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2026中考数学 单元检测(四)
[范围:三角形　限时:45分钟　满分:100分]
一、 选择题(每小题5分,共40分)
1.如图Y4-1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C的度数是
(　　)
图Y4-1
A.50° B.60°
C.70° D.80°
2.如图Y4-2,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为(　　)
图Y4-2
A. B. C. D.
3.如图Y4-3,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D.若∠A=50°,则∠BDC=(　　)
图Y4-3
A.50° B.100°
C.120° D.130°
4.如图Y4-4,在△ABC和△DEC中,AB=DE,再添加两个条件使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是 (　　)
图Y4-4
A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC
C.BC=EC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D
5.如图Y4-5,△OAB∽△OCD,OA∶OC=5∶3,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列说法正确的是 (　　)
图Y4-5
A. B.
C. D.
6.如图Y4-6,在△ABC中,∠ACB为钝角.用无刻度的直尺和圆规在边AB上确定一点D,使∠ADC=2∠B,则符合要求的作图痕迹是 (　　)
图Y4-6
7.如图Y4-7,梯子AB斜靠在墙面上,P是AB的中点,若梯子A端沿墙下滑,B端沿地面向右滑行,则在此滑动过程中,点C和点P之间的距离 (　　)
图Y4-7
A.始终不变
B.不断变小
C.不断变大
D.先变小后变大
8.三个正方形如图Y4-8所示放置,已知两边的两个正方形的面积分别为2和3,则中间的一个大正方形的面积为 (　　)
图Y4-8
A.13 B.10
C.6 D.5
二、 填空题(每小题5分,共20分)
9.如图Y4-9,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为　　　　.
图Y4-9
10.已知等腰三角形的底角是30°,腰长为2,则它的周长是　　　　.
11.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Y4-10所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a+b)2的值是　　　　.
图Y4-10
12.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的“特征值”k=　　　　.
三、 解答题(共40分)
13.(12分)如图Y4-11,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.
(1)用无刻度的直尺和圆规作AB的垂直平分线(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.
图Y4-11
14.(12分)某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌,如图Y4-12.小明同学为测量宣传牌的高度AB,他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处,测得宣传牌的底部B的仰角为60°,同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A,B,D,E在同一直线上),然后,小明沿坡度i=1∶1.5的斜坡从C处走到F处,此时DF正好与地面CE平行.
(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号);
(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°,求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米,≈1.41,≈1.73).
图Y4-12
15.(16分)如图Y4-13①,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,延长DA至点E,连接EB,EC.
(1)求证:△BAE≌△CAE;
(2)在图①中,若AE=AD,其他条件不变得到图②,在图②中过点D作DF⊥AB于点F,设H是EC的中点,过点H作HG∥AB交FD于点G,交DE于点M.求证:AF·MH=AM·AE.
图Y4-13/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026中考数学 单元检测(四)
[范围:三角形　限时:45分钟　满分:100分]
一、 选择题(每小题5分,共40分)
1.如图Y4-1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C的度数是
(　　)
图Y4-1
A.50° B.60°
C.70° D.80°
1.C　[解析]∵∠ADC=70°,∠B=30°,
∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD=80°.
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°.
2.如图Y4-2,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为(　　)
图Y4-2
A. B. C. D.
2.D　[解析]如图,取格点D,则AD=3,CD=4.
由勾股定理,得AC==5,
∴AD2+CD2=AC2,
∴∠ADC=90°,
∴sin∠BAC=.
3.如图Y4-3,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D.若∠A=50°,则∠BDC=(　　)
图Y4-3
A.50° B.100°
C.120° D.130°
3.B
4.如图Y4-4,在△ABC和△DEC中,AB=DE,再添加两个条件使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是 (　　)
图Y4-4
A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC
C.BC=EC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D
4.C　[解析]A选项,已知AB=DE,再加上条件BC=EC,∠B=∠E,可利用SAS证明△ABC≌
△DEC,故不合题意;
B选项,已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC,可利用SSS证明△ABC≌△DEC,故不合
题意;
C选项,已知AB=DE,再加上条件BC=EC,∠A=∠D,不能证明△ABC≌△DEC,故符合题意;
D选项,已知AB=DE,再加上条件∠B=∠E,∠A=∠D,可利用ASA证明△ABC≌△DEC,故不合题意.
故选C.
