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华东师大版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.9.1.2轴对称的再认识第9章轴对称、平移与旋转9.1.2轴对称的再认识学习目标：1.理解“两个图形关于一条直线对称”的定义，能准确区分“轴对称图形”与“两个图形关于直线对称”；2.掌握轴对称的核心性质，能利用性质找对称点、对称线段、对称角；3.能根据轴对称的性质，画出一个图形关于某条直线的对称图形，提升几何操作和推理能力。一、两个图形关于一条直线对称的定义在上一节我们认识了“轴对称图形”（一个图形自身对称），本节课进一步认识“轴对称”——两个图形之间的对称关系，具体定义如下：1.核心定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（也叫成轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（也叫对称点），重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。2.关键解读：-轴对称是针对两个图形而言的，强调两个图形之间的位置关系，而轴对称图形是针对一个图形而言的，强调图形自身的特征（二者核心区别）。-两个图形关于直线对称，必须满足“沿对称轴折叠后完全重合”，对应点、对应线段、对应角均完全相等。-对称轴是连接两个对称图形对应点的“中垂线”，仍然是一条直线，画的时候用虚线表示。示例：把一张纸对折，在纸上画一个三角形，剪下后展开，得到两个三角形，这两个三角形关于对折的直线对称，对折的直线是对称轴，两个三角形的对应顶点、对应边、对应角均重合。二、轴对称与轴对称图形的区别与联系二者既有区别，又有密切联系，七年级重点掌握以下核心要点，避免混淆：（一）核心区别-研究对象不同：轴对称研究的是两个图形的位置关系；轴对称图形研究的是一个图形自身的对称性。-侧重点不同：轴对称强调“两个图形重合”；轴对称图形强调“一个图形自身折叠后重合”。（二）密切联系-二者都有对称轴，且对称轴都是直线。-若把两个关于直线对称的图形看作一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形；反之，若把一个轴对称图形沿着对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴对称。简单总结：一个图形自身对称→轴对称图形；两个图形对称→轴对称。三、轴对称的核心性质（重点）结合两个图形关于直线对称的定义，可推出轴对称的3条核心性质，是后续画图、解题的关键：-性质1：关于某条直线对称的两个图形是全等图形（即形状、大小完全相同），对应线段相等，对应角相等。-性质2：对称轴是连接任意一组对应点的线段的垂直平分线（即对称轴垂直于对应点的连线，且平分这条连线）。-性质3：对应点到对称轴的距离相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。解读：性质2是找对称轴的关键——只要找到两组对应点，连接对应点，作线段的垂直平分线，就是两个图形的对称轴；性质3是画对称图形的核心依据。四、利用轴对称性质画对称图形（基础操作）核心思路：根据“对应点到对称轴的距离相等”，先找出原图形的关键点（如顶点、端点）的对称点，再依次连接对称点，即可得到原图形关于这条直线的对称图形。具体步骤（以画△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'为例）：1.找出△ABC的三个关键点：顶点A、B、C；2.分别过点A、B、C作直线l的垂线，垂足分别为O、P、Q；3.在垂线上分别截取OA' = OA、PB' = PB、QC' = QC，得到点A、B、C关于直线l的对称点A'、B'、C'；4.依次连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'就是△ABC关于直线l的对称图形。注意：画图时，垂线用虚线，对称点标注清晰，最终的对称图形用实线表示，对称轴用虚线表示。五、易错点提醒- 1.混淆“轴对称”与“轴对称图形”：牢记“一个图形→轴对称图形，两个图形→轴对称”，不可将二者混为一谈。- 2.画对称点时出错：忽略“对应点到对称轴的距离相等”，导致对称点位置偏移，画出的对称图形与原图形不重合。- 3.误将对称轴当作“对应点的连线”：对称轴是对应点连线的垂直平分线，不是对应点的连线本身。- 4.画对称图形时，漏找关键点：需找出原图形所有的关键点（顶点、端点等），遗漏关键点会导致对称图形不完整。六、基础练习1.判断下列说法是否正确？（1）两个图形关于直线对称，它们一定是全等图形；（2）轴对称图形是两个图形关于直线对称；（3）对应点的连线垂直于对称轴。2.已知线段AB，直线l是AB的垂直平分线，画出线段AB关于直线l的对称线段A'B'。3.画出△ABC关于直线l的对称图形（自行设定△ABC的形状和直线l的位置）。参考答案：1.（1）√；（2）×；（3）√；2.略（线段A'B'与AB重合，因为直线l是AB的垂直平分线，AB关于l的对称线段就是自身）；3.略（按画图步骤操作即可）。1.知道线段和角都是轴对称图形，知道线段的对称轴是它的垂直平分线；角的对称轴是这个角的平分线.
2.会用尺规作图画线段的垂直平分线和角平分线.
3.会画轴对称图形的对称轴.
学习目标
1
线段的垂直平分线
探究一：观察线段，它是轴对称图形吗
如图，在半透明纸上画出线段 AB，对折线段 AB，使点 A 与点 B 重合，在折痕上任取两点 P、Q，然后用直尺画出折痕 PQ，直线 PQ 与线段 AB 相交于点O.
对折后，线段 OA 与 OB 是否重合 ∠POA 与∠POB 是否重合
你能说明直线 PQ 与线段 AB 的关系吗
(A)
B
P
Q
O
A
通过上面的操作，我们可以看出，OA＝OB，
∠POA＝∠POB＝90°.
由此可知，直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线.
线段是轴对称图形，其对称轴就是该线段的垂直平分线.
A
B
O
Q
P
问题： 请看图，线段 PA 和 PB 会重合吗？
A
B
O
P
分析：由于 A 点和 B 点重合，P 点是同一点(公共点)，所以线段 PA 和 PB 会重合.
合作探究
线段垂直平分线的特征:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
归纳总结
A
B
O
P
思考：我们已经能利用尺规作图，作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，那么如何作出已知线段的垂直平分线，即对称轴呢
A
B
O
Q
P
分析：根据上述对折的方法，易得
PA＝PB，QA＝QB.
于是我们想到，分别以点 A、B 为圆心，以同样长为半径作弧，两弧的交点即为垂直平分线上的两点 P 与 Q.
动手试一试吧！
想一想
利用尺规，作线段 AB 的垂直平分线.
作法：(1) 分别以点A和B为圆心、相同长(大于线段 AB 长的一半)为半径作弧，两弧分别相交于点 P 和点 Q；
已知：线段 AB.
求作：AB 的垂直平分线.
(2) 作直线 PQ.
直线 PQ 就是所要求作的线段 AB 的垂直平分线.


