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四川省成都市武侯区2025-2026学年上学期九年级中考一诊数学试题
一、单选题
1．某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大
4．如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（ ）
A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换
6．某数学兴趣小组提出了这样一个问题：将一条长为的丝带剪成两段，并用剪下的每一段丝带围成一个正方形，要使围成的这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？若设剪下的其中一段丝带的长为，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率
C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率
D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率
8．已知正比例函数和反比例函数的图象相交于两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，则该反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，则的值为_____．
10．如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为_____．
11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______．
12．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）．
13．如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____．
三、解答题
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度．
16．【阅读理解】
有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色．
请根据该知识完成下列各题．
【问题解决】
现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．
(1)从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______；
(2)从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率．
17．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且．
(1)求k的值；
(2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积；
(3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标．
四、填空题
19．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为_____．
21．若，则m的值为____．
22．如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在内部，且与相交于点，若，则的长为_____．
23．定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．
五、解答题
24．“2025成都进口嘉年华”系列活动于2025年8月至11月举行，让市民深度感受“在成都·购全球”的便利．某商家以每千克20元购进一批进口榴莲，在销售初期，按每千克40元销售．为吸引更多顾客，该商家连续两次降价，且两次降价的百分率相同，最终售价为每千克32.4元．
(1)求每次降价的百分率；
(2)由于畅销，榴莲很快售完，该商家以同样的单价又购进一批，经过市场调研发现：当榴莲售价为每千克32元时，平均每天可售出300千克；售价每降低1元，平均每天可多售出25千克．商家要使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元，榴莲的售价应为每千克多少元？
25．如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G．
(1)求的值；
(2)当时．
i）如图1，若的面积是，求k的值；
ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点．
(1)连接，与一次函数的图象相交于点．
i）求点的坐标及的长；
ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值；
(2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D A A B B
1．D
本题考查根据三视图判断几何体．
根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形体特征进行判断即可．
【详解】
解：由于这个几何体的俯视图是“凸”形可知其底面是“凸”形，主视图和左视图都是长方形，因此这个几何体是．
故选：D．
2．C
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出其长是解题的关键．先依据菱形“对角线互相垂直平分”的性质，求出对角线一半的长度 ()，再在中用勾股定理算出菱形边长，最后根据菱形四边相等的性质，计算出周长为．
【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点，
∴
∵，
∴
在中：
∵菱形的四条边相等，
∴该菱形的周长是，
故选：C．
3．C
此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．
根据中心投影的特点即可得出答案．
【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小．
即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大．
故选：C．
4．D
本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理得到，即，求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
解得：．
故选：D．
5．A
本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可．
【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换．
故选：A．
6．A
本题考查了一元二次方程的应用，设一段丝带长为，则另一段为，每个正方形的边长等于其周长除以，面积等于边长的平方，面积之和为，然后列出方程，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：∵一段丝带长为，围成正方形，
∴边长为，面积为，
∵另一段为，
∴围成正方形，边长为，面积为，
∵面积之和为,
∴，
故选：．
7．B
本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可．
【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意；
、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意；
、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意；
、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下，
一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种，
所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意；
故选：．
8．B
本题考查了反比例函数图象的中心对称性．
根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，得出A，B两点的坐标，进而求出k的值．
【详解】解：设反比例函数为，
∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称．
又∵点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，
∴点A的纵坐标是，点B的横坐标是．
∴，．
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即．
故选：B．
9．
/
本题主要考查了比例的性质，根据题意得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
10．9
本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质，结合三角形面积计算公式，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴四边形的面积为：
．
故答案为：9．
11．k≤
根据根的判别式大于或等于零求解即可．
【详解】解：由题意得
=9-4k≥0，
解得k≤．
故答案为：k≤．
12．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴反比例函数在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
∵点，横坐标，，，
∴点在第三象限，点和在第一象限，
∴，，．
又∵在第一象限内，随的增大而减小，且，
∴．
综上所述，．
故答案为：．
13．
本题考查了黄金分割，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先由黄金分割的定义求出，由折叠得，，设，然后对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：∵点N是线段的黄金分割点，且，
∴，
由折叠得，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
14．(1)，
(2)，
本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
∴，
（2）解：
或
，
15．
本题主要考查的知识点是相似三角形的判定及性质(对应边成比例)在实际测高中的应用．通过作辅助线构建直角三角形，证明三角形相似，根据对应边成比例列算式求出未知线段长度，进而计算目标高度．
【详解】如图，过点作，分别交，于点，，
由题意可得：，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：旗杆的高度为．
16．(1)
(2)
本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液），列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵四个瓶子中随机选取一瓶，紫色石蕊溶液只有A，
∴紫色石蕊溶液的概率是：；
（2）解：∵分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表可知，共有12种等可能出现的结果，
∵只有，混合时，紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，
∴混合后变红的概率为.
