若{an}为公比为2的等比数列，则展开式中x4的系数为　　　　.(用数字作答)
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025·南通模拟)已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等.
(1)求展开式中的常数项；(6分)
(2)求展开式中系数最大的项.(7分)
16.(15分)(2025·常州模拟)甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响，现每人分别投篮2次.
(1)记甲投篮命中的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(7分)
(2)求甲比乙进球数多的概率.(8分)
17.(15分)(2025·哈尔滨模拟)2025年春晚《秧BOT》节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情.为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，某校随机抽取了90名学生，调查结果如表.
性别 关注 不关注 合计
男 55 60
女
合计 75
(1)完成上述列联表，根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关？(7分)
(2)在这90名学生中随机抽取一位，若事件A表示“该生关注AI”，事件B表示“该生为女生”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)及P(B|A)的值.(8分)
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
18.(17分)(2025·海口模拟)某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2025年报考该试点高校的学生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2).其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.已知μ的近似值为76.5，σ的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，则该校预期的平均成绩大约是多少？(4分)
(2)规定笔试成绩高于76.5分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试的学生数为ξ，求随机变量ξ的数学期望；(5分)
(3)现有甲、乙、丙、丁4名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，，，.设这4名学生中通过面试的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望.(8分)
参考数据：若XN(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.997 3.
19.(17分)已知数列{an}满足an+1-an=2 024(an-1)(n∈N*)，a1=2 026.
(1)求证：数列{an-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)为庆祝“五一”国际劳动节，某中学各班将要举办“致敬劳动者，礼赞新时代”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节目.某班想用(1)中的数列{an}组织如下游戏：让参与的同学在数列{an}中随机抽取10项，如果在这10项中，至少有k项的值能被2 026整除，则这个同学中奖.
①设随机变量X表示抽取项中能被2 026整除的项的个数，求E(X)；(7分)
②本着开心迎五一的原则，若要求中奖概率大于90%，那么规定k=3是否符合要求，若符合，请说明理由；若不符合，请给出一个符合要求的k值.(4分)
单元检测十　计数原理、概率、随机变量及其分布
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·柳州模拟)二项式的展开式中，含的项的系数是(　　)
A.-10 B.10 C.-5 D.5
答案　A
解析　的展开式的通项为Tk+1=·15-k·=·(-1)k·x-k，k=0，1，2，3，4，5，
则含的项的系数是·(-1)3=-10.
2.(2025·福州模拟)已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.6，P(B)=0.4，则P(A∪B)等于(　　)
A.0.8 B.0.5 C.0.4 D.0.16
答案　A
解析　由A和C对立，可得P(A)+P(C)=1，则P(A)=1-P(C)=0.4.
又随机事件A和B互斥，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.4=0.8.
3.(2026·金昌模拟)已知随机变量X的分布列如表：
X 1 2 3
P m2-2m m2-m 0.4
则数学期望E(X)等于(　　)
A.0.8 B.1.4 C.2m-3 D.2
答案　D
解析　由题意，m2-2m+m2-m+0.4=1，
所以m2-2m=0.4，
所以E(X)=1×(m2-2m)+2×+3×0.4=0.4+0.4+1.2=2.
4.(2025·阳江模拟)医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014.若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为(　　)
A.0.03 B.0.024 C.0.02 D.0.018
答案　C
解析　设事件A=“居民患有这种地方性疾病”，事件B1=“居民有良好卫生习惯”，事件B2=“居民没有良好卫生习惯”.
由题意知，P(B1)=0.6，P(B2)=0.4，P(A)=0.014，P(A|B1)=0.01，
由全概率公式，可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)，
即0.014=0.6×0.01+0.4×P(A|B2)，解得P(A|B2)=0.02，
即没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.02.
5.(2026·岳阳模拟)现有8把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻的条件下，则三人均相邻(甲、乙、丙之间无空座)的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设事件A=“甲、乙、丙三人中恰有两人相邻”，B=“甲、乙、丙三人均相邻”，
则n(A)=，n(B)=，
故在有两人相邻坐的条件下，三人均相邻的概率为=.
6.(2025·重庆模拟)若随机变量XN(2，σ2)，P(X<1)=x，P(2A.4 B.9 C.18 D.32
答案　B
解析　因为随机变量XN(2，σ2)，P(X<1)=x，所以P(X>3)=x，
所以P(2所以+=2(x+y)=2≥2=9，
当且仅当=时取等号，又x+y=，所以当且仅当x=，y=时取等号，
即+的最小值为9.
7.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每个黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间，小球每次下落，将随机地向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板，放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方下落，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为小球向左下落的概率为向右下落的2倍，
所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
则下落过程的四次中需向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
故概率为=.
8.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对 a>0，都有P(ξ≥a)≤.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，则其概率P(A)的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　记该市去年人均年收入为X万元，从该市任意选取3名市民，去年的年收入超过100万元的人数为Y.
