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2026中考数学 单元检测(三)
[范围:函数及其图象　限时:45分钟　满分:100分]
一、 选择题(每小题5分,共35分)
1.函数y=中自变量x的取值范围是 (　　)
A.x≠ B.x≥1 C.x> D.x≥
1.D　
2.在平面直角坐标系中,若点A(a,-b)在第一象限,则点B(a,b)所在的象限是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.D　
3.若正比例函数y=-2x的图象经过点P(a-1,4),则a的值为 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.A　
4.关于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是 (　　)
A.y的最小值为1
B.图象的顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2
C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大;当x>2时,y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
4.C　
5.函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是 (　　)
图Y3-1
5.B　
6.若点A(-3,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k>0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是
(　　)
A.y1B.y3C.y3D.y26.D
7.如图Y3-2,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-.结合图象分析下列结论:
图Y3-2
①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y随x的增大而增大;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=;⑤<0;⑥若m,n(m2.
其中正确的结论有 (　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
7.C　[解析]由抛物线开口向下,与y轴交于正半轴可知a<0,c>0.
∵抛物线的对称轴是直线x=-,∴b=a<0.∴abc>0,故①正确.
∵抛物线与x轴的一个交点是(-3,0),∴另一个交点是(2,0).
把(2,0)代入解析式可得4a+2b+c=0,∴6a+c=0.
∴3a+c=-3a.
∵a<0,∴-3a>0.∴3a+c>0.故②正确.
由图象可知,当-∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-3,x2=2,c=-6a,
∴一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=.故④正确.
由抛物线顶点的纵坐标大于0可知,>0,
∴<0.故⑤正确.
∵a(x+3)·(x-2)+3=0,
∴a(x+3)·(x-2)=-3.
∵m,n(m2.故⑥正确.
综上,正确的结论有5个.故选C.
二、 填空题(每小题6分,共24分)
8.将点A(1,-3)沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A'的坐标为　　　　.
8.(-2,2)
9.如图Y3-3,已知直线y=kx+b过A(-1,2),B(-2,0)两点,则0≤kx+b≤-2x的解集为　　　　　　.
图Y3-3
9.-2≤x≤-1　[解析]如图,直线OA的解析式为y=-2x.由图象可知,当-2≤x≤-1时,0≤kx+b≤-2x.
10.如图Y3-4,A,C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的两个交点,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD的面积为　　　　.
图Y3-4
10.8　[解析]联立解得或
∴点A的坐标为(2,2),点C的坐标为(-2,-2).
∵AD⊥x轴于点D,CB⊥x轴于点B,
∴B(-2,0),D(2,0).∴BD=4,AD=BC=2.
∴四边形ABCD的面积=2×AD·BD=8.
11.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1经过A(m,3),B(n,3)两点.若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是　　　　.
11.　[解析]∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1经过A(m,3),B(n,3)两点,∴=-=-2,y=a(x+2)2+1.
若a<0,则二次函数的最大值为1,抛物线显然不可能经过A(m,3),B(n,3)两点,∴a>0.
∵线段AB的长不大于4,
∴4a+1≥3.∴a≥.
∴a2+a+1的最小值为()2++1=.
三、 解答题(共41分)
12.(12分)一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地,0.4 h后,一辆货车从A地出发,沿同一路线以80 km/h的速度匀速驶向B地,货车到达B地填装货物耗时15 min,然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y(km)与货车出发的时间x(h)之间的函数关系如图Y3-5所示,请结合图象解答下列问题:
(1)A,B两地之间的距离是　　　　km,a=　　　　;
(2)结合图象,求线段CD所在直线的解析式;
(3)货车出发多长时间时,两车相距15 km (直接写出答案)
图Y3-5
12.解:(1)60　1　[解析] A,B两地之间的距离是80×=60(km),
15 min= h,
=1(h),
∴a=1.
故答案为60,1.
(2)根据题意,得点(-,0)在线段CD所在的直线上.
设线段CD所在直线的解析式为y=kx+b.
将(-,0)和D(2,60)分别代入,
得解得
∴线段CD所在直线的解析式为y=25x+10.
(3)货车出发 h或 h或 h时,两车相距15 km.
[解析]由题意,知线段OE的解析式为y=80x(0≤x≤);
货车在FG段的速度为60÷(2-1)=60(km/h),
∴线段FG的解析式为y=60-60(x-1)=-60x+120(1综上,货车离A地的距离y(km)与货车出发的时间x(h)之间的函数解析式为y=
当0≤x≤时,由两车相距15 km,得|80x-(25x+10)|=15,
解得x=或x=-(不合题意,舍去);
当解得x=(不合题意,舍去);
当1解得x=或x=.
综上所述,货车出发 h或 h或 h时,两车相距15 km.
13.(13分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
售价x/(元/件) 50 60 80
周销售量y/件 100 80 40
周销售利润w/元 1000 1600 1600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价).
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品的进价是　　　　元/件.当售价是　　　　元/件时,周销售利润最大,最大周销售利润是　　　　元.
(2)由于某种原因,该商品的进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品的售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若最大周销售利润是1400元,求m的值.
