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【期末冲刺】填空题60题满分必刷题
(23~26章 知识梳理+针对练习) 2026年沪教版数学八年级下册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
四边形 —— 掌握多边形内角和、对角线、截角问题；理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，能运用全等、中位线、垂直平分线解决边角计算；理解筝形等新定义，会利用三线合一、勾股定理求线段长及最值。
平面直角坐标系 —— 熟练运用坐标的平移、对称、距离公式，能根据已知点建立坐标系确定位置，理解新定义（如关联点、p值），会利用几何变换（平移、轴对称）求最短路径。
一次函数 —— 掌握一次函数的图象与性质（k,b的符号），能根据图象解不等式、求交点、分析行程问题、分段计费，会利用待定系数法求解析式，结合新定义解决光反射等实际应用。
反比例函数 —— 理解反比例函数定义、图象与性质（k的几何意义、增减性），能结合实际情景（压强、电流、密度等）建立反比例模型，解决最值、比较大小问题，会利用待定系数法求解析式。
一次函数与反比例函数综合 —— 能综合一次函数与反比例函数解决交点、面积、不等式问题，利用平移、对称构造辅助线，掌握数形结合与方程思想。
核心思想 —— 数形结合、分类讨论、转化思想、待定系数法、面积分割法、极端位置法在填空题中的综合运用。
核心：概念精准 · 性质熟练 · 模型识别 · 快速计算。
知识梳理 · 核心知识点
※ 四边形
多边形： 内角和 ，外角和360°，对角线总数 。从n边形一个顶点可引 条对角线，分割成 个三角形。
平行四边形： 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：边、角、对角线条件。面积=底×高。过对角线交点的直线构造全等三角形，利用垂直平分线可转化周长。
矩形： 四个角是直角，对角线相等且互相平分。折叠问题中折痕是对应点连线的垂直平分线，常结合轴对称求角度。
菱形、正方形： 四边相等，对角线垂直平分；正方形具有矩形和菱形的所有性质。常利用三线合一、勾股定理求边长。
筝形（新定义）： 两组邻边分别相等的凸四边形。对角线垂直，面积=对角线乘积的一半。
中位线与重心： 三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半；重心分中线2:1，常结合直角三角形斜边中线求线段长。
※ 平面直角坐标系
点的坐标： 横坐标 ，纵坐标 ；点到x轴距离，到y轴距离。
对称： 关于x轴对称 ，关于y轴对称 ，关于原点对称 。
平移： 左减右加（x），下减上加（y）。平移过程中对应点坐标变化一致。
两点间距离公式： ；曼哈顿距离 。
新定义问题： 理解定义并转化为代数方程或不等式，如“k关联点”、“p值”等，常需分类讨论。
※ 一次函数
正比例函数： （），过原点。一、三象限，随增大而增大；二、四象限，随增大而减小。
一次函数： ，决定方向，决定与y轴交点。
图象与不等式： 一次函数图象在x轴上方对应，在下方对应；两直线交点横坐标是方程的解。
实际应用： 行程问题（图象斜率表示速度）、分段计费、利润等。常结合新定义（如光线反射）求参数范围。
※ 反比例函数
定义： （），也可写作 。
图象与性质： 双曲线，关于原点对称。在一、三象限，每一象限内随增大而减小；在二、四象限，每一象限内随增大而增大。
的几何意义： 双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为，三角形面积为。
实际应用： 压强与面积、电流与电阻、密度与体积等成反比例，常与一次函数结合成分段函数。
※ 一次函数与反比例函数综合
交点： 联立方程求解，常用代入消元法得到一元二次方程。
面积问题： 利用坐标轴上的点构造三角形，用铅垂高法或分割法求面积，常利用平行线等面积转化。
不等式解集： 根据图象上下位置直接写出，注意分象限讨论。
平移与对称： 利用轴对称、平移构造最短路径，求参数或最值。
※ 知识总结表
模块 核心内容 常用公式/结论
四边形 多边形内角和、对角线；平行四边形性质；矩形折叠；中位线、重心 ；对角线数；中位线；重心分中线2:1
平面直角坐标系 坐标平移、对称、距离、新定义 平移：左减右加，下减上加；曼哈顿距离
一次函数 图像与性质、行程、分段计费、新定义 ，决定增减，决定截距；交点坐标即方程解
反比例函数 定义、图像、k的几何意义、实际应用 ，一三象限，二四象限；为矩形面积
一次与反比例综合 交点、面积、不等式、平移对称 联立方程；铅垂高；图象法解不等式
满分必刷 · 针对性练习
【练习1】四边形（对应第1-18题）
1．（2026春 宝山区校级月考）已知从六边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成n个三角形，则m﹣n＝　 　 ．
2．（2026春 虹口区校级月考）如图，在四边形纸片ABCD中，将∠D沿折痕MN折叠后，恰好有MD′∥AB，ND′∥BC．若∠A＝65°，∠C＝140°，则∠D＝　 　 °．
3．（2026春 虹口区校级月考）如图，已知∠E＝32°，则∠A+∠B+∠C+∠D＝　 　 °．
