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2025-2026学年陕西省西安市第八十三中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，在中，向量是( )
A. 有相同起点的向量
B. 模相等的向量
C. 共线向量
D. 相等的向量
3.若，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
6.如图，在矩形中，，，为上一点，，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B.
C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的( )
A. 若复数，则
B. 若，，则复数的虚部是
C. 若是关于的实系数方程的根，则
D. 若，则的最小值为
10.对于三角形形状的判断，以下说法正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则此三角形有解
C. ，则为直角三角形
D. 若，则为钝角三角形
11.定义：，两个向量的叉乘的模，，则( )
A. 若平行四边形的面积为，则
B. 在正三角形中，若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.四面体的所有棱长都为，则这个四面体的外接球的表面积为 ．
14.将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且为纯虚数．
求复数；
若，求复数及
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
当时，若，求的最小值．
17.本小题分
如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，．
求角；
当时，的面积为，周长为，求的取值范围．
19.本小题分
定义非零向量的“相伴函数”为向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点．
设，写出函数的相伴向量；
已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为若，，且角的平分线，求边上的高及边上的中线长；
已知，，为中的函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.解：由，所以，
又为纯虚数，所以，解得，
所以复数；
由知，所以，
故，．
16.解：因为，，
所以，
因为，
所以，解得．
当时，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
17.解：在梯形中，，，且，，，
，
，
．
以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为，
圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的底面积，
组合体上底面积，
旋转体的表面积．
又由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
圆柱的体积，
圆锥的体积，
旋转体的体积．
18.解：因为，
整理可得，
即，
在中，，可得，
因为，
所以；
因为，，
由余弦定理可得：，即．
所以，即．
，
由正弦定理可得，，，
所以，
在锐角中，，所以，
可得，可得，
所以
所以．
19.解：因为非零向量的“相伴函数”为，
且向量称为函数的“相伴向量”
又，
所以函数的相伴向量；
因为已知的内角，，的对边分别为，，，
又的相伴函数为，
且，，角的平分线，
所以，
由，得，
又，即，则，
因为角的平分线，且，
所以由三角形面积公式，得，
即，化简得，
由余弦定理可得，
化简得，
所以，设边上的高为，
由三角形面积公式，得；
设的中点为，
所以有，平方，得
，又得，，
所以可得，
所以；
由知，
则，
设，由，，得，
由，得，则，
即，于是．
由，得，则，
而，因此当且仅当时，和同时等于，
所以在图象上存在点，使得．
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