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华东师大版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.8.1.1.2三角形的中线、角平分线与高第8章三角形8.1.1.2三角形的中线、角平分线与高学习目标：1.理解三角形的中线、角平分线、高的定义，掌握它们的画法；2.掌握三角形中线、角平分线、高的基本特征，能准确区分三种线段；3.了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高的交点特点，规范表述相关线段。一、三角形的中线1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。说明：三角形的中线是一条线段，而非直线或射线；“对边中点”指该顶点所对的边的中点，即把对边分成两条相等线段的点。2.表示方法：以△ABC为例，若D是BC边的中点，连接AD，则AD是△ABC中BC边上的中线，可表示为“AD是△ABC的中线”或“AD⊥BC（此处为中点，非垂直，修正：AD是BC边上的中线，BD=DC）”。3.特征：-一个三角形有三条中线，分别对应三条边，三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。-三角形的重心在三角形内部，且重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍（后续可通过画图验证）。-三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（因为两个小三角形等底等高）。二、三角形的角平分线1.定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。说明：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意区分两者的区别；角平分线必须与对边相交，交点在对边上。2.表示方法：以△ABC为例，若AE平分∠BAC，且交BC于点E，则AE是△ABC中∠BAC的角平分线，可表示为“AE平分∠BAC”或“∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC”。3.特征：-一个三角形有三条角平分线，分别对应三个内角，三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。-三角形的内心在三角形内部，且内心到三角形三条边的距离相等（后续学习）。-角平分线将三角形的一个内角分成两个相等的小角，且角平分线始终在三角形内部（无论哪种三角形）。三、三角形的高1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高，简称三角形的高。说明：三角形的高是一条线段，作高时需注意“向对边所在直线作垂线”，而非仅对边本身（钝角三角形的高会在对边延长线上）；垂足可能在对边上，也可能在对边的延长线上。2.表示方法：以△ABC为例，若过点A作BC边所在直线的垂线，垂足为F，则AF是△ABC中BC边上的高，可表示为“AF⊥BC”或“AF是△ABC的高”，垂足为F。3.特征：-一个三角形有三条高，分别对应三条边，三条高相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。-垂心的位置随三角形类型变化：锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心在直角顶点处；钝角三角形的垂心在三角形外部。-直角三角形的两条直角边互为高，第三条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条在内部。四、易错点提醒- 1.三角形的中线、角平分线、高都是线段，而非直线或射线，注意区分“线段”与“射线”的概念；- 2.钝角三角形的两条高在三角形外部，画图时需延长对边，再作垂线；- 3.三角形的重心、内心一定在三角形内部，垂心的位置随三角形类型变化，不可混淆；- 4.角平分线平分三角形的内角，中线平分对边，高垂直于对边（或对边延长线），三者的作用不同，不可混淆。小练习：判断下列说法是否正确？（1）三角形的中线一定在三角形内部；（2）三角形的高一定在三角形内部；（3）三角形的角平分线平分三角形的边。（答案：√、×、×）1. 掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. (重点)
2. 掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3. 掌握钝角三角形的两短边上高的画法. (难点)
新课导入
如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的一个动点，连接 AD，在点 D 的运动过程中，观察点 D或线段 AD 有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？
三角形的高
问题 1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
定义 如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的高.
问题 2 由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB = ∠ADC = 90°
A
B
C
D
垂足
注意：标明垂直符号和垂足的字母.
1
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
画图发现
三角形的三条高交于一点.
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
O
(E,F)
O
画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？
三角形的中线
问题 1 如图，如果点 C 是线段 AB 的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC = BC = AB
2
定义：
如图，连结△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫做△ABC 的边 BC 上的中线.
问题 2 如图，如果点 D 是线段 BC 的中点，那么线段 AD 就是 △ABC 的一条中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线.
A
B
C
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
BD = CD = BC
D
画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
问题 3 如图，在 △ABC 中，AD 是 △ABC 的中线，AE 是 △ABC 的高．试判断 △ABD 和 △ACD 的面积有什么关系，为什么？
B
C
D
E
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题 4 通过问题 3 你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
三角形的角平分线
问题 1 如图，若 OC 是∠AOB 的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC = ∠BOC
3
想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗
相同点是： ∠BAD = ∠CAD；
不同点是：前者是线段，后者是射线.