13.解:(1)①设y关于x的函数解析式为y=kx+b.
依题意,得解得
∴y关于x的函数解析式是y=-2x+200.
②40　70　1800
[解析]设该商品的进价为t元/件.
由题意,得1000=100×(50-t),解得t=40,
∴该商品的进价为40元/件.
由题意,得周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800.
∵-2<0,∴当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大周销售利润是1800元.
(2)依题意,得w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2(x-)2+m2-60m+1800.
∵m>0,∴对称轴直线x=>70.
∵-2<0,∴抛物线开口向下.
∵x≤65,∴w随x的增大而增大.
∴当x=65时,w有最大值,为(-2×65+200)(65-40-m).
∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400,解得m=5.
14.(16分)如图Y3-6,在平面直角坐标系中,直线y=-x-2与抛物线y=x2-2mx+n相交于A,B两点,其中点A在x轴上.
(1)n=　　　　(用含m的代数式表示);
(2)若B为该抛物线的顶点,求出m和n的值;
(3)当-3≤x≤0时,二次函数y=x2-2mx+n的最小值为-4,求m的值.
图Y3-6
14.解:(1)-4m-4
[解析]在y=-x-2中,
令y=0,则-x-2=0,解得x=-2.∴点A的坐标为(-2,0).
把点A的坐标(-2,0)代入抛物线y=x2-2mx+n,得4+4m+n=0,∴n=-4m-4.
(2)由(1)知n=-4m-4,∴y=x2-2mx+n=x2-2mx-4m-4=(x-m)2-m2-4m-4,
∴抛物线的顶点B的坐标为(m,-m2-4m-4).
∵点B在直线y=-x-2上,
∴-m2-4m-4=-m-2.
整理,得m2+3m+2=0,
解得m1=-1,m2=-2(不合题意,舍去).
∴n=-4×(-1)-4=0.
(3)由(2)知y=(x-m)2-m2-4m-4.
∵当-3≤x≤0时,二次函数的最小值为-4,
∴可分三种情况:
若m≤-3,则当x=-3时,y=-4,
∴(-3-m)2-m2-4m-4=-4,解得m=-.
若-3∴-m2-4m-4=-4,解得m=0或m=-4(不合题意,舍去).∴m=0.
若m>0,则当x=0时,y=-4,∴-4m-4=-4,解得m=0(不合题意,舍去).
综上所述,m的值为-或0.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2026中考数学 单元检测(三)
[范围:函数及其图象　限时:45分钟　满分:100分]
一、 选择题(每小题5分,共35分)
1.函数y=中自变量x的取值范围是 (　　)
A.x≠ B.x≥1 C.x> D.x≥
2.在平面直角坐标系中,若点A(a,-b)在第一象限,则点B(a,b)所在的象限是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若正比例函数y=-2x的图象经过点P(a-1,4),则a的值为 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.关于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是 (　　)
A.y的最小值为1
B.图象的顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2
C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大;当x>2时,y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
5.函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是 (　　)
图Y3-1
6.若点A(-3,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k>0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是
(　　)
A.y1B.y3C.y3D.y27.如图Y3-2,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-.结合图象分析下列结论:
图Y3-2
①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y随x的增大而增大;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=;⑤<0;⑥若m,n(m2.
其中正确的结论有 (　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
二、 填空题(每小题6分,共24分)
8.将点A(1,-3)沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A'的坐标为　　　　.
9.如图Y3-3,已知直线y=kx+b过A(-1,2),B(-2,0)两点,则0≤kx+b≤-2x的解集为　　　　　　.
图Y3-3
10.如图Y3-4,A,C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的两个交点,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD的面积为　　　　.
图Y3-4
11.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1经过A(m,3),B(n,3)两点.若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是　　　　.
三、 解答题(共41分)
12.(12分)一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地,0.4 h后,一辆货车从A地出发,沿同一路线以80 km/h的速度匀速驶向B地,货车到达B地填装货物耗时15 min,然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y(km)与货车出发的时间x(h)之间的函数关系如图Y3-5所示,请结合图象解答下列问题:
(1)A,B两地之间的距离是　　　　km,a=　　　　;
(2)结合图象,求线段CD所在直线的解析式;
(3)货车出发多长时间时,两车相距15 km (直接写出答案)
图Y3-5
13.(13分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
售价x/(元/件) 50 60 80
周销售量y/件 100 80 40
周销售利润w/元 1000 1600 1600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价).
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品的进价是　　　　元/件.当售价是　　　　元/件时,周销售利润最大,最大周销售利润是　　　　元.
(2)由于某种原因,该商品的进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品的售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若最大周销售利润是1400元,求m的值.
14.(16分)如图Y3-6,在平面直角坐标系中,直线y=-x-2与抛物线y=x2-2mx+n相交于A,B两点,其中点A在x轴上.
(1)n=　　　　(用含m的代数式表示);
(2)若B为该抛物线的顶点,求出m和n的值;
(3)当-3≤x≤0时,二次函数y=x2-2mx+n的最小值为-4,求m的值.
图Y3-6

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