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华东师大版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.小结与复习第8章三角形第8章三角形全章学习目标：1.理解三角形、多边形的有关概念，掌握三角形的分类、组成要素及多边形的基本特征；2.掌握三角形的中线、角平分线、高的定义及特征，能准确识别和区分；3.熟练运用三角形内角和、外角及外角和定理，多边形内角和、外角和定理解决基础计算和推理问题；4.理解平面镶嵌的原理，能判断正多边形单独或组合铺设地面的可行性；5.培养几何直观和逻辑推理能力，衔接后续几何知识的学习。8.1三角形的有关概念及性质8.1.1三角形的有关概念及分类1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。关键条件是“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”，缺一不可。2.三角形的组成要素：顶点（3个，用大写英文字母表示）、边（3条，可表示为线段或小写字母）、内角（3个，和为180°，后续详细学习）。3.三角形的表示方法：用符号“△”表示，后跟三个顶点字母，顺序可任意，如△ABC。4.三角形的分类：-按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边都相等）；-按角分：锐角三角形（三个内角均为锐角）、直角三角形（一个内角为直角，两锐角互余）、钝角三角形（一个内角为钝角）。8.1.1.2三角形的中线、角平分线与高三者均为三角形的重要线段，区别在于作用不同，具体如下：-中线：连接顶点与对边中点的线段，一个三角形有3条，交于重心（内部），可将三角形分成两个面积相等的小三角形；-角平分线：内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，一个三角形有3条，交于内心（内部），平分内角且到三边距离相等（后续学习）；-高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段，一个三角形有3条，交于垂心；垂心位置随三角形类型变化（锐角内部、直角顶点、钝角外部）。8.1.2三角形的内角和与外角8.1.2.1三角形的内角和核心定理：任意三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关。验证方法：剪拼法（三个内角拼接成平角）、简单推理法（过顶点作对边平行线，利用平行线性质推导）。应用：已知两个内角，可求第三个内角；结合三角形类型，分析内角范围（如直角三角形两锐角互余）。8.1.2.2三角形的外角及外角和1.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，每个顶点有2个外角（对顶角相等），通常研究每个顶点1个外角。2.外角性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。3.外角和：任意三角形的外角和等于360°（每个顶点取1个外角，拼接成周角）。8.1.3三角形的三边关系核心定理：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边（“任意”是关键，不可遗漏）。简化理解：重点掌握“两边之和大于第三边”，可推导得出“两边之差小于第三边”。应用：判断三条线段能否组成三角形；已知两边，求第三边的取值范围；解决等腰三角形边长问题（需分类讨论并验证三边关系）。8.2多边形的有关概念及性质8.2.1多边形的内角和1.多边形的定义：由n条（n≥3，整数）不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫n边形（如三角形、四边形）。2.分类：凸多边形（所有内角<180°，七年级重点研究）、凹多边形（至少一个内角>180°）；正多边形（各边相等、各内角相等）。3.内角和公式：n边形内角和= $$(n-2)\times 180^\circ$$（推导：从一个顶点画对角线，将n边形分成$$n-2$$个三角形）。应用：求多边形内角和、已知内角和求边数、求正多边形每个内角的度数。8.2.2多边形的外角和核心定理：任意多边形的外角和等于360°，与边数n无关（区别于内角和，内角和随边数变化）。推导：利用“每个顶点内角+相邻外角=180°”，结合n边形内角和公式，化简得出外角和为360°。应用：求正多边形每个外角度数、已知外角度数求正多边形边数、结合内角与外角关系解决角度计算。8.3用正多边形铺设地面1.平面镶嵌定义：用一种或几种正多边形，在平面内无空隙、不重叠地铺满整个平面（核心：围绕同一个顶点的内角和=360°）。2.正多边形单独镶嵌的条件：正多边形每个内角能整除360°，常见可单独镶嵌的正多边形：正三角形（60°）、正方形（90°）、正六边形（120°）。3.正多边形组合镶嵌：两种或多种正多边形组合，围绕同一个顶点的内角和=360°即可（无需每种正多边形能单独镶嵌）。应用：判断正多边形能否单独或组合镶嵌，解决简单的地面铺设实际问题。全章易错点汇总- 1.三角形分类混淆：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形；直角三角形两锐角互余。- 2.三角形高的位置易错：钝角三角形有两条高在外部，直角三角形两条直角边互为高。- 3.内角和与外角和混淆：三角形内角和180°、外角和360°；多边形内角和随边数变化，外角和固定360°。- 4.三边关系应用易错：判断线段能否组成三角形，需验证所有两边之和大于第三边，不可遗漏。- 5.平面镶嵌易错：混淆内角和与外角和，核心是围绕顶点的内角和=360°，仅正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌。全章小练习：1.求十边形的内角和与外角和；2.判断3cm、5cm、7cm的线段能否组成三角形；3.正六边形能否单独铺设地面？（答案：1. 1440°，360°；2.能；3.能）底边和腰不相等的等腰三角形
按边分
按角分
三边互不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
一、三角形的分类
注意：① 三角形的高是线段；
② 锐角三角形三条高全在三角形的内部；
直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；
钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部.
