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湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期4月期中学科素养测评数学试题
一、单选题
1．角的终边落在第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
2．已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（ ）.
A． B． C． D．
3．已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
5．在中，、是方程的两个实根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的零点个数为（ ）.（参考数据：）
A．5 B．6 C．7 D．9
8．已知函数是定义在上的递增函数，且对，都有，若关于的方程的两个根分别为和，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．复数的实部为 B．
C． D．
10．在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
11．在中，已知，D为的中点，记，从0°到180°连续变化，记，，的内切圆半径为r，外接圆半径为R.下列结论正确的是（ ）
A．h随的增大而减小 B．的最大值为
C．为定值 D．的最大值为
三、填空题
12．计算：的结果为_______.
13．已知向量的夹角为，，，则_______.
14．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为______.
四、解答题
15．已知复数满足为纯虚数，且.
(1)求复数；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
16．已知函数（其中，，），函数图象与y轴的交点为，距离轴最近的最高点为，且该最高点与其相邻的一个最低点横坐标之差的绝对值为.
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的递增区间.
17．在中，，，，设点D为边BC上一点，且满足，点E为线段上一点（不含端点），且，其中.
(1)用表示，并求；
(2)设F为线段的中点，若，求的值.
18．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，.
(1)求角C的大小；
(2)若，求的面积；
(3)记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围.
19．定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量.
(1)求函数的和谐向量；
(2)已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且.
（i）若点为的重心，求的最大值；
（ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】由，所以和的终边相同，其终边落在第二象限.
2．B
【详解】扇形的面积.
3．C
【详解】，，由A、B、C三点共线，
则，故，解得.
4．A
【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴.
5．D
【详解】∵、是方程的两个实根，
∴，，
∴，
中.
6．C
【详解】由分别表示与向量同向的单位向量，
所以表示的角平分线上的向量，
因为，可得，
又因为，可得，
因为，可得，
如图所示，过点作，垂足为，可得，即，
所以向量在向量上的投影向量为.
7．C
【详解】由函数的零点个数，即方程解的个数，
即函数与图象的交点个数，
又由，所以函数的零点位于，
在同一坐标系下画出两个函数的图象，如图所示，
可得函数与图象共有7个交点，
即函数的零点个数为7个.
8．B
【详解】由题意，设，则，
令，得，即，所以，
因为函数是定义在上的递增函数，所以，从而，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上为增函数，
由可得，所以，
因为的两个根分别为和，所以，
即，
即，即，故.
9．ACD
【详解】由得，所以A正确；
可算得，，所以B错，C正确；
，D正确.
10．AB
【详解】由函数，
对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；
对于B，函数的最大值为，所以B正确；
对于C，令，可得，
其中不是的解，所以不是的对称轴，所以C错误；
对于D，由，可得，
当时，即时，函数单调递增；
当时，即时，函数单调递减，所以D错误.
11．ACD
【详解】对于A，因为，，
由余弦函数性质可知，随的增大而减小，A正确；
对于B，，，而，
由正切函数性质可知无最大值，B错误；
对于C，由正弦定理得，故而，C正确；
对于D，由等面积法得，
则，
当且仅当即时，等号成立，故而D正确.
12．
【详解】依题意，.
13．
【详解】由向量，的夹角为，，，
可得，
则，所以.
14．
【详解】由，
可得
所以，
由正弦定理得，再由余弦定理得，
因为，所以，
设的外接圆半径为，由为的外心，
则，且，即，
因为，且，
所以，
，
则
，
所以当，即时和面积之差的最大值为.
15．(1)
(2).
【详解】（1）设，，
因为为纯虚数，所以，即且，
又，即，
联立解得，，
则.
（2）由（1）知，
因为复数在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
16．(1)
(2)和.
【详解】（1）由已知可得，，，
将，代入可得，或，
时，，此时，不合题意，
时，，此时，符合题意，
故，函数解析式为.
（2）令得，
时，，
时，，
所以函数在区间上的递增区间为和.
17．(1)，
(2).
【详解】（1）根据向量的线性运算法则，可得，
因为，且，
可得，且，
则，
所以.
（2）由向量的线性运算法则，可得，
且，
因为，可得，
即，
所以，
即，解得.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，
∴,
又∵，∴，
∵，∴.
（2）
，
∵，∴，∴，
又∵，∴，从而，，
由（1）知，∴是等边三角形，面积为.
（3）由题得到，
∵，
∴，
，
在锐角中，∵，∴，，
∴在上单调递减，
从而，
即，
∴.
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）解：由向量为和谐函数的和谐向量，
因为，
所以的和谐向量为.
（2）解：由和谐向量的和谐函数为，
因为，可得，其中，可得
所以，解得.
（ⅰ）在中，因为，由余弦定理得，
又因为，则，即，当且仅当时“=”成立，
因为点为的重心，可得，
所以
，即的最大值为.
（ⅱ）因为平分且与交于点，可得，
即，
即，即，所以，
由正弦定理，可得，
则
，
因为则为锐角三角形，可得，解得，
令，可得，则，
所以
，
由，可得，由于函数在上单调递增，
当时，，当时，，所以长度的取值范围是.

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