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2026中考数学 单元检测(五)
[范围:四边形　限时:45分钟　满分:100分]
一、 选择题(每小题5分,共30分)
1.正九边形的一个内角的度数是 (　　)
A.108° B.120°
C.135° D.140°
2.下列说法中,正确的有 (　　)
①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.如图Y5-1,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是 (　　)
图Y5-1
A.2.5 B.3
C.4 D.5
4.如图Y5-2,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线的交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是 (　　)
图Y5-2
A.1 B.
C.2 D.
5.如图Y5-3,在 ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是 (　　)
　图Y5-3
A.EH=HG
B.四边形EFGH是平行四边形
C.AC⊥BD
D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
6.如图Y5-4,在正方形ABCD中,E,F,H分别是AB,BC,CD的中点,CE,DF交于点G,连接AG,HG,下列结论中,不正确的是(　　)
图Y5-4
A.CE=DF B.CE⊥DF
C.GH=AD D.△ADG是等边三角形
二、 填空题(每小题6分,共30分)
7.如图Y5-5,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=　　　　.
图Y5-5
8.如图Y5-6,菱形ABCD的边长为10 cm,DE⊥AB于点E,sin A=,则这个菱形的面积为
　　　　cm2.
图Y5-6
9.如图Y5-7,折叠矩形ABCD,使点B落在对角线AC上的点F处.若BC=8,AB=6,则线段CE的长度是　　　　.
图Y5-7
10.如图Y5-8,将两张长为4,宽为1的矩形纸条交叉并旋转,使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中,当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,那么菱形周长的最大值是　　　　.
图Y5-8
11.在 ABCD中,∠A=30°,AD=4,BD=4,则 ABCD的面积等于　　　　.
三、 解答题(共40分)
12.(10分)如图Y5-9,点E,F,G,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上运动(不包括端点),且满足AE=CG,AH=CF.
(1)求证:△AEH≌△CGF;
(2)试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
图Y5-9
13.(14分)如图Y5-10,在菱形ABCD中,P是BC边上一点,连接AP,E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF.
求证:(1)△ABF≌△DAE;
(2)DE=BF+EF.
图Y5-10
14.(16分)如图Y5-11,在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.
【感知】如图①,过点A作AF⊥BE,交BC于点F,易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE,交BC于点F,交AD于点G.
(1)求证:BE=FG;
(2)连接CM,若CM=1,则FG的长为　　　　.
【应用】如图③,取BE的中点M,连接CM,过点C作CG⊥BE,交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为　　　　.
图Y5-11/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026中考数学 单元检测(五)
[范围:四边形　限时:45分钟　满分:100分]
一、 选择题(每小题5分,共30分)
1.正九边形的一个内角的度数是 (　　)
A.108° B.120°
C.135° D.140°
1.D　[解析]正九边形的内角和=180°×(9-2)=1260°,则每个内角的度数==140°.
2.下列说法中,正确的有 (　　)
①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.B
3.如图Y5-1,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是 (　　)
图Y5-1
A.2.5 B.3
C.4 D.5
3.A　[解析]∵菱形ABCD的周长为20,∴BC==5,且O为BD的中点.
∵E为CD的中点,∴OE为△BCD的中位线,
∴OE=BC=2.5.
4.如图Y5-2,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线的交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是 (　　)
图Y5-2
A.1 B.
C.2 D.
4.B　[解析]连接CE.∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,OC=OA,AD=BC=8,DC=AB=6.
∵EF⊥AC,OA=OC,∴AE=CE.
在Rt△DEC中,由勾股定理,得DE2+DC2=CE2,
即DE2+36=(8-DE)2,解得DE=.
5.如图Y5-3,在 ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是 (　　)
　图Y5-3
A.EH=HG
B.四边形EFGH是平行四边形
C.AC⊥BD
D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
5.B　[解析]∵E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,在 ABCD中,AB=2,AD=4,∴EH=AD=2,HG=CD=AB=1,∴EH≠HG,故选项A错误;
∵E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,∴EH=AD=BC=FG,EH∥AD∥BC∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形,故选项B正确;
由题目中的条件,无法判断AC和BD是否垂直,故选项C错误;
∵E,F分别是OA和OB的中点,∴EF=AB,EF∥AB,∴△OEF∽△OAB,
∴=()2=,即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍,故选项D错误.
故选B.
6.如图Y5-4,在正方形ABCD中,E,F,H分别是AB,BC,CD的中点,CE,DF交于点G,连接AG,HG,下列结论中,不正确的是(　　)
图Y5-4
A.CE=DF B.CE⊥DF
C.GH=AD D.△ADG是等边三角形
6.D　[解析]∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠DCF=90°.
