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江西南昌市莲塘第一中学2025-2026学年高二下学期4月数学纸质作业
一、单选题
1．已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．14
5．若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（ ）
A．180 B．112 C．16 D．48
7．设，，…，，…满足，，若对于任意的，都有，则（ ）
A．4030 B．4040 C．4050 D．4060
8．记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ）
A．96 B．98 C．100 D．102
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．数列是递减数列 B．当时，最大
C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为
10．已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则
11．已知正项数列的前项和为，则下面结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
三、填空题
12．已知等比数列的前n项和，且满足，则________．
13．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于______．
14．已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若也是公差为的等差数列，则的通项为__________.
四、解答题
15．已知数列为等差数列，且，公差；数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等差中项．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，且，求．
16．某牧场今年年初羊的存栏数为2000，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头羊.记该牧场今年年初羊的存栏数为，第年年初羊的存栏数为.
(1)求，的值；
(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(3)问该牧场第几年年初羊的存栏数超过3000？（参考数据：，）
17．设是正项数列，且其前项和为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前项和；
(3)令，记，求．
18．在数列中，且．
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)记数列的前n项和为，数列满足．
（ⅰ）求的通项公式；
（ⅱ）求；
（ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19．首项为正数的数列满足，．
(1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数；
(2)证明：若时，，都有；
(3)若对一切，都有，求的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得：
.
故选：B.
2．B
【详解】由题意，知.
故选：B
3．C
解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
4．B
【详解】由题意可得，
则，
由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15，
因此，正整数的可能取值有2、4、14.
5．B
【详解】数列为单调递增数列，且，，
，，即，
因为是关于n的单调递增函数，当时，
取得最小值．所以，
所以，
则．
6．B
【详解】设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，．
于是得，解方程组，得或，
所以这个正数数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，（舍），
所以这个数列的第五项为112.
7．C
【详解】
因为
所以
两式作差整理得
所以
因为，所以不恒为0
所以．
则，，，又，
所以
8．D
【详解】当时，，设，
当时，，则，
即，所以，
时取等，故D错误；
若，，且，，，
此时；
若，，且，，，
此时.
故A，B，C正确.
故选：D.
9．ABD
【详解】由，可得，
由，可得，即，又因为，所以.
因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列，
故A正确；
由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大，
故B正确；
由等差数列的前项和公式可知，，
，
所以使得成立的最小自然数，故C错误；
当时，；
当时，；
当时，，
.
因为，所以，
又因为，所以， 所以，
所以，所以在时为增函数，
所以数列中的最小项为，故D正确.
故选：ABD
10．ACD
【详解】由题意可知，且，，
故有且（否则若，则的符号会正负交替，这与，，矛盾），
也就是有或，
无论如何，数列是递增数列，故A正确，B错误；
对于C，若数列是递增数列，即，由以上分析可知只能，故C正确；
对于D，若数列是递增数列，显然不可能是，（否则的符号会正负交替，这与数列是递增数列，矛盾），
从而只能是，且这时有，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【详解】由题意，正项数列的前项和为，且．
对于A,是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，可得，故，A对；
对于B，，
所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，则，故，B正确；
对于C，由，
，
所以，即，
故以为首项，以为公差的等差数列，，
所以，所以，
所以，故C错误；
对于D，，当且仅当时，取等号，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故，故D正确．
12．3
【详解】由题意，等比数列的前n项和．
而，解得．
13．
【详解】设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益，三年总收益为；
若按三年定期存款，三年的总收益为3q．
为鼓励储户三年定期存款，应使，即．
故答案为：
14．an＝2或an
【详解】依题意，等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若数列也是公差为d的等差数列，
可得，
当n≠1时，可化为d2n2+（）n+（），
即，解得或者，
所以an＝2，或者an．
故答案为：an＝2或an．
15．(1)，
(2)
【详解】（1）因为，，是和的等差中项，是和的等差中项，
所以，
故，，
因为数列为等比数列，所以，
即，整理得，解得或.
因为，所以，
所以，，，
故，
等比数列的公比.
所以.
（2）由（1）可知，.
则，
所以
．
16．(1)2210，2331
(2)证明见解析，
(3)第9年
【详解】（1）由题意得，则，
，
．
（2）由题意可得，所以．
因为，所以，
所以是以1000为首项，为公比的等比数列，
则，即．
（3）由（2）得，则，即2，
两边取常用对数得，
所以，
则该牧场第9年年初羊的存栏数超过3000．
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，解得，
当且时，，
∴，
整理可得：，
∵，∴，∴，
∴数列以为首项，为公差的等差数列，
∴．
（2）∵，
∴．
（3）由（1）可得：，
所以．
18．(1)证明见解析，；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）.
【详解】（1）在数列中，且，则，，
所以数列是以1为公差的等差数列，，即.
（2）（ⅰ）当时，，即，
当时，由，
得，
两式相减，得，即，而满足上式，
所以的通项公式为.
（ⅱ）由（ⅰ）得，
则，
两式相减得，
所以.
（ⅲ），
当n为奇数时，由，得，
而数列递减，恒成立，则，即；
当n为偶数时，由，得，即，而数列递减，则，
所以实数的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)或
【详解】（1）证明：已知是奇数，假设是奇数，其中m为正整数，
则由递推关系得是奇数，
根据数学归纳法，对任何，都是奇数．
（2）证明：当时，左式，
右式，
又，
当时，成立，
则时，
．
根据数学归纳法，若时，，都有．
（3）解法一：由知，当且仅当或，
另一方面，若，则；若，则，
根据数学归纳法，，，；，．
综合所述，对一切都有的充要条件是或．
解法二：由，得，于是或，
，
又，，则所有的均大于0，因此与同号．
根据数学归纳法，，与同号．
因此，对一切都有的充要条件是或．
解法三（不动点法）：记，则，，于是为凸函数．
则不动点满足，则得到不动点方程，解得不动点，，
由对一切，都有得数列为递增，所以或，
又，故的取值范围或．

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