5.如图Y4-5,△OAB∽△OCD,OA∶OC=5∶3,△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2,周长分别是C1与C2,则下列说法正确的是 (　　)
图Y4-5
A. B.
C. D.
5.A
6.如图Y4-6,在△ABC中,∠ACB为钝角.用无刻度的直尺和圆规在边AB上确定一点D,使∠ADC=2∠B,则符合要求的作图痕迹是 (　　)
图Y4-6
6.B　[解析]∵∠ADC=2∠B,且∠ADC=∠B+∠BCD,∴∠B=∠BCD.∴点D在线段BC的垂直平分线上.
7.如图Y4-7,梯子AB斜靠在墙面上,P是AB的中点,若梯子A端沿墙下滑,B端沿地面向右滑行,则在此滑动过程中,点C和点P之间的距离 (　　)
图Y4-7
A.始终不变
B.不断变小
C.不断变大
D.先变小后变大
7.A
8.三个正方形如图Y4-8所示放置,已知两边的两个正方形的面积分别为2和3,则中间的一个大正方形的面积为 (　　)
图Y4-8
A.13 B.10
C.6 D.5
8.D
二、 填空题(每小题5分,共20分)
9.如图Y4-9,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为　　　　.
图Y4-9
9.34°　[解析]根据题意可得BA=BD.
∵∠B=40°,
∴∠BAD=∠BDA=70°.
∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°.
10.已知等腰三角形的底角是30°,腰长为2,则它的周长是　　　　.
10.6+4
11.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Y4-10所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a+b)2的值是　　　　.
图Y4-10
11.25　[解析]由勾股定理可得a2+b2=13,一个直角三角形的面积=(13-1)÷4=3,即ab=3,∴ab=6,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.
12.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的“特征值”k=　　　　.
12.或　[解析]①当∠A为顶角时,等腰三角形底角的度数为=50°,
∴“特征值”k=;
②当∠A为底角时,顶角的度数为180°-80°-80°=20°,∴“特征值”k=.
故答案为或.
三、 解答题(共40分)
13.(12分)如图Y4-11,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.
(1)用无刻度的直尺和圆规作AB的垂直平分线(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.
图Y4-11
13.解:(1)如图①所示,直线l为AB的垂直平分线.
(2)如图②,连接AD.
∵直线l垂直平分AB,∴AD=BD.
设AD=BD=x,则CD=8-x.
在Rt△ACD中,由勾股定理,得AC2+CD2=AD2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,
∴BD的长为5.
14.(12分)某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌,如图Y4-12.小明同学为测量宣传牌的高度AB,他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处,测得宣传牌的底部B的仰角为60°,同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A,B,D,E在同一直线上),然后,小明沿坡度i=1∶1.5的斜坡从C处走到F处,此时DF正好与地面CE平行.
(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号);
(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°,求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米,≈1.41,≈1.73).
图Y4-12
14.解:(1)如图,过点F作FG⊥EC于点G,
则四边形DEGF是矩形,
∴FG=DE.
在Rt△CDE中,DE=CE·tan∠DCE=6×tan 30°=2(米).
∴FG=DE=2米.
故点F到直线CE的距离为2米.
(2)∵斜坡CF的坡度i=1∶1.5,即,
∴CG=1.5FG=2×1.5=3(米).
∴FD=EG=(3+6)米.
∵∠AFD=45°,∴AD=FD=(3+6)米.
在Rt△BCE中,BE=CE·tan∠BCE=6×tan 60°=6(米),
∴AB=AD+DE-BE=3+6+2-6=6-≈4.3(米).
答:宣传牌的高度AB约为4.3米.
15.(16分)如图Y4-13①,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,延长DA至点E,连接EB,EC.
(1)求证:△BAE≌△CAE;
(2)在图①中,若AE=AD,其他条件不变得到图②,在图②中过点D作DF⊥AB于点F,设H是EC的中点,过点H作HG∥AB交FD于点G,交DE于点M.求证:AF·MH=AM·AE.
图Y4-13
15.证明:(1)∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD是BC的垂直平分线.
又∵点E在直线AD上,∴EB=EC.
在△BAE和△CAE中,
∴△BAE≌△CAE(SSS).
(2)如图,连接AH.
∵A,H分别是ED和EC的中点,
∴AH是△EDC的中位线.
∴AH∥DC,AH=DC.
∴∠EAH=∠EDC=90°.
∵DF⊥AB,∴∠AFD=90°.
∴∠AFD=∠MAH.
∵HG∥AB,∴∠FAD=∠AMH.
∴△AFD∽△MAH.
∴.∴AF·MH=AM·AD.
又∵AE=AD,∴AF·MH=AM·AE.
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