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泸州高中高 2023 级高三下期数学冲刺训练（三）
一、选择题：本题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的.
1．已知集合 A={x|x2-2x-8<0}， ，则 A∩B=（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，且 ，其中 a，b 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
3． 为平面上一动点， 是平面上不共线的三点，且满足
，则 点的轨迹必过 ABC 的（ ）
A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心
4．已知命题 ， ；命题 ， ，则（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
5． ABC 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
6．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.
若每场比赛，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，则比赛 6 场后甲赢得比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆 与 轴和 轴都相切，且半径为 1；圆 也与 轴和 轴都相切，
并且与圆 外切.若圆 的半径小于 1，则圆 的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知三次函数 ，若不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
1
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量 ，且 ，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平
带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C．对 a，b 两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对 m，n 两个变量进
行相关性检验，得到相关系数为 0.8278，则 a 与 b 负相关，m 与 n 正相关，其中 m 与 n
的相关性更强
D．一组数 1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的第 80 百分位数为 4.5
10．已知 ，则下列选项正确
的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D． 的展开式中，不存在连续三项成等比数列
11．在平面直角坐标系中，曲线 ，则（ ）
A．曲线 关于原点对称
B．对于任意的实数 ，直线 与曲线 总有公共点
C．曲线 上存在四个点 ，使得四边形 是正方形
D．若圆 与曲线 恰有 4 个公共点，则 的范围是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在 7 和 21 中插入 3 个数，使这 5 个数成等差数列，则最中间的一个数为________．
13．在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，若
，则 的最大值为_________.
14．已知一个圆锥的底面半径为 3，侧面积为 .若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自
由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________.
2
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好
评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了 7 个动作指令，机器人成功完成了其中 5
个.现从这 7 个指令中随机抽取 4 个进行回放分析，以 表示抽取的指令中成功完成的个数.
(1)求 的分布列和数学期望；
(2)若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为 0.9；若对机器人
下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为 0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率
为 ，若该机器人成功完成指令的概率为 0.8，求 的值.
16. 如图，四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，且
，过直线 的平面与棱 分别交于点 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．已知动点 P 到定点 的距离比它到直线 的距离小 ．
(1)求动点 P 的轨迹方程；
(2)过点 作倾斜角为 ， （ ）的两条直线交 P 的轨迹 C 于 M，N 两点，若
3
，求证：直线 MN 恒过定点．
4
18．已知 ，函数 .
(1)当 时，函数 为减函数，求实数 的最小值;
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)当 时，证明：方程 有三个不等实根.
19．已知数列 的前 n 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，若 ，求 的取值范围；
(3)请比较 与 的大小，并说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B D B C D ABD ACD
题号 11
答案 ACD
1．D
【详解】由 ，得 ，解得 或 ，
所以 ，所以 ,
所以 .
2．A
【详解】
由 ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得 ,即
故选:
3．D
【详解】如图，设 为 边的中点， ，
，
共线，
即点 在 底边 的中线上．
故选：D．
4．B
【详解】当 时， 不成立，所以命题 是假命题， 是真命题；
1
根据指数函数和对数函数的图象可知，函数 与 在 上有一个交点，
则 ， ，即命题 是真命题， 是假命题.
5．D
【详解】因为 ，可设 ，
所以 .
故选：D.
6．B
【详解】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛 6 场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的
情况依次为：赢输赢输赢赢，
故比赛 6 场后甲赢得比赛的概率为： .
故选：B.
7．C
【详解】根据对称性，不妨设此时 的圆心位于第一象限，
由于圆 的半径小于 1，且与 外切，故圆 的圆心也位于第一象限，
则 ， ，且 的半径为 ，且 ，
根据两圆外切，则 ，解得 ，
故选：C
8．【详解】由 ，求导可得： ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时，极大值为 4，
即当 时， ，
又当 时，极小值为 0，当 时， ，
且函数 在 单调递减，在 单调递增，
即当 时， ，当 时， ，
综上可知不等式 的解集为 ，
2
故选：D
9．ABD
【详解】由题意得 ， ， ，
则 ，故选项 A 正确；
∵在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项 B 正确；
∵ ，且 ，
∴a 与 b 负相关，m 与 n 正相关，且 a 与 b 的相关性更强，故选项 C 错误.
对于 D， ，所以一组数 1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的第 80 百分位数为第 8
个数字和第 9 个数字的平均值，即 ，D 正确；
故选：ABD.
