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华东师大版数学7年级下册培优精做课件
授课教师： .
班 级： 7年级（*）班 .
时 间： .

6.4 实践与探索
第6章 一次方程组
华东师大版七年级下册 6.4 实践与探索 练习题
一、知识点回顾
实践与探索的核心：运用二元一次方程组（或三元一次方程组）解决实际生活中的各类问题，关键是找准题目中的等量关系，将实际问题转化为数学问题，通过解方程组得出答案，再检验答案是否符合实际意义。
核心解题思路：
1. 审题分析：明确题目中的已知条件、未知量，梳理题目中的数量关系（显性关系和隐性关系）；
2. 设元建模：根据未知量的个数，设出合适的未知数（直接设元或间接设元），根据等量关系列出方程组；
3. 求解检验：用代入法或加减法解方程组，将解得的结果代入实际场景，检验是否合理（如人数、件数不能为负数，长度、时间不能为负等）；
4. 规范作答：根据检验结果，写出完整、符合题意的答案。
常见探索场景：和差倍比问题、行程问题、工程问题、商品销售问题、配套问题、几何图形问题、方案设计问题等。
注意：当题目中未知量有3个，且有3个独立等量关系时，可列三元一次方程组求解；若未知量可转化为2个，优先列二元一次方程组，简化计算。
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二、选择题（每题 3 分）
1. 某商场购进A、B两种商品共100件，A商品每件进价80元，B商品每件进价50元，购进两种商品共用去6800元，设购进A商品x件，B商品y件，所列方程组正确的是（）
A. $$\begin{cases}x+y=100\\80x+50y=6800\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y=6800\\80x+50y=100\end{cases}$$
C.$$\begin{cases}x-y=100\\80x-50y=6800\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=100\\50x+80y=6800\end{cases}$$
2. 一个长方形的周长为40cm，长比宽多4cm，设长方形的长为x cm，宽为y cm，下列方程组能解决该问题的是（）
A. $$\begin{cases}x+y=40\\x-y=4\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}2(x+y)=40\\x-y=4\end{cases}$$
C. $$\begin{cases}2(x+y)=40\\y-x=4\end{cases}$$ D.$$\begin{cases}x+y=20\\x-y=4\end{cases}$$
3. 甲、乙、丙三人共捐款150元，甲捐款数是乙的2倍，丙捐款数比乙少10元，设乙捐款x元，甲捐款y元，丙捐款z元，所列三元一次方程组正确的是（）
A.$$\begin{cases}y=2x\\z=x-10\\x+y+z=150\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x=2y\\z=y-10\\x+y+z=150\end{cases}$$C. $$\begin{cases}y=2x\\x=z-10\\x+y+z=150\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}y=2x\\z=x+10\\x+y+z=150\end{cases}$$
三、填空题（每题 3 分）
1. 某车间有工人30人，每人每天能生产甲种零件10个或乙种零件12个，已知一个甲种零件配两个乙种零件，设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，可列方程组：$$\boldsymbol{\begin{cases}\underline{\quad\quad}\\\underline{\quad\quad}\end{cases}}$$。
2. 甲、乙两车从相距480km的两地相向而行，甲车每小时行65km，乙车每小时行55km，两车同时出发，经过t小时相遇，可列方程：______；若设甲车行驶了x km，乙车行驶了y km，可列方程组：$$\boldsymbol{\begin{cases}\underline{\quad\quad}\\\underline{\quad\quad}\end{cases}}$$。
3. 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形，若长方形的长是宽的2倍，设宽为x cm，长为y cm，解得x=______，y=______。
四、列方程组解决实际问题（标准步骤）
1. 某工厂生产A、B两种型号的机器零件，已知生产1个A零件和2个B零件共需30分钟，生产2个A零件和1个B零件共需27分钟，求生产1个A零件和1个B零件各需多少分钟？
2. 甲、乙两人共同加工一批零件，甲每天加工45个，乙每天加工35个，两人合作6天，共加工零件420个，求甲、乙两人各加工了多少个零件？（列二元一次方程组求解）
3. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大2，个位上的数字是十位上数字的3倍，三个数字的和是12，求这个三位数。（设未知数，列方程组求解）
4. 某商场推出两种购物方案：方案一：累计购物不超过300元无优惠，超过300元的部分按8折收费；方案二：所有商品一律按9折收费。若顾客累计购物x元（x>300），分别用含x的代数式表示两种方案的费用，并求当x为何值时，两种方案的费用相等？
5. 甲、乙、丙三个数的和是80，甲比乙大5，丙是甲的2倍，求甲、乙、丙三个数各是多少？（列三元一次方程组求解）
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参考答案
选择题
1.A 2.B 3.A
填空题
4.$$\begin{cases}x+y=30\\2×10x=12y\end{cases}$$ 5.$$65t+55t=480$$；$$\begin{cases}x+y=480\\\frac{x}{65}=\frac{y}{55}\end{cases}$$ 6.10；20
解答题
1. 解：设生产1个A零件需x分钟，生产1个B零件需y分钟。