③ 三角形三条高所在直线交于一点．
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：① AD 是 △ABC 的边 BC 上的高；
　　　　② AD⊥BC 于 D；
　　　　③∠ADB =∠ADC = 90°.
二、三角形的高、中线、角平分线：
注意：① 三角形的中线是线段；
② 三角形三条中线全在三角形的内部；
③ 三角形三条中线交于三角形内部一点；
④ 中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
2. 三角形的中线：连结一个顶点和它对边中点的线段.
表示法：① AD 是 △ABC 的边 BC 上的中线；
　　② BD = DC = BC.
注意：① 三角形的角平分线是线段；
② 三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③ 三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④ 用量角器画三角形的角平分线．
　3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.
1
2
表示法：
① AD 是 △ABC 中 ∠BAC 的平分线.
② ∠1=∠2= ∠BAC.
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°．
三、三角形内角和与外角和
推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于和它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于 360°．
注意：
1. 三边关系的依据是：两点之间线段最短.
2. 判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形.
3. 三角形第三边的取值范围是：
两边之差 < 第三边 < 两边之和
三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边.
四、三角形的三边关系
五、多边形的性质
n边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2) ×180°.
多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 360 °.
正多边形的性质：各边都相等，各内角也都相等.
正 n 边形每个内角的度数是
正 n 边形每个外角的度数是
用相同正多边形可以铺满地面的条件：
正多边形的每个内角都能被 360 整除.
用多种正多边形可以拼成平面的条件：
围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为 360 .
例 1 如图，已知AD⊥BC，BF⊥CF，且AD = 2，BC = 8，BF = 4，那么 AC 的长度为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
F
A
C
D
B
4. 三角形的内角和与外角和
三角形的内角和 = _________.
直角三角形的两个锐角 _________.
两个锐角 ________的三角形是直角三角形.
三角形的外角等于___________________的和.
三角形的外角______任何一个与它不相邻的内角.
180°
互余
互余
与它不相邻的两个内角
大于
三角形的外角和 = ___________.
360°
针对训练
例 2 如图，在△ABC 中，∠A = 40°，将△ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在点 F 处，则∠FDB +∠FEC 的度数为（ ）
A. 140° B. 120°
C. 70° D. 80°
D
E
A
C
D
B
F
例 3 如图，AD 平分△ABC 的外角∠CAE，交 BC 的延长线于点 D，∠B = 30°，∠DAE = 55°，则∠ACD =______.
100°
E
A
C
D
B
5. 三角形的三边关系
三角形的任意两边之和 ____________.
大于第三边
三角形的任意两边之差 ____________.
小于第三边
判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形：
当 a 最长，且有 b+c＞a时，可以组成三角形
确定三角形第三边的取值范围：
两边之差＜第三边＜两边之和
三角形具有____________.