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴BE=CF,∴△BCE≌△CDF(SAS),
∴CE=DF,∠BCE=∠CDF,故A项正确;
∵∠BCE+∠DCG=90°,∴∠DCG+∠CDF=90°,
∴∠DGC=90°,
∴CE⊥DF,故B项正确;
∵H是CD的中点,∴GH=CD=AD,故C项正确;
∵△CGD是直角三角形,∴DG≠CD,即DG≠AD,
∴△ADG不是等边三角形.故D项错误,符合题意.
二、 填空题(每小题6分,共30分)
7.如图Y5-5,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=　　　　.
图Y5-5
7.4　[解析]∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,OC=AC.在Rt△ABD中,∵∠ADB=30°,∴BD=2AB=8,∴AC=BD=8,∴OC=AC=4.
8.如图Y5-6,菱形ABCD的边长为10 cm,DE⊥AB于点E,sin A=,则这个菱形的面积为
　　　　cm2.
图Y5-6
8.60　[解析]在Rt△ADE中,∵AD=10 cm,sin A=,∴DE=6 cm,∴菱形的面积为10×6=60(cm2).
9.如图Y5-7,折叠矩形ABCD,使点B落在对角线AC上的点F处.若BC=8,AB=6,则线段CE的长度是　　　　.
图Y5-7
9.5　[解析]在Rt△ABC中,∵AB=6,BC=8,∴AC=10.设BE=a,则CE=8-a.
根据翻折的性质可知,FE=BE=a,AF=AB=6,∠AFE=∠B=90°,∴FC=4.
在Rt△CEF中,由勾股定理,得CE2=FE2+FC2,即(8-a)2=a2+42,解得a=3,∴8-a=5,即CE=5.
10.如图Y5-8,将两张长为4,宽为1的矩形纸条交叉并旋转,使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中,当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,那么菱形周长的最大值是　　　　.
图Y5-8
10.　[解析]如图,当两张纸条有一条对角线重合时,菱形的周长最大.
设菱形的边长AC=x,则AB=4-x.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,
即x2=(4-x)2+12,解得x=,
∴菱形周长的最大值是=×4=.
11.在 ABCD中,∠A=30°,AD=4,BD=4,则 ABCD的面积等于　　　　.
11.16或8　[解析]过点D作DE⊥AB于点E.
在Rt△ADE中,∵∠A=30°,AD=4,
∴DE=AD=2,AE=AD=6.
在Rt△BDE中,∵BD=4,
∴BE==2.
当DE在 ABCD内部时,如图①,AB=AE+BE=8,∴ ABCD的面积=AB·DE=8×2=16;
当DE在 ABCD外部时,如图②,AB=AE-BE=4,∴ ABCD的面积=AB·DE=4×2=8.
故答案为16或8.
三、 解答题(共40分)
12.(10分)如图Y5-9,点E,F,G,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上运动(不包括端点),且满足AE=CG,AH=CF.
(1)求证:△AEH≌△CGF;
(2)试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
图Y5-9
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠C=90°.
又∵AE=CG,AH=CF,∴△AEH≌△CGF(SAS).
(2)四边形EFGH是平行四边形.
理由:∵△AEH≌△CGF,∴HE=FG.
∵在矩形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=CD,BC=AD,AE=CG,AH=CF,
∴HD=FB,BE=DG,∴△BEF≌△DGH,
∴EF=GH,
∴四边形EFGH为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
13.(14分)如图Y5-10,在菱形ABCD中,P是BC边上一点,连接AP,E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF.
求证:(1)△ABF≌△DAE;
(2)DE=BF+EF.
图Y5-10
13.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AD∥BC,∴∠BPA=∠DAE.
又∵∠ABC=∠AED,∴∠BAF=∠ADE.
∵∠ABF=∠BPF,∠BPA=∠DAE,
∴∠ABF=∠DAE.
又∵AB=DA,∴△ABF≌△DAE(ASA).
(2)∵△ABF≌△DAE,
∴AE=BF,DE=AF.
∵AF=AE+EF=BF+EF,
∴DE=BF+EF.
14.(16分)如图Y5-11,在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.
【感知】如图①,过点A作AF⊥BE,交BC于点F,易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE,交BC于点F,交AD于点G.
(1)求证:BE=FG;
(2)连接CM,若CM=1,则FG的长为　　　　.
【应用】如图③,取BE的中点M,连接CM,过点C作CG⊥BE,交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为　　　　.
图Y5-11
14.解:【探究】(1)证明:如图,将GF平移到AH处,则AH∥GF,AH=GF.
∵GF⊥BE,∴AH⊥BE.∴∠ABE+∠BAH=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABH=∠BCE=90°.
∴∠ABE+∠CBE=90°.∴∠BAH=∠CBE.
在△ABH和△BCE中,
∴△ABH≌△BCE.∴AH=BE.∴BE=FG.
(2)2
【应用】9　[解析]在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,CM是BE边上的中线,∴BE=2CM=6.
由【探究】中的结论可得CG=BE=6.
又∵ME=BE=3,且BE⊥CG,
∴S四边形GMCE==9.
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