设从该市任选1名市民，去年的年收入超过100万元的概率为p，
则根据马尔可夫不等式可得p=P(X≥100)≤==，
∴0≤p≤，
∵YB(3，p)，
∴P(A)=P(Y=1)=p(1-p)2=3p(1-p)2=3p3-6p2+3p，
令f(p)=3p3-6p2+3p，0≤p≤，
则f'(p)=9p2-12p+3=3(3p-1)(p-1)，
∵0≤p≤，∴3p-1<0，p-1<0，即f'(p)>0，
∴f(p)在上单调递增.
∴f(p)max=f=3××=，即P(A)max=.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知(x2-x)11=a0+a1x+a2x2+…+a22x22，则(　　)
A.a0=0
B.a0+a1+a2+…+a22=0
C.a0-a1+a2-…+a22=222
D.a0+a2+a4+…+a22=210
答案　ABD
解析　令x=0，得a0=0，故A正确；
令x=1，得a0+a1+a2+…+a22=0，故B正确；
令x=-1，得a0-a1+a2-…+a22=211，故C错误；
由选项B，C，得a0+a2+a4+…+a22==210，故D正确.
10.(2025·合肥模拟)下列说法中，正确的是(　　)
A.一组数据：2，3，4，7，8，10，12的第70百分位数是7.5
B.若随机变量X~B，则D(X)=
C.若随机变量X~N(2，σ2)，且P(X<0)=，则P(2≤X≤4)=
D.若三个随机事件A，B，C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
答案　BC
解析　对于A，数据共7个，并且按从小到大的顺序排列，则7×70%=4.9，所以第70百分位数为第5项数据8，故A错误；
对于B，若随机变量X~B，则D(X)=4××=，故B正确；
对于C，若随机变量X~N(2，σ2)，则对称轴为直线x=2，
由P(X<0)=，得P(X>4)=，
则P(0≤X≤4)=1-=，得P(2≤X≤4)=×=，故C正确；
对于D，设样本空间Ω={a，b，c，d}，有4个等可能的样本点，且A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，
则P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=P(AC)=P(BC)=，
所以P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，即A，B，C两两独立，
但是P(ABC)=≠P(A)P(B)P(C)=，所以当A，B，C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立，故D错误.
11.甲、乙两人拿两颗质地均匀的正方体骰子做抛掷游戏.规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数(即为10，11，12)，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数(即为2，3，4，5，6，7，8，9)，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为Pn，则(　　)
A.P2=
B.P3=
C.P10=-
D.Pn=-Pn-1+(n≥2)
答案　BCD
解析　两颗骰子向上的点数之和为两位数(即为10，11，12)的概率为=，所以P2=，A错误；
第n次由甲掷有两种情况：一是第n-1次由甲掷，第n次由甲掷，概率为Pn-1；二是第n-1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为(1-Pn-1).这两种情况是互斥的，所以Pn=Pn-1+(1-Pn-1)，即Pn=-Pn-1+(n≥2)，所以Pn-=-，即数列是以P1-=1-=为首项，-为公比的等比数列，则Pn=+×，P3=，P10=-，所以B，C，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·怀化模拟)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号.已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有　　　　种.
答案　6
解析　第一种情况，4个0全部相邻，把4个0看成1个元素，共有=3(种)；
第二种情况，将4个0分成2组，每组2个0，每组不相邻，利用插空法共有=3(种).
综上，这样的信号共有3+3=6(种).
13.(2025·重庆模拟)设随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≥5.5)=0.2，若P(X≥m)=0.8，则m=　　　　.
答案　0.5
解析　易知正态曲线关于直线x=3对称，且P(X≥5.5)+P(X≥m)=1，
则=3，所以m=0.5.
14.已知数列{an}的首项为1，在(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)(x-a5)(x-a6)的展开式中，若{an}是公差为2的等差数列，则展开式中x5的系数为　　　　；若{an}为公比为2的等比数列，则展开式中x4的系数为　　　　.(用数字作答)
答案　-36　1 302
解析　由题意可知xn(n=0，1，2，3，4，5)项是由因式x-a1，x-a2，x-a3，x-a4，x-a5，x-a6中n个因式中的x与剩余因式中的常数项相乘而得，
若{an}为公差为2的等差数列，则a6=1+2×5=11，
可知x5的系数为-(a1+a2+a3+a4+a5+a6)=-=-36；
若{an}为公比为2的等比数列，则a1+a2+a3+a4+a5+a6==63，
且+++++==1 365，
可知x4的系数为a1a2+a1a3+a1a4+a1a5+a1a6+a2a3+a2a4+a2a5+a2a6+a3a4+a3a5+a3a6+a4a5+a4a6+a5a6=[(a1+a2+a3+a4+a5+a6)2-(+++++)]=×(632-1 365)=1 302.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025·南通模拟)已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等.