问题 2 如图，在△ABC 中，如果∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D，我们就称 AD 是 △ABC 的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？
B
C
D
A
(
(
三角形的三条角平分线交于三角形内一点.
例 1 如图，已知 AD，AE 分别是 △ABC 的高和中线，
AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm， ∠CAB = 90°，
试求：(1) △ABE 的面积；
(2) △ACE 和 △ABE 的周长的差.
A
B
C
D
E
解：(1)
即 AD = 4.8.
典例精析
解： ∵AE 是 △ABC 的中线，∴BE=CE.
∴△ACE 和 △ABE 的周长的差
=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
=AC-AB = 8-6
=2(cm).
重要发现 △ABC的中线 AE 把原三角形分成的两个三角形的周长差就是 AC 与 AB 的差.
A
B
C
D
E
(2) △ACE 和 △ABE 的周长的差.
例2 如图，在△ABC 中，请作图：
(1) 画出 △ABC 的 ∠C 的平分线；
(2) 画出 △ABC 的边 AC 上的中线；
(3) 画出 △ABC 的边 BC 上的高.
A
B
C
D
E
F
答：如图，CF 是△ABC的一条角平分线；BE 是边 AC 上的中线；AD 是边 BC 上的高.
画高要标明垂直符号. 三角形的角平分线，中线及高都要画成线段.
注意
1. 以下说法错误的是（ ）
A. 三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B. 三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C. 三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D. 一个三角形的三条高、中线、角平分线分别交于同一个点
A
随堂练习
2. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则：
∠1 = ；
∠3 = ；
∠ACB = 2 .
∠2
∠ABE 或 ∠ABC
∠4 或∠ACF
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
　 3. 如图，在△ABC 中，已知 D、E、F 分别为 BC、AD、CE 的中点，且 S△ABC = 12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
A
B
C
D
E
F
S△ABD = S△ACD = S△ABC = 6
6
6
S△BDE = S△CDE = S△ABD = 3
3
3
S△BEF = S△BCE = 3
4. 如图，△ABC 是等腰三角形， AB = AC. 试画出边 BC 上的中线和高以及∠A 的平分线，从中你发现了什么？
A
B
C
【教材P84练习 第1题】
解：如图所示，等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线三条线重合，即三线合一.
5. 在一个直角三角形中，画出斜边上的中线，先观察一下图形中有几个等腰三角形，再用刻度尺验证你的结论.
【教材P84练习 第2题】
解：若该直角三角形是等腰直角三角形，
则图形中有3个等腰三角形；
若该直角三角形不是等腰三角形，
则图形中有2个等腰三角形.
1. 在中，下列利用三角板能表示 边上的高
的是( )
B
A. B. C. D.
2. 如图，在中， ，
，是边上两点，且，
平分 ，则下列说法中不正确的是
( )
C
A. 是的中线 B. 是 的角平分线
C. D. 是 的高
3. 如图所示，在中，已知，，分别是， ，
的中点，且的面积为，则 的面积是
____ .
16
（第3题）
（第3题）
【点拨】是的中点， ，
又是的中点， .
是的中点， .
又的面积为 ，
.
与三角形的面积计算有关的一些技巧：
（1）等高的三角形面积的比等于对应底边的比；
（2）三角形的中线把三角形分成两个面积相等
的三角形.
（第3题）
4. 如图，已知是的中线，， ，且
的周长为12，则 的周长是____.
10
（第4题）
5. 如图，已知平分，，且 .
（1）若 ，则 的度数为____；
（2）当，，时，求点到直线 的距离.
【解】如图，过点作于点 ，
， .
，
，
故点到直线的距离为 .
（第6题）
6. [北京东城区期中] 如图，点是长方形
内任意一点，连结，，， ，把长方
形分成4个三角形，， ，
，的面积分别记为，，， .
D
A. B.
C. D.
已知长方形的面积，则一定可以求出的值是 ( )
（第7题）
7. 如图，在中，， ，垂
足分别为，，与交于点，连接 并延
长交于点.若，， ，则
( )
B
A. B.
C. D.
（第8题）
8. 如图，已知 中，
,平分, ,
垂足为,为上一点， .则
的度数为( )
D
A. B.
C. D.
课堂总结
三角形的重要线段
高
中线
角平分线
A
B
C
E
D
F
A
B
C
D
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F

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