稳定性
针对训练
例 4 一个三角形的两条边的长为 5 和 7，若三角形周长为偶数，则第三边的长可能是（ ）
A. 2 B. 4 C. 7 D. 14
B
考点1 三角形的相关概念
（第1题）
1. 如图，点在 中，写出图中所有三角
形：___________________________；线段
是 _____和 _____的边； 的3个内
角是___________________，三条边是_______
____；是 _____的外角.
,,,
,,
,,
考点2 三角形的重要线段
（第2题）
2. 如图，在中，是的中点，是
边上一点，且，与交于点 ，
连结.若四边形的面积是14，则
的面积是( )
C
A. 28 B. 32 C. 30 D. 29
（第2题）
【点拨】设的面积为， 的面积为
，则的面积为 ，
，
，
，
.
为 的中点，
， .
， ，
，即 .
四边形 的面积为14，
，
（第2题）
解得
，
.
（第2题）
3. 如图所示，在中，是角平分线， 是高.
（1）已知，请求出与， 的关系；
【解】由题意知， .
是 的角平分线，
.
是的高， .
.
.
（2）已知，试说明： .
由（1）可得， ，
，
.
考点3 三角形的内角和与外角和
4. 下列说法中，正确的个数是( )
①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点；
②任意三角形的外角和都是 ；
③三角形的一个外角大于任何一个内角；
④在中，当, 时，这个三角形是直
角三角形.
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图，
的度数
为( )
C
A. B. C. D.
【点拨】如图， ，
，
， .
6. 如图①，②，③， ，， ，则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
【点拨】对于图①， 在中， ，
.
，，， .
.对于图②，
是的外角， ，
， ，
是的外角， .
对于图③，是的外角，是 的外
角， ， ，
.
又，， ，
. .
.
考点4 三角形的三边关系
7. 已知三角形的三边长分别为1， ，3，则化简
的结果为___.
2
8. 如图①所示，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，
其中上下两端长方形的宽相等，若将其围成如图②所示的三
棱柱，则图①中 的值可以是( )
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【点拨】由三角形的三边关系知 解得
, 题图①中 的值可以是3,故选C.
9. 某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表：
规格/ 1 2 3 4 5 6
价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35
学校要制作一个宣传牌的三角形支架，已经购买两根长度分
别为和 的钢管，还需要购买一根.
（1）有哪几种规格的钢管可供选择？
【解】设第三根钢管的长度为 ，
则，即 ，
长度为，， 的钢管可供选择.
（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角
形支架一共需要花多少钱购买钢管？
三角形支架的周长为偶数，
三角形支架的三边长分别为，， ，
则花的钱数为 （元）.
答：做成三角形支架一共需要花75元购买钢管.
考点5 多边形的内角和与外角和
10. [遂宁中考] 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，
则该多边形的边数为( )
A
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
（第11题）
11. [眉山中考] 如图，直线 与正五边形
的边，分别交于点， ，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
【点拨】 五边形 是正五边形，
.
， ., ，
（第12题）
12. 如图是形似“秋蝉”的图案，图案实线部
分是由正方形、正五边形和正六边形叠放在
一起形成的，则图中 的度数为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】如图，由正方形、正五边形或正六
边形的性质，得 ,
, ,
,
,
,
, .故选B.
思想1 转化思想
（第13题）
13. 如图，已知，分别平分 ，
，若 ， ，则
的大小为( )
C
A. B.
C. D.
（第13题）
【点拨】连结 并延长，如图①，
由三角形外角的性质可知
，
.
，分别平分， ，
，
.
， ，
.
.
连结 并延长，如图②，
.
思想2 分类讨论思想
（第14题）
14. 若一个三角形中一个角的度数是另一个
角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐
三角形”.例如，三个内角分别为 ，
， 的三角形是“和谐三角形”，如图，
或 或 或
直角三角形中， ，， 是边
上一动点.当是“和谐三角形”时， 的度数是
______________________.
（第14题）
【点拨】 ， ，
.
当 是“和谐三角形”时，分四种情况：
①当时， ，
.
；
②当时， ，
；
③当 时，
，
.
；
④当时， ，
.
综上所述，的度数是 或 或
或 .
（第14题）
思想3 方程思想
15. 如图，和是 的外
角，和分别是和 的平分
线，延长和交于点.设 ，
，求 与 之间的数量关系.
【解】和分别是和 的平
分线，， .
设 ，
，
则 ， ， ，
，
，
.
在中， ，
.
整理，得 .
在中， ，
.
.
整理，得 .
与 之间的数量关系为 .

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