4．（2026春 上海校级期中）在四边形ABCD中，两条对角线交于点O，已知BO＝DO，AC＝6cm，则当AO＝　 　 cm时，四边形ABCD是平行四边形．
5．（2026春 闵行区校级期中）如图，已知 ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接CE，则△CDE的周长是　 　 ．
6．（2026春 杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，过点O作EF⊥BD分别交BC、AD于点E、F，若∠ADB＝30°，则EF的长为　 　 ．
7．（2026春 普陀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接DE．已知△DCE的周长是10cm，则平行四边形ABCD的周长是　 　 cm．
8．（2026春 龙华区校级期中）如图，在 ABCD中，E为BC中点，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝8，AD＝10，则AF＝　 　 ，△DEF的面积为　 　 ．
9．（2026春 南关区期中）如图，BD是 ABCD的对角线，分别过点A、C作AE⊥BD于点E、CF⊥BD于点F，且BE＝EF＝FD，连结AF、CE．给出下面四个结论：
①AE∥CF；
②四边形AECF是平行四边形；
③∠ABE＝∠DEC；
④若AB＝5，AE＝4，则AB与CD之间的距离为．
上述结论中，正确结论的序号有　 　 ．
10．（2026春 崇明区期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为　 　 ．
11．（2025秋 二七区期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形ABCD中，AD＝8，AB＝9，点M为AD的中点，点N在AB上，且AN＝5，点P，Q分别为BC，CD上一个动点，连接MN，NP，PQ，MQ，MP，若四边形MNPQ为筝形，则MP的长为 　 　 ．
12．（2026春 虹口区校级期中）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE：∠EAD＝3：2，则∠CAE的度数是　 　 ．
13．（2025秋 普陀区期末）有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝　 　 ．
14．（2026春 普陀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝5，BC＝13，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　 　 ．
15．（2026春 城中区期中）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，BF平分∠ABC，若AB＝6，BC＝10，EF的长为　 　 ．
16．（2026春 江北区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为 　 　 ．
17．（2025秋 天元区校级期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD＝BC，∠A＝60°，∠ABC＝86°，则∠PEF的度数是　 　 ．
18．（2026春 杨浦区期中）如图在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AC＝8，则BG的长为 　 　 ．
【练习2】平面直角坐标系（对应第19-25题）
19．（2026春 嵩明县期中）若点P（a﹣7，4）与点Q（1﹣a，﹣3）的连线平行于y轴，则a的值为　 　 ．
20．（2026春 红桥区期中）在平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣2，3），C（4，﹣1），将线段AB平移得到线段CD，其中点A的对应点是C，则点B的对应点D的坐标为 　 　 ．
21．（2026春 西城区校级期中）如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示金水桥的点的坐标为（1，﹣2），表示本仁殿的点的坐标为（3，﹣1），则表示乾清门的点的坐标是　 　 ．
22．（2026春 青羊区校级期中）定义：在平面直角坐标系中，点P（x1，y1）、点Q（x2，y2），若k（x1﹣x2）＝y2﹣y1（x1﹣x2≠0）时称点Q为点P的“k关联点”，其中k为常数．已知直线l上存在两个不同的点A和B，它们都是点P的“1关联点”，且线段AB的中点为（1，2）．若AB＝4，则A点的坐标为　 　 ．
23．（2026春 武昌区校级期中）在平面直角坐标系中，对任意一点A（x，y），点A的p值p（A）的定义如下：；比如点B（3，3），p（B）＝12，点C（﹣5，4），p（C）＝4．如图，正方形ABCD，A（﹣2，5），B（﹣2，﹣1），点C、D在y轴右侧，点G为正方形边上的点，现有一个实数a，1＜a＜4，当p（G）＝a时，这样的点G有　 　 个．
24．（2026 乌鲁木齐一模）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　 　 ．
