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2026中考数学 单元检测(六)
[范围:圆　限时:45分钟　满分:100分]
一、 选择题(每小题5分,共30分)
1.如图Y6-1,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点.若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 (　　)
图Y6-1
A.60° B.50° C.40° D.20°
2.如图Y6-2,△ABC是☉O的内接三角形,∠A=119°,过点C的切线交BO的延长线于点P,则∠P的度数为 (　　)
图Y6-2
A.32° B.31°
C.29° D.61°
3.如图Y6-3,在圆内接正方形ABCD中,上有一点E,则tan∠AEB的值为 (　　)
图Y6-3
A.1 B.
C. D.
4.如图Y6-4,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC.若AB=10,AC=8,则BD的长为 (　　)
图Y6-4
A.2 B.4
C.2 D.4.8
5.如图Y6-5,线段AB经过☉O的圆心,AC,BD分别与☉O相切于点C,D.若AC=BD=4,∠A=45°,则的长度为 (　　)
图Y6-5
A.π B.2π
C.2π D.4π
6.如图Y6-6,在△ABC中,O是AB边上的点,以点O为圆心,OB为半径的☉O与AC相切于点D,BD平分∠ABC,AD=OD,AB=12,则CD的长是 (　　)
图Y6-6
A.2 B.2
C.3 D.4
二、 填空题(每小题5分,共30分)
7.用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的面积为　　　　.
8.在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为　　　　.
9.如图Y6-7,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形的边长为6 cm,则该莱洛三角形的周长为　　　　cm.
图Y6-7
10.如图Y6-8,☉O分别与∠BAC的两边AB,AC相切于点E,F,点P在优弧上.若∠BAC=66°,则∠EPF=　　　　°.
图Y6-8
11.如图Y6-9,∠AOB=90°,∠B=30°,以点O为圆心,OA为半径作弧,交AB于点A,C,交OB于点D.若OA=3,则阴影部分的面积为　　　　.
图Y6-9
12.如图Y6-10,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC边上一点,连接AD并延长交☉O于点E.若AD=2,DE=3,则☉O的半径为　　　　.
图Y6-10
三、 解答题(共40分)
13.(10分)如图Y6-11,已知四边形ABCD内接于☉O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.
(1)求证:BD=CD;
(2)若☉O的半径为3,求的长.
图Y6-11
14.(14分)如图Y6-12,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点O作OD⊥AB,交BC的延长线于点D,交AC于点E,F是DE的中点,连接CF.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若∠A=22.5°,求证:AC=DC.
图Y6-12
15.(16分)如图Y6-13,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与边BC,AC交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:H为CE的中点;
(3)若BC=10,cos C=,求AE的长.
图Y6-13/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026中考数学 单元检测(六)
[范围:圆　限时:45分钟　满分:100分]
一、 选择题(每小题5分,共30分)
1.如图Y6-1,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点.若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 (　　)
图Y6-1
A.60° B.50° C.40° D.20°
1.B　[解析]如图,连接AD.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.
2.如图Y6-2,△ABC是☉O的内接三角形,∠A=119°,过点C的切线交BO的延长线于点P,则∠P的度数为 (　　)
图Y6-2
A.32° B.31°
C.29° D.61°
2.A　[解析]如图,设线段OP交☉O于点F,连接CO,CF.
∵∠A=119°,∴∠BFC=61°.∴∠BOC=122°.
∵CP与☉O相切于点C,∴OC⊥CP,
∴∠P=∠BOC-∠OCP=32°.
3.如图Y6-3,在圆内接正方形ABCD中,上有一点E,则tan∠AEB的值为 (　　)
图Y6-3
A.1 B.
C. D.
3.A　[解析]如图,连接AC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°.∴∠AEB=∠ACB=45°.
∴tan∠AEB=1.
4.如图Y6-4,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC.若AB=10,AC=8,则BD的长为 (　　)
图Y6-4
A.2 B.4
C.2 D.4.8
4.C　[解析]∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°.
∴BC==6.
∵OD⊥AC,∴CD=AD=AC=4.
∴BD==2.
5.如图Y6-5,线段AB经过☉O的圆心,AC,BD分别与☉O相切于点C,D.若AC=BD=4,∠A=45°,则的长度为 (　　)
图Y6-5
A.π B.2π
C.2π D.4π
5.B　[解析]如图,连接OC,OD.
∵AC,BD分别与☉O相切于点C,D,
∴∠ACO=∠BDO=90°.
∵∠A=45°,
∴∠AOC=45°=∠A.∴OC=AC=4.
又∵AC=BD,OC=OD,∴OD=BD.
∴∠DOB=∠B=45°.
∴∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°.
∴的长==2π.
6.如图Y6-6,在△ABC中,O是AB边上的点,以点O为圆心,OB为半径的☉O与AC相切于点D,BD平分∠ABC,AD=OD,AB=12,则CD的长是 (　　)
图Y6-6
A.2 B.2
C.3 D.4
6.A　[解析]∵☉O与AC相切于点D,∴AC⊥OD.
∴∠ADO=90°.
∵AD=OD,∴tan A=.∴∠A=30°.
∵BD平分∠ABC,∴∠OBD=∠CBD.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∴∠ODB=∠CBD.
∴OD∥BC.∴∠C=∠ADO=90°.
∴∠ABC=60°,BC=AB=6.
∵∠CBD=∠ABC=30°,∴CD=BC=×6=2.
