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华东师大版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.8.1.2.2三角形的外角及外角和第8章三角形8.1.2.2三角形的外角及外角和学习目标：1.理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角；2.掌握三角形外角的两个核心性质，能运用性质解决简单角度计算问题；3.理解三角形外角和定理，掌握外角和为360°的结论及简单验证方法，提升推理和计算能力。一、三角形的外角定义1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。说明：结合图形理解（七年级可结合简单图示辅助），三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相等；一个三角形共有6个外角（3个顶点，每个顶点2个），但通常我们研究的是每个顶点处的一个外角，即3个外角。关键区分：三角形的内角是三角形内部的角，而外角是在三角形外部，由一边延长线与另一边组成，且外角与相邻的内角互为邻补角（和为180°）。二、三角形外角的性质（重点）三角形的外角有两个核心性质，可结合三角形内角和定理推导得出，贴合七年级认知水平，具体如下：-性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。-推导：以△ABC为例，∠ACD是△ABC的一个外角（D在BC的延长线上），∠ACB与∠ACD互为邻补角，故∠ACB + ∠ACD = 180°；又由三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，因此∠ACD = ∠A + ∠B，即外角等于不相邻两内角之和。-性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。-推导：由性质1可知，外角等于两个不相邻内角的和，因此外角必然大于其中任意一个不相邻的内角（例如∠ACD = ∠A + ∠B，故∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B）。注意：性质中强调“不相邻”，若外角与内角相邻，则两者互为邻补角，不存在“大于”或“等于”（除直角三角形外）的关系。三、三角形的外角和定理1.核心结论：任意一个三角形的外角和等于360°（此处指每个顶点处取一个外角，三个外角的和）。说明：三角形的内角和是180°，而外角和是固定的360°，与三角形的形状、大小无关，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外角和均为360°。（一）外角和的简单验证方法（七年级重点掌握）方法1：直观操作法：任意画一个三角形，分别画出三个顶点处的一个外角，将这三个外角剪下来，顶点重合、边依次拼接，可发现恰好组成一个周角，周角的度数为360°，因此外角和为360°。方法2：简单推理法：以△ABC为例，设三个顶点处的外角分别为∠1（∠A的外角）、∠2（∠B的外角）、∠3（∠C的外角）。由邻补角性质，∠1 + ∠A = 180°，∠2 + ∠B = 180°，∠3 + ∠C = 180°，三式相加得∠1 + ∠2 + ∠3 +（∠A + ∠B + ∠C）= 540°；又因为三角形内角和∠A + ∠B + ∠C = 180°，因此∠1 + ∠2 + ∠3 = 540°- 180°= 360°。四、外角性质及外角和定理的应用（基础题型）核心思路：利用外角性质可快速求未知角度，避免反复运用内角和定理；利用外角和定理可验证角度计算的正确性，或解决与外角相关的简单推理问题。-示例1：在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，求∠ACB的外角度数。解：由外角性质1，∠ACB的外角= ∠A + ∠B = 40°+ 50°= 90°。-示例2：已知三角形的一个外角为120°，与它不相邻的一个内角为50°，求另一个不相邻的内角的度数。解：由外角性质1，另一个不相邻内角=外角-已知不相邻内角= 120°- 50°= 70°。-示例3：若一个三角形的三个外角都相等，求这个三角形的形状。解：三角形外角和为360°，三个外角相等，则每个外角为360°÷3=120°，对应的相邻内角为180°-120°=60°，三个内角均为60°，故该三角形为等边三角形。五、易错点提醒- 1.混淆“三角形的外角”与“内角的邻补角”：外角是三角形的一个外角，而邻补角是与内角相邻的角，二者位置不同，但数量上互为邻补角（和为180°）。- 2.运用外角性质时，忽略“不相邻”：只有不相邻的两个内角的和才等于外角，相邻的内角与外角和为180°，不可混淆。- 3.错误认为“三角形的外角和随三角形类型变化”：无论哪种三角形，外角和始终是360°，与内角和180°一样是固定值。- 4.计算外角时，误将相邻内角当作不相邻内角代入计算，导致结果错误。小练习：判断下列说法是否正确？并说明理由。（1）三角形的一个外角一定大于它的内角；（2）三角形的外角和是180°；（3）三角形的一个外角等于两个内角的和。（答案：×、×、×）探究新知
以同桌为一个小组，请同学们拿出撕开的三角形，观察三角形的内角与外角之间有什么联系，看看哪个小组完成的最快，最先发现问题.
