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华东师大版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.8.1.2.1三角形的内角和第8章三角形8.1.2.1三角形的内角和学习目标：1.理解三角形内角和定理的含义，掌握三角形内角和为180°的核心结论；2.掌握三角形内角和的两种验证方法（剪拼、简单推理），能规范表述验证过程；3.能运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题，区分不同三角形的内角特征。一、三角形内角和定理1.核心结论：任意一个三角形的三个内角的和等于180°，这就是三角形内角和定理。说明：“任意三角形”包括锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，无论三角形的形状、大小如何，其三个内角的和始终是180°，与边长、顶点位置无关。二、三角形内角和的验证方法（七年级重点掌握）验证三角形内角和为180°，可通过直观操作和简单推理两种方式，贴合七年级认知水平，具体如下：（一）剪拼法（直观操作，易于理解）步骤：1.任意画一个三角形（如△ABC），分别标注出三个内角∠A、∠B、∠C；2.用剪刀将三个内角分别剪下来，保留三个角的顶点和边；3.将三个角的顶点重合，一条边依次拼接在一起，观察拼接后的图形。结论：三个角拼接后，恰好组成一个平角，而平角的度数为180°，因此可直观得出三角形内角和为180°。注意：剪拼时要保持角的大小不变，拼接时顶点对齐、边依次贴合，避免因操作误差影响结论。（二）简单推理法（结合平角定义，初步渗透推理思想）以△ABC为例，推理过程如下：1.过三角形的一个顶点（如顶点A）作它对边BC的平行线AD；2.由平行线的性质可知，∠B=∠BAD（内错角相等），∠C=∠CAD（内错角相等）；3. ∠BAD、∠BAC、∠CAD组成一个平角，即∠BAD+∠BAC+∠CAD=180°；4.代入∠B=∠BAD、∠C=∠CAD，可得∠B+∠BAC+∠C=180°，即△ABC的内角和为180°。三、三角形内角和定理的应用（基础题型）核心思路：已知三角形两个内角的度数，可根据内角和为180°，求出第三个内角的度数；反之，已知一个内角的度数，可结合三角形类型，分析另外两个内角的范围。-示例1：在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度数。解：由三角形内角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。-示例2：在Rt△ABC中，一个锐角为35°，求另一个锐角的度数。解：直角三角形有一个内角为90°，因此另一个锐角=180°-90°-35°=55°（延伸：直角三角形的两个锐角互余）。四、易错点提醒- 1.三角形内角和是固定的180°，与三角形的大小、形状无关，不可认为“大三角形内角和大，小三角形内角和小”；- 2.钝角三角形中，只有一个内角是钝角（大于90°且小于180°），另外两个内角一定是锐角，且和小于90°（因为内角和为180°）；- 3.运用内角和定理计算时，注意单位统一（均为“度”），避免漏减或计算错误；- 4.剪拼法是直观验证方法，推理法是严谨验证方法，两者结合可加深对定理的理解，不可混淆“操作”与“推理”的区别。小练习：判断下列说法是否正确？并说明理由。（1）一个三角形的三个内角都是60°，这个三角形是等边三角形；（2）三角形的内角和可能是170°；（3）钝角三角形的内角和大于180°。（答案：√、×、×）1. 通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°；
2. 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；
(重点、难点)
新课导入
我们曾撕下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角。
3
1
1
2
2
2
1
3
3
还有折叠的方法
得出结论：三角形的内角和等于 180°.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？
三角形的内角和
如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B'C' ，使得 B'C'∥BC.
则 ，
所以 ∠B+∠BAC+∠C=180°.
又
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
1
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其他的方法推出这个结论吗？
知识要点
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
例1 在 △ABC 中， ∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数.
解：设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为3x°，
∠C 为 (x＋15)°， 从而有
3x＋x＋(x＋15)＝ 180.
解得 x＝33.
所以 3x＝99 ， x＋15＝48.
答：∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
典例精析
例 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线，
得∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD 中，
∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD
= 180° - 75° - 20°
= 85°.
典例精析
问题 ：如图，在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC 中，∠C = 90°， 由三角形内角和定理，得∠A +∠B +
∠C = 180°，故∠A + ∠B = 90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
直角三角形的内角性质
2
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC．
知识要点
解：在Rt△ABD 中，
∵∠1 +∠B = 90°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴∠B = 90°－∠1(等式性质). 又∵∠1 = 45°(已知)，
∴∠B = 90°－45° = 45°(等量代换).
在△ABC 中，
∵∠B +∠C + ∠BAC = 180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠BAC = 180°－∠B－∠C(等式性质).
又∵∠B = 45°(已求)，∠C = 65°(已知)，
∴∠BAC = 180°－45°－65° = 70°(等量代换).
例3 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠1 = 45°，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数.
典例精析
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗
由三角形的内角和等于 180°，容易得出下面的结论：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
归纳总结
问题 1　在右图中，外角 ∠ACD 与它不相邻的内角∠A，∠B 之间有什么大小关系？
可以利用“三角形的内角和等于 180° ”的结论.
