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华东师大版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.6.3三元一次方程组及其解法第6章一次方程组华东师大版七年级下册6.3三元一次方程组及其解法练习题一、知识点回顾1.三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。示例：$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$$2.核心解法：消元法（转化思想）——把三元一次方程组通过代入法或加减法，消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。3.解题步骤：1.消元：从三个方程中选择两个，消去其中一个未知数（优先消去系数简单或系数互为相反数的未知数），得到一个二元一次方程；2.再消元：从剩下的方程和第一步得到的二元一次方程中，再消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程；3.解二元一次方程组：用代入法或加减法解得到的二元一次方程组，求出两个未知数的值；4.求第三个未知数：把求出的两个未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出第三个未知数的值；5.检验并作答：将三个未知数的值代入原方程组，检验是否都满足，再写出完整解。注意：消元时要注意统一消去同一个未知数，避免混乱；检验时需代入原方程组的所有方程，确保解的正确性。---二、选择题（每题3分）1.下列方程组中，属于三元一次方程组的是（）A. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\\z+w=5\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+2y=3\\y-z=4\\xz=5\end{cases}$$C. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\\x+z=5\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=3\\\frac{1}{y}+z=4\\x+z=5\end{cases}$$2.解三元一次方程组$$\begin{cases}x+y+z=10\\x-y+z=2\\2x+y-z=7\end{cases}$$，优先消去的未知数最简便的是（）A. x B. y C. z D.任意一个都可以3.已知三元一次方程组$$\begin{cases}x+y=5\\y+z=6\\x+z=7\end{cases}$$，则x+y+z的值为（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6三、填空题（每题3分）1.若$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$是三元一次方程ax+by+z=7的解，则a+2b的值为______。2.解三元一次方程组$$\begin{cases}x+y-z=1\\2x-y+z=2\\x+2y+z=3\end{cases}$$，第一步消去z，可将方程①+②，得到的二元一次方程是______。3.已知$$\begin{cases}x=2\\y=1\\z=-1\end{cases}$$是三元一次方程组$$\begin{cases}2x+ay-z=7\\bx-by+z=5\\cx+dy+z=1\end{cases}$$的解，则a+b+c+d的值为______。四、用消元法解下列三元一次方程组（标准步骤）1. $$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$$2. $$\begin{cases}x+y=5\\y+z=6\\x+z=7\end{cases}$$3. $$\begin{cases}2x+3y+z=11\\x+y+z=6\\3x-y-z=2\end{cases}$$4. $$\begin{cases}x-2y+z=0\\3x+y-2z=0\\7x+6y+7z=100\end{cases}$$---参考答案选择题1.C 2.B 3.A填空题4.4 5.3x=3（或x=1）6.8解答题1.解：$$\begin{cases}x+y+z=6 \quad (1)\\2x-y+z=3 \quad (2)\\x+2y-z=2 \quad (3)\end{cases}$$①+②，消去y：$$(x+y+z)+(2x-y+z)=6+3$$，化简得$$3x+2z=9 \quad (4)$$②×2+③，消去y：$$2(2x-y+z)+(x+2y-z)=3×2+2$$，化简得$$5x+z=8 \quad (5)$$联立(4)(5)，得二元一次方程组：$$\begin{cases}3x+2z=9\\5x+z=8\end{cases}$$由(5)得$$z=8-5x$$，代入(4)：$$3x+2(8-5x)=9$$，解得$$x=1$$把$$x=1$$代入$$z=8-5x$$，得$$z=3$$把$$x=1$$、$$z=3$$代入(1)：$$1+y+3=6$$，解得$$y=2$$检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}$$2.解：$$\begin{cases}x+y=5 \quad (1)\\y+z=6 \quad (2)\\x+z=7 \quad (3)\end{cases}$$①+②+③，得$$2(x+y+z)=18$$，化简得$$x+y+z=9 \quad (4)$$(4)-(1)，得$$z=4$$；(4)-(2)，得$$x=3$$；(4)-(3)，得$$y=2$$检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=3\\y=2\\z=4\end{cases}}$$3.解：$$\begin{cases}2x+3y+z=11 \quad (1)\\x+y+z=6 \quad (2)\\3x-y-z=2 \quad (3)\end{cases}$$①-②，消去z：$$(2x+3y+z)-(x+y+z)=11-6$$，化简得$$x+2y=5 \quad (4)$$②+③，消去z：$$(x+y+z)+(3x-y-z)=6+2$$，化简得$$4x=8$$，解得$$x=2$$把$$x=2$$代入(4)：$$2+2y=5$$，解得$$y=\frac{3}{2}$$把$$x=2$$、$$y=\frac{3}{2}$$代入(2)：$$2+\frac{3}{2}+z=6$$，解得$$z=\frac{5}{2}$$检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=\frac{3}{2}\\z=\frac{5}{2}\end{cases}}$$4.解：$$\begin{cases}x-2y+z=0 \quad (1)\\3x+y-2z=0 \quad (2)\\7x+6y+7z=100 \quad (3)\end{cases}$$①×2+②，消去z：$$2(x-2y+z)+(3x+y-2z)=0×2+0$$，化简得$$5x-3y=0 \quad (4)$$，即$$x=\frac{3}{5}y$$①×7-③，消去z：$$7(x-2y+z)-(7x+6y+7z)=0×7-100$$，化简得$$-20y=-100$$，解得$$y=5$$把$$y=5$$代入$$x=\frac{3}{5}y$$，得$$x=3$$把$$x=3$$、$$y=5$$代入(1)：$$3-10+z=0$$，解得$$z=7$$检验：代入原方程组，三个方程均成立，符合题意。解：$$\boldsymbol{\begin{cases}x=3\\y=5\\z=7\end{cases}}$$1. 解二元一次方程组有哪几种方法？
2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
思考：若含有 3 个未知数的方程组如何求解？
问题 1 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 勇士队在第一轮中赛了 9 场，负了 2 场，共得 17 分. 那么这个队胜了几场？平了几场呢？
x + y = 7，
3x + y = 17.