根据题意，列方程组：$$\begin{cases}x+2y=30\\2x+y=27\end{cases}$$
由第一个方程得：$$x=30-2y$$，代入第二个方程，得$$2(30-2y)+y=27$$
化简得：$$60-4y+y=27$$，解得$$y=11$$
把$$y=11$$代入$$x=30-2y$$，得$$x=8$$
检验：8+2×11=30，2×8+11=27，符合题意。

答：生产1个A零件需8分钟，生产1个B零件需11分钟。

2. 解：设甲加工了x个零件，乙加工了y个零件。

根据题意，列方程组：$$\begin{cases}x+y=420\\\frac{x}{45}=\frac{y}{35}=6\end{cases}$$
由第二个方程得：$$x=45×6=270$$，$$y=35×6=210$$
检验：270+210=420，符合题意。

答：甲加工了270个零件，乙加工了210个零件。

3. 解：设十位上的数字为x，百位上的数字为y，个位上的数字为z。

根据题意，列方程组：$$\begin{cases}y=x+2\\z=3x\\x+y+z=12\end{cases}$$
把$$y=x+2$$、$$z=3x$$代入$$x+y+z=12$$，得$$x+x+2+3x=12$$
化简得：$$5x+2=12$$，解得$$x=2$$
则$$y=2+2=4$$，$$z=3×2=6$$
检验：4-2=2，6=3×2，2+4+6=12，符合题意。

答：这个三位数是426。

4. 解：方案一费用：$$300 + 0.8(x - 300) = 0.8x + 60$$（元）

方案二费用：$$0.9x$$（元）

设当两种方案费用相等时，$$0.8x + 60 = 0.9x$$
解得$$x=600$$
检验：当x=600时，方案一费用=0.8×600+60=540元，方案二费用=0.9×600=540元，符合题意。

答：方案一费用为$$(0.8x + 60)$$元，方案二费用为$$0.9x$$元；当x=600时，两种方案费用相等。
5. 解：设甲为x，乙为y，丙为z。

根据题意，列三元一次方程组：$$\begin{cases}x+y+z=80\\x-y=5\\z=2x\end{cases}$$
把$$z=2x$$代入第一个方程，得$$x+y+2x=80$$，即$$3x+y=80 \quad (4)$$
联立$$\begin{cases}x-y=5\\3x+y=80\end{cases}$$，两方程相加得$$4x=85$$，解得$$x=21.25$$
把$$x=21.25$$代入$$x-y=5$$，得$$y=16.25$$
把$$x=21.25$$代入$$z=2x$$，得$$z=42.5$$
检验：21.25+16.25+42.5=80，21.25-16.25=5，42.5=2×21.25，符合题意。