10．ACD
【详解】由 ，得 ，得 ，
解得 或 （舍），所以 A 正确；
由 ，可以在二项展开式中令 ，
有 ，所以 或 0，故 B 错误；
C.在二项展开式中令 ，有 ，故 C 正确；
D. ，其展开式的通项为 ， ，
①若 ，则显然 D 正确；
②若 ，展开式中存在连续三项成等比数列，
则必存在整数 使得
，
矛盾，故假设错误，
综上，D 正确.
3
11．ACD
【详解】对于选项 A，设曲线 上任意一点 ，其关于原点的对称点为 .将
代入曲线方程得， ，所以
曲线 关于原点对称.故 A 正确.
对于选项 B，将 与曲线 联立:
即 .
当 时，此方程无解.即直线 与曲线 无公共点，故选项 B 错误.
对于选项 C，要构成以原点为中心的正方形，只需在曲线上找到一点 ，使得点 也
在曲线上.
联立方程组 可得 ，
将 代入 得 ，此方程有解，故存在这样的点.
故选项 C 正确.
对于选项 D，当圆 与 有交点时,
由 得, ，当且仅当 ，
即 时取等.
当圆 与 相切时, 将两式联立,
由 得, 即 .
令 ，得 .由
因为 ，所以 .
又因为 与曲线 恰有 4 个公共点，则 .故选项 D 正确.
4
12．14
【详解】设所求三个数依次为 ，则 成等差数列，
因此 ，解得 ，
所以这 3 个数为 ，所以最中间的一个数为 ．
13．1
【详解】因为 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，
又因为 ，所以 ，
令 ，则 .
所以 ，
所以当 时， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 1.
14．8
【详解】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大，
则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球，
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
则圆锥侧面积为 ，解得 .
如图，在圆锥轴截面 中， ，则 ，
5
所以 ，
所以圆锥内切球半径 ，即正方体外接球半径为 .
设正方体的棱长为 ，则 ，解得 ，
所以正方体的体积为 .
15．(1)分布列为：
2 3 4
期望为
(2)
(3)2.5 秒
【详解】（1）由题意知随机变量 服从超几何分布，其中 ， ， ，
且 的所有可能取值为 2，3，4， ， ，
，
故 的分布列为：
2 3 4
法一：所以 的数学期望 .
法二：根据超几何分布的期望公式知 .
6
（2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件 ，
记“下达的动作指令表述模糊”为事件 ，
记“机器人成功完成指令”为事件 .
由已知得 ， ， ， ， .
因为 ，
所以 .
16. 【详解】（1）由题意知四边形 为平行四边形，故 ，
平面 , 平面 ,故 平面 ,
又平面 平面 , 平面 ，
故 ；
（2）由题意知 平面 ， ，
以 A 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
由于 ， ， ，则 ,
故 ， ，
,
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，
7
故 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，点 到点 和到 的距离相等，
故点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
故动圆圆心的轨迹 C 的方程为 ；
（2）由题意可知，直线 的倾斜角均不为 和 ，
故直线 ， 的斜率存在且不为 ，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，
若直线 的斜率为 ，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则 重合，均不符
合题意；
故设 ， ，
联立 ，得 ，
则 ，
则
，
得 ，
则直线 恒过点 .
8
18.（1）当 时，记 ，
其中 ，则 ，
因为函数 为减函数，所以 恒成立
因为 ，当且仅当 时等号成立，故 ，
而 成立，可得 ，解得 ，故 的最小值为 .
（2）令 ，解得 ，则函数定义域为 ，
因为
，
所以 关于点 中心对称，即曲线 是中心对称图形.
（3）当 时， ，
当 时， ，
令 ，则 ，
则函数 在区间 上单调递减，
而 ， ，可得 ，
由零点存在性定理得存在 使得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
9
又 ，则 ， ，
而 ，可得方程 在区间 上有一解，
由曲线 的对称性知，方程 在区间 上也有一解，
故方程 在区间 上有三解.
19．(1) ；
(2) ；
(3) ，理由见解析.
【详解】（1）数列 中， ，
当 时， ，而 满足上式，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）得 ，
，
而 ，
因此 ，
当 为偶数时， ，数列 单调递减， ；
当 为奇数时， ，数列 单调递增， ，
所以 的取值范围是 .
（3）令 ， ，
当 时，
，
10
又 ，
因此 ，即 ，
，
则 ，所以 .
11

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