25．（2024春 思明区期末）在平面直角坐标系xOy中，点P从点（﹣1，3）出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；同时，点Q从点（7，﹣1）出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动．设运动时间为t，当P，Q两点间的距离最短时，t的值为 　 　 ．
【练习3】一次函数（对应第26-42题）
26．（2026春 普陀区期中）已知一次函数y＝4x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，5），则方程组的解是　 　 ．
27．（2026春 上海校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞1的解集为　 　 ．
28．（2026春 普陀区校级期中）一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，如果0＜kx+b＜mx+n，根据图象可得x的取值范围为　 　 ．
29．（2025秋 兰州期末）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ．
30．（2026春 牟平区期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点A（﹣2，c），若直线y＝﹣x也经过点A，则关于x，y的方程组的解是　 　 ．
31．（2026春 罗湖区校级期中）如图，直线和直线相交于点（2，2），当时，x的取值范围　 　 ．
32．（2026春 海淀区校级期中）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内且满足m+n＝3，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，给出下面四个结论：①当x＜0时，y＜b；②当x＜2时，y＜2k+b；③当k≥3时，b≥﹣6；④当b≥8时，，上述结论中，正确结论的序号有　 　 ．
33．（2026春 涪城区校级月考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，y4＝kx+b4的图象相交于点P．嘉嘉根据图象得到如下结论：①在一次函数y1＝k1x+b1中，y的值随着x值的增大而增大；②在一次函数y3＝k3x+b3中，y的值随着x值的增大而增大；③方程组与的解相同，都是；④b1＜b2＜b3＜b4；⑤x从0开始逐渐增大时，函数y2＝k2x+b2的值比函数y1＝k1x+b1的值先到达10．其中正确的结论是　 　 ．（填序号）
34．（2026春 德化县期中）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，求乙车出发后　 　 小时与甲车相距15千米．
35．（2026春 仓山区校级期中）小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）近似是高度h（m）的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是9N，则装置高度h的最大值为　 　 m．
36．（2026春 思明区校级期中）A、B两地相距4000米，甲货车从A地匀速开往B地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从B地沿同一公路出发匀速开往A地，到达A地后停止，而甲继续开往B地，到达B地后才停止．两车之间的距离y（米）与甲货车出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF﹣FG所示：
①甲的速度为100米/分钟；
②乙的速度为140米/分钟；
③乙货车从B地到A地用的时间为分钟；
④当乙到达A地时，甲离B地的距离为米．
上述说法正确的是　 　 ．
37．（2026 莱芜区模拟）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了　 　 小时．
38．（2026春 福田区校级期中）在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．溶解氧浓度由直线l1：y＝x+1描述，污染物浓度由直线l2：y＝kx+b（k≠0）描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时x范围是　 　 ．
39．（2026春 瑞安市月考）已知甲、乙两地相距60km，小瑞、小安两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小瑞骑自行车，小安骑摩托车．如图，OA，BC分别表示小瑞、小安离开甲地的路程s（km）与小瑞离开甲地的时间t（h）的函数关系的图象．根据图中信息，当小瑞离开甲地　 　 h时，小安追上小瑞．
40．（2026 槐荫区一模）如图A，B两地相距50km，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 　 　 时间就追上甲．