大家得出了什么结论呢？
A
B
C
D
外角 + 相邻的内角 = 180°
外角
不相邻的内角
相邻的内角
外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
知识点1 三角形的外角的性质
一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
三角形的外角.几何画板
A
B
C
D
外角
依据三角形的内角和等于180°，我们有
∠ACB +∠BAC +∠ABC = 180°
∠CBD +∠ABC = 180°
由上面两个式子，可以推出
∠ACB +∠BAC = 180°–∠ABC
∠CBD = 180°–∠ABC
因而可以得到外角∠CBD 与两个不相邻的内角之间的关系：
∠CBD = ∠ACB +∠BAC
三角形的外角.几何画板
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的外角
A
B
C
D
外角
∠CBD = ∠C +∠A
外角
不相邻内角
相互转化
三角形的外角.几何画板
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
A
B
C
D
外角
∠CBD ______∠C
∠CBD ______∠A
判断：
∠CBD = ∠C +∠A
＞
＞
三角形的外角.几何画板
知识点2 三角形的外角和
1
2
3
C
B
A
①观察图形，形成了几个外角？
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
三角形有6个外角，每个顶点处有2个外角，它们是一对对顶角.
求：∠1 +∠2 +∠3 =？
②如何求三角形的外角和？
∠1 +_______ = 180°，
∠2 +_______ = 180°，
∠3 +_______ = 180°.
∠ACB
∠BAC
∠ABC
三式相加，可以得到
∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=_____，
∠ACB
∠BAC
∠ABC
540°
而
1
2
3
C
B
A
做一做
在右图中，有：
①
②
∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°
将①与②相比较，你能得出什么结论？
∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=_____，
∠ACB
∠BAC
∠ABC
540°
①
②
∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°
∠1 +∠2 +∠3 = 360°
由此可知：
三角形的外角和等于 360°.
思考：还有其它的方法说明这一结论吗？
1
2
3
C
B
A
例题讲解
例 2 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°.
（1）求∠B 的度数；
（2）求∠C 的度数.
A
C
B
D
解 （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知），
∴∠B +∠BAD = ∠ADC = 80°
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠B =∠BAD（已知），
∠B = 80°× = 40°（等量代换）.
1
2
A
C
B
D
70°
80°
（2）∵∠B +∠BAC +∠C = 180°
（三角形的内角和等于180°），
A
C
B
D
70°
80°
40°
∴∠C = 180°– ∠B – ∠BAC（等式的性质）.
又∵∠B = 40°（已求），
∠BAC = 70°（已知），
∴∠C = 180° – 40° – 70°= 70°
（等量代换）.
（第1题）
1. [烟台中考] 如图是一款儿童小推车的示
意图，若， ， ，
则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
（第2题）
2. 如图，，为 的两个
外角，若 ， ，
则 的邻补角是( )
C
A. B. C. D.
（第3题）
3. 如图，，， 的大小关系
是( )
B
A. B.
C. D.
（第4题）
4. 一副三角板按如图所示摆放，其中
，图中 的度数为( )
C
A. B. C. D.
5. 一块板材如图所示，测得 ， ，
，根据需要为 ，师傅说板材不符合要
求且只能改动，则可将 ______（选填“增加”或“减少”）
___ .
减少
5
【点拨】如图,延长交 于点
，
，
. 根据需要 为
， 可将减少 .
求角的度数时，常通过构造三角形的外角，利用外
角的性质解决.
6. 如图，已知 ， ，且
.若 ，求 的度数.
【解】延长交于点 ，如图.
， ，
.
.
，是 的外角，
.
（第7题）
7. 如图，，， 分别
是 三边延长线上的点，
，则
的度数为( )
A
A. B. C. D.
（第8题）
8. 如图，，平分 ，
平分，点，， 共线，点
，，，共线， ，
，则下列结论：
B
A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
； ；； .
其中正确的是( )
（第9题）
9. 如图，已知 ，
，是上的一点，连结 ，
将沿所在直线折叠，点 落在
点处，连结,.若 ，
，则
( )
D
A. B. C. D.
课堂小结
三角形的外角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
三角形的外角和等于 360°

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