17．(1)证明见解析；
(2)的长为，的长为．
本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证；
（）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴ ；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍），
∴的长为，的长为．
18．(1)
(2)；
(3)或或
此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
（1）设线段交轴于点，得到，求出的解析式为，求得，利用待定系数法即可求出答案；
（2）求出和，得到，即可求出答案；
（3）分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，设线段交轴于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则
,
解得，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵对应点D落在轴上，
∴向下平移4个单位，
∵的对应点为点，
∴点的纵坐标为
∵点C落在反比例函数的图象上，
∴
∴点向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点C，
∴，
∴，
∴四边形的面积为；
（3）解：设，，
直线的解析式为，
当点在第三象限时，
当点是的中点时，，
∴，
解得或（舍去）
∴，
当时，，，
∴
∴
∴，
解得（舍去）或
∴，
当点在第一象限时，
当时，，，
∴
∴
∴，
解得或（舍去）
∴，
当点是的中点时，，
∴，
解得（舍去）或，
∴，此时点E在直线的上方，不符合题意，舍．
综上可知，或或
19．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值．
根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故答案为：．
20．
本题考查反比例函数系数的几何意义，含角直角三角形的性质，矩形的性质，在中，利用含角直角三角形的性质求出和的长度，结合得到的长度，再根据矩形性质和三角函数求出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式，即可求出值．
【详解】解：过点作轴，垂足为点，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵顶点D在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：．
21．或
本题主要考查了解分式方程、解一元二次方程等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．由得，代入求解，并检验分母不为零．
【详解】由，得．
代入，
分子，
所以，
即．
两边乘以2，得．
所以，
整理得，
因式分解得，
解得或．
检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足．
故答案为：或．
22．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角度关系推导及线段长度计算等几何综合知识．该解题过程先通过截取并作构造辅助线，再利用角度关系推导出，结合相似三角形的性质求出和的长度，接着通过等腰三角形三线合一及全等三角形的性质得到，最后代入线段长度计算出的值．
【详解】解：截取，作于点，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴由，得，
∴，
∴由，得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
则的长为，
故答案为：．
23．或
本题主要考查了反比例函数的图形变换、一次函数解析式的求解，以及函数图象交点的分析．先根据“位图形”的定义，推导双曲线的“位图形”为双曲线 ；再分析的边()，通过联立双曲线与边的直线方程，分和，结合“交点个数”的临界情况(如双曲线过顶点、与边相切)求出关键值；最后根据“有两个交点”的条件，确定的取值范目．
【详解】解：设双曲线上任意一点为，则，
将横、纵坐标分别乘以，得到对应点，
令，，则，代入得：
，即，
边： 设解析式为，代入得：
，解得，
∴边解析式为，
同理，得：边：从到，解析式为；
边：从到，解析式为；
情况一：
双曲线的“位图形”在第一象限，
∴联立方程，得，
整理，得，
∴，
解得：，
情况二：，
∴“k位图形”的点在第三象限,
∵点，
将点的坐标代入“位图形”中，
∴得到一个关于的方程，
解得：或（舍去），
∵“位图形”与的边有两个交点，
结合前面求出的两个临界值：当时，“位图形”经过点，与的边有两个交点；
∴，
当时，“位图形”与直线相切，也只有一个交点
∴与的边有两个交点，
故答案为：或．
24．(1)
(2)榴莲的售价应为每千克30元
此题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
（1）设每次降价的百分率为x，根据“经过两次降价后，每千克售价为32.4元”列出方程求解即可；
（2）设这批榴莲每千克应降价y元，根据“商城要想使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元”列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，依题意得，
解得，（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率是．
（2）解：设这批榴莲每千克应降价y元；
根据题意得：
整理得：
解得：，（舍去）
∴这批榴莲每千克应降价2元，
则这批榴莲每千克的售价为：（元）
答：这批榴莲的售价应为每千克为30元．
25．(1)
(2)i）；ⅱ）
（1）由平行四边形的性质可得，则可证明，证明得到，据此可得答案；
（2）：i）如图所示，连接，由相似三角形的性质得到，，同理可得，则；可求出，证明；求出，则，，由勾股定理得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可；ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，证明，得到；设，证明，可推出；设，则，由勾股定理可得，即，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：i）如图所示，连接，
由（1）可得，
∴，，
∴同理可得，
∵的面积是8，
∴；
∵点E是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，
由（1）（2）得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
设，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
设，则，
由（2）i）得，则（平行线的性质），
在和中，由勾股定理得
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
26．(1)的长为，；
(2)满足条件的点的坐标为或．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点．
【详解】（1）解：(i)设直线的解析式为，
∵点的坐标为，代入解析式，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立与一次函数，得
，
解得，
所以点的坐标为，
∴的长为，
(ii)如图，
∵四边形是矩形，
∴， ，
∵直线的表达式为，
∴设直线的表达式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
联立，
解得或，
∵点在直线的上方，
∴点的坐标为，
∴，
∴；
（2）解：存在点使得为等边三角形，
理由如下：设直线为直线，
令得，，令得，，
∴，，
∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰，
∴直线与轴夹角为，
∵直线的解析式为，
∴直线是两坐标轴的夹角平分线，
∴，，
过点作点，
∴，
设点，设直线的表达式为，
∴，
联立，
解得，
∴，
则，
∴，即，
①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点，
∴，
∴在中，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴点即为点，
∵是等边三角形，轴，
∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即，
∴设，则，
∵点在双曲线上，
∴，
解得(舍去)，
∴，
②当点在直线上方时，
∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上，
∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意，
如图，连，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标，
∴将代入中得，
∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．

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