41．（2026 济南一模）近年新能源汽车越来越受到人们的追捧，为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线ABC，用普通充电器时，汽车电池电量y2（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段AD，若该汽车电池电量从10%充至90%，则快速充电器比普通充电器少 　 　 h．
42．（2026春 北京月考）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，ON是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数y＝﹣x+3（0≤x≤3）与y＝x﹣3（x≥3）构成的图象，可看作从y轴上点P（0，3）发出的一束光经x轴上的点M（3，0）反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从y轴上点P（0，4）发出一束光线，经过y轴上一点M（m，0）反射后形成的“反射函数线”．
（1）若反射光线过点Q（5，6），则点M的坐标为　 　 ；
（2）若（2，y1），（3，y2），（5，y3）均为“反射函数线”上的点，且y2＜y1＜y3，则m的取值范围是　 　 ．
【练习4】反比例函数（对应第43-53题）
43．（2025秋 金台区校级期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是　 　 ．
44．（2026 大足区模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为　 　 ．
45．（2026 衡阳模拟）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3．则y1，y2，y3的大小关系是　 　 ．（用“＜”连接）
46．（2025 山丹县校级三模）反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为 　 　 ．（用“＜”连接）
47．（2026 中阳县模拟）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝8m3时，气体的密度是　 　 kg/m3．
48．（2026 西安模拟）真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于40g/cm3时，其体积是　 　 cm3．
49．（2025秋 象州县期末）为预防冬季流感，某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．经测量，药物在8分钟时燃烧完毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克．研究表明，当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进入教室．那么从消毒开始，至少需要经过　 　 分钟后，学生才能回到教室．
50．（2026 秦淮区一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量y1（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图象如图所示．该产品的月供应量y2（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为　 　 元．
51．（2026 成武县模拟）莱阳梨亦称茌梨，因产于莱阳市而得名，是山东省的著名特产之一．莱阳梨表面粗糙，有褐色锈斑．果肉质地细腻，汁水丰富，口感清脆香甜，是梨中的上品．水果销售商为提高果农筛选莱阳梨的效率，买了某研究部门研制的如图1所示机械筛选设备．电源电压不变，R0为定值电阻，R为压敏电阻，阻值随压力大小的变化关系如图2所示．一次筛选中，研究部门设计了当经过压力检测区上的莱阳梨质量不大于100g时，机械装置通过传感器操作启动，将质量不达标的莱阳梨推出传送带，实现自动筛选功能（g取10N/kg，例如，物体质量为100g时，压力F＝G＝mg＝0.1kg×10N/kg＝1N）．当机械装置实现自动筛选功能时，压敏电阻R的范围为　 　 ．
52．（2026春 台江区校级月考）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．当V≤5m3时，则气体的密度ρ　 　 2kg/m3．（填“≤或≥或＝”）
53．（2026 碑林区校级一模）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f（度）与车速v（km/h）成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为100km/h时，视野角度f为 　 　 度．
【考点4】反比例函数与一次函数综合（对应第54-60题）
54．（2026 福田区二模）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为　 　 ．
55．（2026 启东市模拟）如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图象经过点D，则k的值为 　 　 ．
56．（2026 沛县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（m，n），则代数式的值为　 　 ．