答：甲是21.25，乙是16.25，丙是42.5。

问题 1 要用 20 张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面. 已知每张白卡纸可以做 2 个侧面，或者做 3 个底面. 如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？请你设计一种分法.
新课导入
本题有哪些已知量？
要求的问题是什么？
可以用什么知识进行解答？
解：若设用 x 张白卡纸做侧面，y 张白卡纸做底面.
分析：白卡纸张数和 = 20 张，底面数量 = 侧面数量×2.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
侧面
底面
纸的数量（张）
x
y
总个数（个）
2x
3y
根据题意列出方程组：
x + y = 20，
3y = 2×2x
解方程组得：
x = ，
8
4
7
11
3
7
y =
想一想，最多可以做多少个包装盒？
想一想，如果可以将一张白卡纸裁出一个侧面和一个底面，那么，该如何分这些白卡纸，才既能使做出的侧面和底面配套，又能充分利用白卡纸？
结论分析
由于解为分数，若白卡纸不套裁（即一张白卡纸只做2 个侧面或只做 3 个底面），用 8 张白卡纸做盒身，可做8×2 = 16（个），用剩下的 12 张白卡纸做盒底面，可做 3×12 = 36（个），则最多只能做 16 个包装盒.
若白卡纸可套裁，用 8 张做侧面，11 张做底面，另一张套裁出一个侧面和一个底面，则共可做盒身 17 个，盒底 34 个，正好配成 17 个包装盒，充分地利用了材料。
问题 2 小明在拼图时，发现 8 个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图所示的一个大长方形.
小红看见了，说:“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图所示的正方形，咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为 2 mm 的小正方形！
你能求出这些长方形的长和宽吗？
探 索
设长方形的长和宽分别为 x mm、y mm.
x
y
S大正方形 － 8×S长方形 = 22，
即 (x + 2y)2 － 8xy = 4 .
这是我们还没有研究过的方程！ 你有其他办法来解决这个问题吗？
解：设长方形的长和宽分别为 x mm、y mm.
3x = 5y，
x + 2y = 2x + 2.
由题意，得
解得
x = 10，
y = 6.
所以长方形的长为 10 mm，宽为 6 mm.
x
y
鸡兔同笼
今有雉兔同笼，上有三十五头，
下有九十四足，问雉兔各几何？
方法一：半其足
金鸡独立，玉兔双足，这时共有足数为：94÷2 = 47.
鸡的头、足数相等，而每只兔的头数却比足数少一.
所以兔数为 47－35 = 12，
鸡数为 35－12 = 23.
阅读材料
鸡兔同笼
今有雉兔同笼，上有三十五头，
下有九十四足，问雉兔各几何？
方法二：列方程
解：设 x 为鸡数，y 为兔数.
x + y = 35，
2x + 4y = 94，
根据题意，得
x = 23，
y = 12.
解得
答：鸡数为 23 只，兔数为 12 只.
阅读材料
1. 某城市30 名工人一共种植了 1360 平方米草坪，已知一名男工人种植 50 平方米草坪，一名女工人种植 30 平方米草坪，各有男、女工人多少人？
解：设有男工人 x 人，女工人 y 人，根据题意，则：
解得
x=23，
y=7.
答：有男工人 23 人，女工人 7 人.
2. 如图，用 8 块相同的小长方形地砖拼成一个大的长方形图案，已知大长方形的周长为 200 cm，那么每个小长方形地砖的面积是多少？

解：设小长方形的长为 x cm，宽为 y cm，
根据题意，则：
解得
x=30，
y=10.
答：每个小长方形的面积为 300 cm2.
所以每个小长方形的面积为 30×10=300 (cm2).
1. 如图，在长方形???????????????? 中，放入六
个形状大小相同的小长方形，则图中
的阴影部分的面积是( )
?
D
A. 41?cm2 B. 42?cm2
C. 43?cm2 D. 44?cm2
?
【点拨】设小长方形的长为?????cm ，宽
为?????cm ，根据题意得
&????+3????=14,&????+????=2????+6,解得&????=8,&????=2. .
∴????????=6+2×2=10(cm).∴ 图中
?
的阴影部分的面积是14×10?6×8×2=44(cm2) .
?
设小长方形的长为?????cm ，宽
为?????cm ，观察图形列出二元一次方程
组，解之得出????，???? 的值，再利用阴影
部分的面积=长方形????????????????的面积?6
个小长方形的面积，即可得出结论.
?
2. 某元宵生产商受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯
米粉和黄油时分三次购买，每次购买单价不变，购进原料的
总金额和数量如下表所示：
第一次
第二次
糯米粉/千克
10
12
黄油/千克
2
3
总金额/元
310
405
若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的
总金额为多少元？
【解】设糯米粉每千克的价格为????元，黄油每千克的价格为???? 元，
依题意得&10????+2????=310,&12????+3????=405,解得&????=20,&????=55.
∴ 第三次购买的总金额为
20×20+5×55=400+275=675 （元）.
?
3. 水是人类生命之源，为了鼓励居民节约用
水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若每户
每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水
水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+ 污水处理
费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方
米在基本水价基础上加价100% ,每立方米污水处理费不变.甲
用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12
立方米，缴水费46.3元.（注：污水处理的立方数= 实际生活
用水的立方数）
?
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是
多少元.
【解】设每立方米的基本水价为???? 元，每立方米的污水处理
费为???? 元.根据题意，得
&8(????+????)=27.6,&10(????+????)+(12?10)×(2????+????)=46.3,解得&????=2.45,&????=1.
答：每立方米的基本水价为2.45元，每立方米的污水处理费
为1元.
?
（2）如果某用户7月份生活用水水费为64元，那么该用户7
月份用水量为多少立方米？
根据题意可知，该用户7月份用水量超过10立方米．设该用
户7月份用水量为????(????>10) 立方米．根据题意，得
10×(2.45+1)+(2×2.45+1)(?????10)=64,解得????=15 .
答：该用户7月份用水量为15立方米.
?
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？给大家分享一下。
1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们
往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
2. 处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题
灵活选用. 自主探索与同伴合作讨论、交流是学习数学的
重要方式.

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