(1)求展开式中的常数项；(6分)
(2)求展开式中系数最大的项.(7分)
解　(1)因为第3项与第5项的二项式系数相等，
所以=，解得n=6.
由已知得=，
其展开式的通项为Tk+1=x6-k=2kx6-2k，
令6-2k=0，解得k=3，
则展开式中的常数项为23=160.
(2)由已知得展开式的通项为Tk+1=2kx6-2k，
则第k+1项的系数为2k，设第k+1项的系数最大，
则解得k∈，
因为k是整数，所以k=4，
此时展开式中系数最大的项为T5=24x6-2×4=240x-2.
16.(15分)(2025·常州模拟)甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响，现每人分别投篮2次.
(1)记甲投篮命中的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(7分)
(2)求甲比乙进球数多的概率.(8分)
解　(1)甲投篮命中率为，现投篮2次，命中次数X可能的取值为0，1，2，
P(X=0)==，P(X=1)=××=，P(X=2)==，
X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响，现每人分别投篮2次，甲比乙进球数多包含以下三种情况.
①甲进1球，乙进0球，概率为P1=×××=；
②甲进2球，乙进1球，概率为P2=××××=；
③甲进2球，乙进0球，概率为P3=××=，
所以甲比乙进球数多的概率P=P1+P2+P3=++=.
17.(15分)(2025·哈尔滨模拟)2025年春晚《秧BOT》节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情.为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，某校随机抽取了90名学生，调查结果如表.
性别 关注 不关注 合计
男 55 60
女
合计 75
(1)完成上述列联表，根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关？(7分)
(2)在这90名学生中随机抽取一位，若事件A表示“该生关注AI”，事件B表示“该生为女生”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)及P(B|A)的值.(8分)
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
解　(1)根据题意，完成列联表如下.
性别 关注 不关注 合计
男 55 5 60
女 20 10 30
合计 75 15 90
零假设为H0：学生对AI的关注与性别无关，则χ2==9>6.635=x0.01，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生对AI的关注与性别有关.
(2)P(A)==，P(B)==，
∴P(AB)==，
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=，
∴P(B|A)==.
18.(17分)(2025·海口模拟)某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2025年报考该试点高校的学生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2).其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.已知μ的近似值为76.5，σ的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，则该校预期的平均成绩大约是多少？(4分)
(2)规定笔试成绩高于76.5分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试的学生数为ξ，求随机变量ξ的数学期望；(5分)
(3)现有甲、乙、丙、丁4名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，，，.设这4名学生中通过面试的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望.(8分)
参考数据：若XN(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.997 3.
解　(1)由P(X≥μ-σ)=+≈0.841 35，
又μ的近似值为76.5，σ的近似值为5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是76.5-5.5=71(分).
(2)由μ≈76.5，可得P(ξ>76.5)=，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，
该学生笔试成绩高于76.5分的概率为，
所以随机变量ξ~B，
故E(ξ)=10×=5.
(3)Y的可能取值为0，1，2，3，4，
P(Y=0)=×××=，
P(Y=1)=××××+××××=，
P(Y=2)=×××+×××××+×××=，
P(Y=3)=××××+××××=，
P(Y=4)=×××=，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P
所以E(Y)=0×+1×+2×+3×+4×=.
19.(17分)已知数列{an}满足an+1-an=2 024(an-1)(n∈N*)，a1=2 026.
(1)求证：数列{an-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)为庆祝“五一”国际劳动节，某中学各班将要举办“致敬劳动者，礼赞新时代”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节目.某班想用(1)中的数列{an}组织如下游戏：让参与的同学在数列{an}中随机抽取10项，如果在这10项中，至少有k项的值能被2 026整除，则这个同学中奖.
①设随机变量X表示抽取项中能被2 026整除的项的个数，求E(X)；(7分)
②本着开心迎五一的原则，若要求中奖概率大于90%，那么规定k=3是否符合要求，若符合，请说明理由；若不符合，请给出一个符合要求的k值.(4分)
解　(1)由已知an+1-an=2 024(an-1)，
得an+1=2 025an-2 024，
an+1-1=2 025an-2 025=2 025(an-1)，
又因为a1-1=2 025，
所以=2 025，
则{an-1}是以2 025为首项和公比的等比数列，
所以an-1=2 025×2 025n-1=2 025n，
所以an=2 025n+1.
(2)①由二项式定理，得
an=(2 026-1)n+1=2 026n-2 026n-1+2 026n-2-…+2 026(-1)n-1+(-1)n+1，an要能被2 026整除，需(-1)n+1=0(n∈N*)，即n为正奇数.
所以数列{an}中的奇数项能被2 026整除，
又{an}是无穷数列，
所以随机抽取一项能被2 026整除的概率是，且每次抽取相互独立，
所以X~B，所以E(X)=10×=5.
②设当k=3时，中奖概率为P，
则P=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1---
=1-=1->90%，
所以规定k=3符合要求.
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