57．（2025秋 中山市期末）如图，直线y＝﹣3x+3交坐标轴于点A，B．点C在反比例函数y（x＞0）的图象上，且BC⊥AB，连接AC交反比例函数图象于点D．若D恰好为AC的中点．则k的值为　 　 ．
58．（2026春 兴庆区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．根据图象写出当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围　 　 ．
59．（2026 惠山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C（2，6），B为线段AC的中点．若点D为线段AC上的一个动点．过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为　 　 ．
60．（2026 南京一模）如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于点A、B，点C在x轴上，若OB＝AC，△OAC的面积是6，则k的值为　 　 ．【期末冲刺】填空题60题满分必刷题
(23~26章 知识梳理+针对练习) 2026年沪教版数学八年级下册
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四边形 —— 掌握多边形内角和、对角线、截角问题；理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，能运用全等、中位线、垂直平分线解决边角计算；理解筝形等新定义，会利用三线合一、勾股定理求线段长及最值。
平面直角坐标系 —— 熟练运用坐标的平移、对称、距离公式，能根据已知点建立坐标系确定位置，理解新定义（如关联点、p值），会利用几何变换（平移、轴对称）求最短路径。
一次函数 —— 掌握一次函数的图象与性质（k,b的符号），能根据图象解不等式、求交点、分析行程问题、分段计费，会利用待定系数法求解析式，结合新定义解决光反射等实际应用。
反比例函数 —— 理解反比例函数定义、图象与性质（k的几何意义、增减性），能结合实际情景（压强、电流、密度等）建立反比例模型，解决最值、比较大小问题，会利用待定系数法求解析式。
一次函数与反比例函数综合 —— 能综合一次函数与反比例函数解决交点、面积、不等式问题，利用平移、对称构造辅助线，掌握数形结合与方程思想。
核心思想 —— 数形结合、分类讨论、转化思想、待定系数法、面积分割法、极端位置法在填空题中的综合运用。
核心：概念精准 · 性质熟练 · 模型识别 · 快速计算。
知识梳理 · 核心知识点
※ 四边形
多边形： 内角和 ，外角和360°，对角线总数 。从n边形一个顶点可引 条对角线，分割成 个三角形。
平行四边形： 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：边、角、对角线条件。面积=底×高。过对角线交点的直线构造全等三角形，利用垂直平分线可转化周长。
矩形： 四个角是直角，对角线相等且互相平分。折叠问题中折痕是对应点连线的垂直平分线，常结合轴对称求角度。
菱形、正方形： 四边相等，对角线垂直平分；正方形具有矩形和菱形的所有性质。常利用三线合一、勾股定理求边长。
筝形（新定义）： 两组邻边分别相等的凸四边形。对角线垂直，面积=对角线乘积的一半。
中位线与重心： 三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半；重心分中线2:1，常结合直角三角形斜边中线求线段长。
※ 平面直角坐标系
点的坐标： 横坐标 ，纵坐标 ；点到x轴距离，到y轴距离。
对称： 关于x轴对称 ，关于y轴对称 ，关于原点对称 。
平移： 左减右加（x），下减上加（y）。平移过程中对应点坐标变化一致。
两点间距离公式： ；曼哈顿距离 。
新定义问题： 理解定义并转化为代数方程或不等式，如“k关联点”、“p值”等，常需分类讨论。
※ 一次函数
正比例函数： （），过原点。一、三象限，随增大而增大；二、四象限，随增大而减小。
一次函数： ，决定方向，决定与y轴交点。
图象与不等式： 一次函数图象在x轴上方对应，在下方对应；两直线交点横坐标是方程的解。
实际应用： 行程问题（图象斜率表示速度）、分段计费、利润等。常结合新定义（如光线反射）求参数范围。
※ 反比例函数
定义： （），也可写作 。
图象与性质： 双曲线，关于原点对称。在一、三象限，每一象限内随增大而减小；在二、四象限，每一象限内随增大而增大。
的几何意义： 双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为，三角形面积为。
实际应用： 压强与面积、电流与电阻、密度与体积等成反比例，常与一次函数结合成分段函数。
※ 一次函数与反比例函数综合
交点： 联立方程求解，常用代入消元法得到一元二次方程。
面积问题： 利用坐标轴上的点构造三角形，用铅垂高法或分割法求面积，常利用平行线等面积转化。
不等式解集： 根据图象上下位置直接写出，注意分象限讨论。
平移与对称： 利用轴对称、平移构造最短路径，求参数或最值。
※ 知识总结表
模块 核心内容 常用公式/结论
四边形 多边形内角和、对角线；平行四边形性质；矩形折叠；中位线、重心 ；对角线数；中位线；重心分中线2:1