二、 填空题(每小题5分,共30分)
7.用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的面积为　　　　.
7.4π　[解析]设此圆锥的底面圆的半径为r.由题意可得2πr=,解得r=2,故这个圆锥的底面圆的面积为4π.
8.在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为　　　　.
8.5　[解析]如图,已知☉O,则圆内接正方形ABCD是☉O内最大的正方形.连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E.设此正方形的边长为a.由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=,由勾股定理得OE2+BE2=OB2,即()2+()2=52,解得a=5.
9.如图Y6-7,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形的边长为6 cm,则该莱洛三角形的周长为　　　　cm.
图Y6-7
9.6π　[解析]以正三角形的顶点为圆心,边长为半径画弧,这三段弧的半径均为6 cm,圆心角为60°,每段弧长为=2π(cm),∴该莱洛三角形的周长为2π×3=6π(cm).
10.如图Y6-8,☉O分别与∠BAC的两边AB,AC相切于点E,F,点P在优弧上.若∠BAC=66°,则∠EPF=　　　　°.
图Y6-8
10.57　[解析]如图,连接OE,OF.
∵☉O分别与∠BAC的两边AB,AC相切于点E,F,
∴OF⊥AC,OE⊥AB.∴∠BAC+∠EOF=180°.
∵∠BAC=66°,∴∠EOF=114°.
∵点P在优弧上,∴∠EPF=∠EOF=57°.
11.如图Y6-9,∠AOB=90°,∠B=30°,以点O为圆心,OA为半径作弧,交AB于点A,C,交OB于点D.若OA=3,则阴影部分的面积为　　　　.
图Y6-9
11.π　[解析]如图,连接OC,过点C作CN⊥OA于点N,CM⊥OB于点M.
∵∠AOB=90°,∠B=30°,∴∠BAO=60°.
又∵OA=OC,∴△AOC为等边三角形.∴∠AOC=60°.
∵OA=3,∴CN=,CM=ON=.
∴S扇形AOC=π,S△AOC=.
在Rt△AOB中,∵OB=OA=3,∴S△OCB=.∵∠COD=∠AOB-∠AOC=30°,∴S扇形COD=π.
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC+S△OCB-S扇形COD=π.
12.如图Y6-10,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC边上一点,连接AD并延长交☉O于点E.若AD=2,DE=3,则☉O的半径为　　　　.
图Y6-10
12.　[解析]如图,连接OA,OC,CE.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠ACB=30°.
∴∠AOC=60°.
又∵OA=OC,
∴△AOC是等边三角形.∴AC=OA.
∵∠AEC=∠B=∠ACB,∠CAD=∠EAC,
∴△ACD∽△AEC.
∴.∴AC2=AD·AE.
∵AD=2,DE=3,
∴AC=.
∴OA=AC=,即☉O的半径为.
三、 解答题(共40分)
13.(10分)如图Y6-11,已知四边形ABCD内接于☉O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.
(1)求证:BD=CD;
(2)若☉O的半径为3,求的长.
图Y6-11
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠DCB+∠BAD=180°.
∵∠BAD=105°,
∴∠DCB=180°-105°=75°.
∵∠DBC=75°,
∴∠DCB=∠DBC.
∴BD=CD.
(2)∵∠DCB=∠DBC=75°,
∴∠BDC=30°.
由圆周角定理,得所对的圆心角的度数为60°,故的长==π.
14.(14分)如图Y6-12,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点O作OD⊥AB,交BC的延长线于点D,交AC于点E,F是DE的中点,连接CF.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若∠A=22.5°,求证:AC=DC.
图Y6-12
14.证明:(1)如图,连接OC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACD=90°.
∵F是DE的中点,
∴CF=EF=DF.
∴∠AEO=∠FEC=∠FCE.
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC.
∵OD⊥AB,∴∠OAC+∠AEO=90°.
∴∠OCA+∠FCE=90°,即OC⊥CF.
又∵OC是☉O的半径,
∴CF是☉O的切线.
(2)∵OD⊥AB,
∴∠AOE=90°=∠ACD.
又∵∠AEO=∠DEC,
∴∠CDE=∠OAE=22.5°.
如图,连接AD.
∵AO=BO,OD⊥AB,
∴AD=BD.
∴∠ADO=∠BDO=22.5°.
∴∠ADB=45°.
∴∠CAD=90°-∠ADB=45°=∠ADB.∴AC=DC.
15.(16分)如图Y6-13,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与边BC,AC交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:H为CE的中点;
(3)若BC=10,cos C=,求AE的长.
图Y6-13
15.解:(1)DH与☉O相切.理由如下:
连接OD,AD,如图.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵AB=AC,∴BD=CD.
又AO=BO,∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AC.
∵DH⊥AC,∴OD⊥DH.
又∵OD是☉O的半径,∴DH与☉O相切.
(2)证明:连接DE,如图.
∵四边形ABDE为☉O的内接四边形,
∴∠B+∠AED=180°.
又∵∠AED+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠B.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.∴∠DEC=∠C.∴DE=DC.
又∵DH⊥CE,∴CH=EH,即H为CE的中点.
(3)在Rt△ADC中,CD=BC=5.
∵cos C=,
∴AC=5.
在Rt△CDH中,∵cos C=,
∴CH=.
∴CE=2CH=2.
∴AE=AC-CE=5-2=3.
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