x = 5，
y = 2.
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
胜了 10 ÷ 2 = 5（场）
方法一
平了 18 － 5×3 = 3（场）
负了 10－5－3 = 2（场）
胜一场：3 分
平一场：1 分
负一场：0 分
方法二
设胜了 x 场，平了 y 场，则负了（x － y）场.
依题意，得
x + y +（x － y）= 10，
3x + y = 18.
解得
x = 5，
y = 3.
所以胜了 5 场，平了 3 场，负了 2 场.
如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为 x、y、z，又将怎样呢？
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
x + y + z = 10， ①
3x + y = 18. ②
x = y + z. ③
新课探究
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
x + y + z = 10， ①
3x + y = 18. ②
x = y + z. ③
三元一次方程组：把三个共含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程合在一起，就组成了三元一次方程组.
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
将③代入①和②，得到
2y + 2z = 10， ④
4y + 3z = 18. ⑤
解得
y = 3，
z = 2.
将 y = 3，z = 2 代入方程③，可以得到 x = 5.
x = 5，
y = 3，
z = 2 .
所以这个三元一次方程组的解是
x + y + z = 10， ①
3x + y = 18. ②
x = y + z. ③
解三元一次方程组的基本思路是什么？
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
例 1 解方程组：
2x－3y + 4z = 3， ①
3x－2y + z = 7， ②
x + 2y－3z = 1. ③
对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？
方程②中，z 的系数为 1，因此可以由②得，
z = 7－3x + 2y . ④
将④分别代入①和③，可以消去 z.
解这个二元一次方程组，得
x = 1，
y = －3.
代入④，得 z = 7－3－6 =－2 .
所以原方程组的解是
x = 1，
y = －3，
z = －2 .
解 由方程②，得 z = 7－3x + 2y . ④
将④分别代入方程①和③，得
2x － 3y + 4(7－3x + 2y) = 3，
x + 2y－3(7－3x + 2y) = 1.
整理，得
－2x + y = – 5，
5x－2y = 11.
能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？
例 2 解方程组：
3x + 4y－3z = 3， ①
2x －3y －2z = 2， ②
5x －3y + 4z = －22. ③
1. 先消去哪个未知数？为什么？
2. 选择哪种消元方法得到二元一次方程组？
解 ③－②，得 x + 2z = －8.
①×3 + ②×4，得 x－z = 1.
x + 2z = －8，
x－z = 1.
得方程组
解得
x = －2 ，
z = －3 .
把 x = －2，z = －3 代入方程②，得 y = 0 .
所以原方程组的解是
x = －2，
y = 0，
z = －3 .
能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？
1. 解方程组 则 x＝_____，
y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取 ① +② 求出 y， ②+ ③ 求出 z，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可.
6
8
3
2. 若 x＋2y＋3z ＝ 10，4x＋3y＋2z ＝ 15，则 x＋y＋z 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z = 25，所以 x+y+z = 5.
D
3. 在等式 y = ax2＋bx＋c 中，当 x = －1时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c 的值.
解：根据题意，得三元一次方程组：
②－①，得 a＋b =1， ④
③－①，得 4a＋b = 10，⑤
④ 与 ⑤ 组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得
a = 3，
b = -2
c = -5，
因此
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
a = 3，
b = -2.
a = 3，
b = -2，
c = -5.
a＋b = 1，
4a＋b = 10.
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
2. 解方程组 最简消元方法是( )
B
A. 先消去 B. 先消去
C. 先消去 D. 先消去常数项
3. 已知，且当 时，
；当时，；当时， ，则
的值为____.
15
【点拨】把,;,;, 分别代
入得 ,
,整理得解得将, 的值代入①，
得.则,,的值分别为2, ,4,所以
.
4. 已知，，满足 则 _______.
【点拨】
，得，即 ，
.
，得，即 ，
，
.
5. 用适当的方法解方程组：
（1）
【解】将①代入②，得 ，整理得
，④
将①代入③，得，整理得 ，⑤
，得，⑥ ，得 .
把代入⑤，得，解得 .
把，代入①，得 .
原方程组的解为
（2）
，得 ，④
，得，解得 .
将代入④中，得，解得 .
将代入②中，得，解得 .
方程组的解为
课堂小结
三元一次方程组
定义
含未知数的项的次数都是 1
含有 3 个未知数
解答思路
化“三元”为“二元”
一共有三个方程

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