平面直角坐标系 坐标平移、对称、距离、新定义 平移：左减右加，下减上加；曼哈顿距离
一次函数 图像与性质、行程、分段计费、新定义 ，决定增减，决定截距；交点坐标即方程解
反比例函数 定义、图像、k的几何意义、实际应用 ，一三象限，二四象限；为矩形面积
一次与反比例综合 交点、面积、不等式、平移对称 联立方程；铅垂高；图象法解不等式
满分必刷 · 针对性练习
【练习1】四边形（对应第1-18题）
1．（2026春 宝山区校级月考）已知从六边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个六边形分成n个三角形，则m﹣n＝　﹣1　 ．
【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）；组成的三角形的个数为（n﹣2），分别求出m、n的值即可得出m﹣n．
【解答】解：多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3），组成的三角形的个数为（n﹣2）”可知，
故从六边形的一个顶点出发的对角线共有6﹣3＝3条，分成6﹣2＝4个三角形，
则m＝3，n＝4，
所以m﹣n＝3﹣4＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（n﹣3）及组成的三角形的个数为（n﹣2），掌握规律能轻松快速解答本题．
2．（2026春 虹口区校级月考）如图，在四边形纸片ABCD中，将∠D沿折痕MN折叠后，恰好有MD′∥AB，ND′∥BC．若∠A＝65°，∠C＝140°，则∠D＝　77.5　 °．
【分析】根据平行线的性质可得∠DMD'＝65°，∠D'ND＝140°，再根据折叠及四边形的内角和即可得出答案．
【解答】解：∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A＝65°，∠C＝140°，
∴∠A＝∠DMD'＝65°，∠D'ND＝∠C＝140°，
由折叠可得∠D＝∠D'，
∴∠D（360°﹣∠DMD'﹣∠D'ND）
（360°﹣65°﹣140°）
155°
＝77.5°．
故答案为：77.5．
【点评】本题主要考查多边形的内角与外角及平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3．（2026春 虹口区校级月考）如图，已知∠E＝32°，则∠A+∠B+∠C+∠D＝　212　 °．
【分析】由∠A+∠B＝∠AFE＝∠E+∠EGF，∠C+∠D＝∠DGE＝∠E+∠EFG，得∠A+∠B+∠C+∠D＝∠E+∠EGF+∠E+∠EFG＝32°+180°＝212°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠A+∠B＝∠AFE＝∠E+∠EGF，∠C+∠D＝∠DGE＝∠E+∠EFG，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝∠E+∠EGF+∠E+∠EFG，
∵∠E＝32°，∠EGF+∠E+∠EFG＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝32°+180°＝212°，
故答案为：212．
【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键．
4．（2026春 上海校级期中）在四边形ABCD中，两条对角线交于点O，已知BO＝DO，AC＝6cm，则当AO＝　3　 cm时，四边形ABCD是平行四边形．
【分析】已知BO＝DO，当时，四边形ABCD是平行四边形，据此即可解答．
【解答】解：在四边形ABCD中，两条对角线交于点O，
当AO＝3cm时，
CO＝AC﹣AO＝6﹣3＝3（cm），
∴AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：3．
【点评】本题考查平行四边形的性质，正确进行计算是解题关键．
5．（2026春 闵行区校级期中）如图，已知 ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接CE，则△CDE的周长是　6　 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD+CD＝6，根据垂直平分线的性质可知△CDE的周长＝AD+CD．
【解答】解：已知 ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AD+CD＝6，
由题意可得：点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查平行四边形的性质，正确进行计算是解题关键．
6．（2026春 杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，过点O作EF⊥BD分别交BC、AD于点E、F，若∠ADB＝30°，则EF的长为　　 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到，可证明△OAF≌△OCE（AAS）得到EF＝2OF，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出OF的长即可得到答案．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，
