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江苏省常州市2026年九年级教学质量调研 数学试题
一、单选题
1．2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．四棱锥
4．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行
8．某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是：
A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B．②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）
二、填空题
9．8的立方根是________．
10．计算：_________．
11．分解因式：__________．
12．2025年春节期间，常州市共接待各地游客约6240000人次．数据6240000用科学记数法表示为________．
13．若，则代数式的值为________．
14．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．
15．如图6，已知直线a∥b，∠BAC=90°，∠1=50°，则∠2=______．
16．如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是________．
17．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则______．
18．如图，在中，，，点为上一点，点为上一点，若，则的最大值为________．
三、解答题
19．先化简，再求值：，其中．
20．按要求完成各题
(1)计算：；
(2)解不等式组：．
21．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比 2.0
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【问题解决】
(1)上述表格中：______，______；
(2)①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）；
(3)现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并说明理由．
22．为传承无锡非遗文化，某校开展“非遗文化进校园”主题活动，精心选取四项特色体验项目：A惠山泥人，B锡剧，C紫砂陶瓷，D留青竹刻．活动采取随机抽签方式确定体验项目，每位学生可抽取一个项目参与体验，她们的抽取结果互不影响．
(1)小丽从中随机抽取一项，抽到“惠山泥人”的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法，求小丽和小慧抽到不同项目的概率．
23．如图，已知点B，C，E，F在同一条直线上，，，，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
24．2025年中国粮食再获丰收，我国小麦种植在“藏粮于地，藏粮于技”战略推动下实现稳定增产．某农业研究所培育出高产小麦新品种，该品种小麦每亩产量比普通小麦的2倍少100公斤．已知甲、乙两农户分别种植新品种小麦和普通小麦，甲农户种植面积是乙农户的2倍，收获时甲农户总产量为8000公斤，乙农户总产量为2250公斤．求新品种小麦的亩产量．
25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．

(1)求k与m的值；
(2)点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积．
26．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

(1)当悬臂与桌面平行时，=___________°
(2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？
(3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
27．综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
28．如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，．
(1)填空：_________；
(2)若点是第一象限抛物线上一点．
①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值；
②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标．
参考答案
1．C
解：的相反数为．
2．D
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：D．
3．A
解：根据几何体的侧面展开图，则该几何体是三棱柱．
4．B
解：∵，，，
∴，
∴．
5．C
解：在矩形中，、是对角线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴．
6．D
解：连接，
∵与相切于点B，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
7．C
解：由题意得设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线 ．
8．A
【详解】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格，
∴③反映了建议（Ⅰ），
∵建议（Ⅱ）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，
∴①反映了建议（Ⅱ）．
故选A．
9．2
解：∵，
∴8的立方根是2．
10．
解：．
11．
解：．
12．
解：．
13．5
解：∵，
又∵，
∴，
∴当时，
原式=．
故答案为：．
14．10
解：半圆的半径为，
半圆的弧长为，
圆锥底面的周长为，
设圆锥底面半径为，则，
解得，，
故答案为．
15．40°/40度
解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-∠3=40°，
故答案为：40°．
16．
解：∵在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，
∴，，，
∵将绕点O按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∴点的坐标是，
故答案为：．
17．3
解：∵正方形，，
∴，，
∵正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，解得∶．
故答案为：3．
18．
解：∵，，
∴，，
∵，
∴当最小时，最大，
令中点为点F，连接，
∵，
∴点D在以F为圆心，为半径的圆上，
∵中点为点F，，
∴，
∴当最小时，最小，
当时，最小，此时，，
∴，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
19．，2
解：
，
当时，原式．
20．(1)
(2)
（1）解：
．
（2）解：，
由①得：，
∴；
由②得：，
∴；
综上，该不等式组的解集是．
21．(1)；
(2)B
(3)这片树叶更可能是荔枝树叶，理由见解析
（1）解；把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为，
∴中位数；
∵这10片荔枝树叶的长宽比中长宽比为出现了四次，出现的次数最多，
∴众数,
故答案为：；；
（2）解：，
芒果树叶的形状差别小，故同学说法不合理；
荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
同学说法合理．
故答案为：；
（3）解：这片树叶更可能是荔枝树叶，理由如下：
，
这片树叶更可能是荔枝树叶．
22．(1)
(2)
（1）解：由题意可知，共有4种项目，则抽到“惠山泥人”的概率为；
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知，共有16种等可能的情况，其中抽到不同项目的情况有12种，
则小丽和小慧抽到不同项目的概率为．
23．，，理由见解析
解：，，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，，
∴．
24．新品种小麦的亩产量为800公斤
解：设普通小麦的亩产量为x公斤，则新品种小麦的亩产量为公斤．
由题意得，
解得．
经检验，是原方程的解．
当时，．
答：新品种小麦的亩产量为800公斤．
25．(1)，；
(2)
（1）解：∵一次函数（k≠0）的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点
∴把代入，得，解得，
把代入，得；
把代入，得，解得；
（2）解：过，点A作轴，垂足为H，如图所示：
，
，
∵一次函数的图像与y轴交于点B，
即当时，，
，
∴，
，，
，
∴．
26．(1)
(2)
(3)
（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作

，悬臂也与桌面平行
∴
故答案为：
（2）解：过作与交于，过作与交于

∴四边形为矩形
∴，
∵
∴
在中
∵
∴
∴
（3）解：过作，，

∴
在中
∴
∵
∴
∴
27．（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）．
解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
28．(1)
(2)①；②4
（1）解：将，代入函数表达式，得：
解得：
（2）解：①已知二次函数为，
令，得，y轴交点C坐标为，
令，解方程，得到x轴两个交点，
设过的直线解析式为：，
解得：
，
设点，过直线解析式为：
解得：
，
两直线表达式联立求交点D坐标，
解得：
点D坐标：
设与y轴交点为点G，如下图：
设点A横坐标为，点P横坐标为，点D横坐标为，
时，即点P横坐标：时，取得最大值，最大值为：．
② 由①可知：,
直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，点，
则点，，如图所示：
，
，
点是与抛物线的交点，联立得方程组
解得：，（点P在第一象限，负值不符合题意，舍去），
点的横坐标为：4．

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