A
B
P
Q


画一画
例 △ABC 中，BC＝10，边 BC 的
垂直平分线分别交 AB、BC 于点
E、D，BE＝6，求△BCE 的周长.
解：∵ ED 是 BC 的垂直平分线，（已知）
∴EC ＝ EB ＝ 6.
（线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等）
∴△BCE 的周长=BC＋CE＋EB＝10＋6＋6=22.
答：△BCE的周长为 22.
典例精析
探究二：现在我们已经知道，线段是轴对称图形，那么常见的角是否也是轴对称图形呢
2
角的对称轴
如图，在半透明纸上画出∠AOB，对折∠AOB，使角的两边完全重合，然后在折痕(角的内部)
上任取一点 P，用直尺画出折痕 OP，显然射线 OP 是该角的平分线，看看直线OP与∠AOB 是什么关系.
O
A
B
P
O
A
B
P
通过上面的操作，我们可以看出，
∠AOP＝∠BOP.
角也是轴对称图形，其对称轴是这个角的平分线所在的直线.
强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线.
轴对称图形对称轴的画法





























































































































试一试：画出下列图形的对称轴.
如果没有方格，且不能折叠，你还能比较准确的画出图形的对称轴吗？
3
1. 画出下面图形的对称轴，画完图后请思考下面的问题：
① 能总结你画对称轴的方法吗？
② 连结对称点的线段与对称轴有什么关系？
连结对称点的线段被对称轴垂直平分.
合作探究
2. 如图，点 A 和点 A′ 关于某条直线成轴对称，你能画出这条直线吗？
A A′
(1) 找出图形的任意一组对称点；
画图形的对称轴的画法：
(2) 连结对称点；
(3) 画出对称点所连线段的垂直平分线.
就可以得到该图形的对称轴.
结论：如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.
归纳总结
1.平面上的两条相交直线是轴对称图吗？如果是，它有几条对称轴？作图试试看.
解：是轴对称图形，对称轴有两条，是两直线夹角的平分线所在的直线(画图略).
随堂练习
【教材P120 练习 第1题】
2.把一张正方形纸对折两次，然后分别剪出下列图形.
解:(1)操作步骤如图①所示.
(2)操作步骤如图②所示.
【教材P120 练习 第2题】
3.图中的一些虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是？
②④⑥是图形的对称轴，①③⑤不是.
【教材P120 练习 第3题】
4.如图，已知△ABC ，利用尺规作图作出△ABC的边BC上的中线.
A
B
C
解：①作出线段BC的垂直平分线，交线段BC于点O；
②连接AO，线段AO即为△ABC的边BC 上的中线.
O
【教材P121 练习 第4题】
5.如图，已知△ABC ，利用尺规作图作出∠ABC的平分线.
A
B
C
O
【教材P121 练习 第5题】
1. 下列说法正确的是( )
D
A. 直角三角形一定不是轴对称图形
B. 角是轴对称图形，角平分线是它的对称轴
C. 线段是轴对称图形，它的对称轴是过该线段中点的任意一
条直线
D. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴
（第2题）
2. 如图，由5个“ ”和3个“ ”组成的图形
关于某条直线对称，该直线是( )
C
A. B. C. D.
（第3题）
3. 如图，在中， ,
.根据图中的尺规作图痕迹，下
列说法中错误的是( )
D
A. B.
C. D.
（第3题）
【点拨】由作图可知，是 的垂直平分线，
, ，故选项A,B正确，不符合
题意；由作图可知，平分 ，
，故选项C正
确，不符合题意； ,
， . ,
，故选项D错误，符合题意.故选D.
4. 如图所示，画出它们各自的对称轴.
【解】画对称轴如图.
5. 如图，在中，于点 .
（1）作的平分线，交于点,交于点 ;
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
【解】如图，射线 即为所求.
（2）在（1）的条件下，若 , ，求
的度数.
， ，
.
平分 ，
.
，
，
，
.
线段垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
如果两个图形关于某条直线对称，那么任何一对对称点所连线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.
轴对称图形与垂直平分线的联系

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