∴AD∥BC，，
∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC，
∴△OAF≌△OCE（AAS），
∴OF＝OE，
∴EF＝2OF；
∵EF⊥BD，
∴∠FOD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴DF＝2OF，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
7．（2026春 普陀区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接DE．已知△DCE的周长是10cm，则平行四边形ABCD的周长是　20　 cm．
【分析】由平行四边形的性质推出OB＝OD，AD＝BC，AB＝CD，由线段垂直平分线的性质推出BE＝DE，得到△DCE的周长＝DC+BC＝10cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD＝BC，AB＝CD，
∵OE⊥BD，
∴OE垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴△DCE的周长＝DC+CE+DE＝DC+CE+BE＝DC+BC＝10cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（DC+BC）＝20（cm）．
故答案为：20．
【点评】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
8．（2026春 龙华区校级期中）如图，在 ABCD中，E为BC中点，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝8，AD＝10，则AF＝　6　 ，△DEF的面积为　12　 ．
【分析】由勾股定理求出AF6，延长DE和AB交于G，判定△BEG≌△CED（AAS），得到EG＝ED＝5，求出DG＝2DE＝10，由勾股定理求出FG6，求出△DFG的面积DF FG＝24，即可得到△DEF的面积．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
∵AD＝10，DF＝8，
∴AF6，
延长DE和AB交于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠G＝∠CDE，∠EBG＝∠C，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
∴△BEG≌△CED（AAS），
∴EG＝ED＝5，
∴DG＝2DE＝10，
∵DF⊥AB于点F，
∴∠DFG＝90°，
∵DF＝8，
∴FG6，
∴△DFG的面积DF FG6×8＝24，
∵DE＝EG，
∴△DEF的面积＝△DFG面积的一半＝12．
故答案为：6，12．
【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由勾股定理求出AF的长，判定△BEG≌△CED（AAS）．
9．（2026春 南关区期中）如图，BD是 ABCD的对角线，分别过点A、C作AE⊥BD于点E、CF⊥BD于点F，且BE＝EF＝FD，连结AF、CE．给出下面四个结论：
①AE∥CF；
②四边形AECF是平行四边形；
③∠ABE＝∠DEC；
④若AB＝5，AE＝4，则AB与CD之间的距离为．
上述结论中，正确结论的序号有　①②③　 ．
【分析】先证明AE∥CF，再证明四边形AECF是平行四边形，进而证明∠ABE＝∠DEC，然后由勾股定理求出BE＝3，则BD＝9，进而由平行四边形的面积求出AB与CD之间的距离，即可解决问题．
【解答】解：①∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故②正确；
③∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵BE＝EF，AE⊥BD，
∴AB＝AF，
∴∠ABE＝∠AFB，
∴∠ABE＝∠DEC，故③正确；
④∵∠AEB＝90°，AB＝5，AE＝4，
∴BE3，
∵BE＝EF＝FD＝3，
∴BD＝3BE＝9，
∵AE⊥BD，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2BD AE＝BD AE＝9×4＝36，
设AB与CD之间的距离为h，
∴S平行四边形ABCD＝AB h＝36，
∴h，
即AB与CD之间的距离为，故④不正确；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．（2026春 崇明区期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为　　 ．
【分析】由正方形的性质得出∠DAF＝∠B＝90°，BC＝AB＝AD＝6，由E是BC的中点，得出BE＝3，由勾股定理得出，证明△ADF≌△BAE（ASA），即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠DAF＝∠B＝90°，BC＝AB＝AD＝6，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝3，