三角形的外角的性质
3
外角
相邻内角
不相邻内角
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
因为 ∠ACD +∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以 ∠ACD - ∠A - ∠B = 0（等量减等量，差相等）
于是 ∠ACD =∠A +∠B.
由此得到：
2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
如图，∠CAD = 100°，∠B = 30°，求∠C 的度数.
解：因为∠B +∠C =∠CAD，
所以∠C =∠CAD - ∠B，
所以∠C = 100° - 30° = 70°.
做一做
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE = ∠2 + ∠3，
∠CBF = ∠1 + ∠3，
∠ACD = ∠1 + ∠2.
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
问题 2 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ，
∠CBF +∠2 = 180°②，
∠ACD +∠3 = 180°③，
又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
①+ ②+ ③得
∠BAE +∠CBF +∠ACD
+ (∠1 +∠2 +∠3) = 540°，
所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
三角形的外角和等于 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
= 2(∠1+ ∠2+ ∠3) = 360°.
要点归纳
例 4 (一题多解法)如图，∠A = 51°，∠B = 20°，
∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
典例精析
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，
在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.
∵∠BDC =∠3 +∠4，
∠BAC =∠1 +∠2，
∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
解法三：延长 CD 交 AB 于点 F (解题过程同解法二).
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
A
B
C
D
(
(
(
1
3
2
(
重要发现：
∠BDC = ∠1+ ∠2+ ∠3.
随堂练习
1. 在一个三角形中，有两个内角度数分别是 25°和 55°，则这个三角形是（ ）
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
无法确定
B
【教材P86练习 第1题】
1
A
C
B
2
4
3
D
E
分析：
∠1 +∠2 =∠3 +∠4 = 180°–∠A = 180°– 40° = 140°
2. 如图，∠A = 40°，则∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =_____.
∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 140° + 140° = 280°
280°
【教材P86练习 第2题】
3. 在△ABC中，∠A + ∠B = 80°，∠C = 2∠B. 求∠A、∠B和∠C的度数.
解：∵∠A +∠B = 80°，
∴∠C = 180°–（∠A +∠B）= 100°.
∴∠A = 80°–∠B = 30°.
∵∠C = 2∠B ， ∴∠B = ∠C = 50°.
【教材P86练习 第3题】
4. 在△ABC中，∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°. 求△ABC 的各内角的度数.
解：∵∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°，
∴∠C = ∠A + 60°.
∴∠A = 30°.
∵∠A +∠B + ∠C = 180°，
∴∠A +∠A + 30°+∠A + 60° = 180°.
∴∠B =∠A + 30° = 60°，∠C =∠A + 60° = 90°.
【教材P86练习 第4题】
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D、E 分别是边CB、AB 延长线上的点，∠A = ∠D. 试说明△BDE 是直角三角形.
解：∵∠C = 90°，∴∠A +∠ABC = 90°.
又∵∠A = ∠D ，∠ABC =∠DBE，
在△BDE 中，∵∠D +∠DBE +∠E = 180°，
∴∠E = 180° – (∠D +∠DBE).
∴△BDE 是直角三角形.
A
C
B
D
E
∴∠E = 180° – (∠A +∠ABC) = 180° – 90° = 90°.
1. 在中，若 ， ，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
（第2题）
2. 如图，在中， ，
，则 是( )
C
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
（第3题）
3. 如图，是 的平分线，
， ，则
( )
C
A. B. C. D.
4. [威海中考] 如图，直线 ，
， .若 .则
等于( )
A
A. B. C. D.
5. 如图，在中，为边 上的高，
为边上的一点，连结 .
（1）当为边 上的中线时，若
，的面积为24，求 的长；
【解】为边上的高， 的面积为24，
.又， .
又为边上的中线， .
（2）当为 的平分线时，若
， ，求 的度数.
, ,
.
又为的平分线， .
, , .
.
（第6题）
6. 如图，将三角形纸片
沿折叠，当点落在四边形 的外
部时，测量得 ， ，
则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
7. 如图，在中， ， ， 平分
，于点，于点，则 的度数为
____.
（第7题）
8. 如图，在四边形中， ，
于点，于点，平分 ，
，，则 的度数为
______.
【点拨】设 ,则
, ,
平分 ,
, ,
, ，
,解得 ,
, .
, , ,
.
9. 在中，，为三角形的高，
为，所在直线的交点（不与 的顶点重合），
,则 的度数是___________.
或
【点拨】当为锐角三角形时，如图①. ,
, 易得 , ,
, .
当为钝角三角形时，若 为钝角，如图②.
,, , ,
, ,
, ,
;若为钝角或 为钝
角，易求得 .故答案为 或 .
10. 如图，是的角平分线，过点作交
的延长线于点，点在上，连结交于点 .
（1）若 ,试说
明： ；
【解】是 的角平分线，
. ,
, . ,
, .
, ,
（2）若 ， ，求
的度数.
, ,
.是 的角平
分线， . ,
. .
课堂小结
三角形的
内角和
三角形的内角和等于 180°
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形

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