∴，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD+∠BAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE，
∴△ADF≌△BAE（ASA），
∴．
故答案为：3．
【点评】本题考查正方形的性质，正确进行计算是解题关键．
11．（2025秋 二七区期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形ABCD中，AD＝8，AB＝9，点M为AD的中点，点N在AB上，且AN＝5，点P，Q分别为BC，CD上一个动点，连接MN，NP，PQ，MQ，MP，若四边形MNPQ为筝形，则MP的长为 　或9　 ．
【分析】依题意得AM＝DM＝4，AM＝BN＝4，再分两种情况讨论如下：①当MN＝PN，MQ＝PQ时，连接NQ，先由勾股定理求出MN，证明Rt△AMN和Rt△BNP全等得∠1＝∠2，MN＝NP，由此可证△MNP是等腰直角三角形，然后由勾股定理可求出MP长；②当MN＝MQ，PN＝PQ时，连接NQ交MP于点O，则MP是线段NQ的垂直平分线，证明Rt△AMN和Rt△DMQ全等得AN＝DQ＝4，证明四边形ADQN是矩形得∠ANQ＝∠DQN＝90°，再证明四边形MOQD是矩形得OQ＝MD＝4，然后证明四边形POQC是矩形得PC＝OQ＝DM＝4，进而可证明四边形DMPC是矩形得MP＝CD＝9，综上所述即可得出MP的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AD＝8，AB＝9，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝9，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，
∵点M是AD的中点，
∴AM＝DMAD＝4，
∵AN＝5，
∴BN＝AB﹣AN＝9﹣5＝4，
∴AM＝BN＝4，
当四边形MNPQ为筝形时，有以下两种情况：
①当MN＝PN，MQ＝PQ时，连接NQ，如图2所示：
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AMN和△BNP都是直角三角形，
在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN，
在Rt△AMN和Rt△BNP中，
，
∴Rt△AMN≌Rt△BNP（HL），
∴∠1＝∠2，MN＝NP，
在Rt△AMN中，∠1+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠MNP＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴△MNP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：MPMN；
②当MN＝MQ，PN＝PQ时，连接NQ交MP于点O，如图2所示：
∴MP是线段NQ的垂直平分线，
∴ON＝OQ，∠MOQ＝∠MON＝∠POQ＝∠PON＝90°，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AMN和△DMQ都是直角三角形，
在Rt△AMN和Rt△DMQ中，
，
∴Rt△AMN≌Rt△DMQ（HL），
∴AN＝DQ＝5，
∵AB∥CD，
∴四边形ADQN是平行四边形，
又∵∠D＝90°，
∴平行四边形ADQN是矩形，
∴∠ANQ＝∠DQN＝90°，
∴∠BNQ＝∠CQN＝90°，
∵∠D＝∠DQN＝∠MOQ＝90°，
∴四边形MOQD是矩形，
∴OQ＝MD＝4，
∵∠C＝∠CQN＝∠POQ＝90°，
∴四边形POQC是矩形，
∴PC＝OQ＝DM＝4，
∵AD∥BC，
∴四边形DMPC是平行四边形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形DMPC是矩形，
∴MP＝CD＝9，
综上所述：
当四边形MNPQ为筝形，则MP的长为或9．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解箏形的定义，熟练掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
12．（2026春 虹口区校级期中）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE：∠EAD＝3：2，则∠CAE的度数是　18°　 ．
【分析】由四边形ABCD是矩形，则∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，根据∠BAE：∠EAD＝3：2，得∠BAE＝54°，∠EAD＝36°，又AE⊥BD，则∠BEA＝∠DEA＝90°，然后由三角形内角和定理得∠ABE＝∠OAB＝36°，最后由角度和差即可求解．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于O，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD（矩形的对角线相等），OA＝OC，OD＝OB（矩形的对角线互相平分），
∴OA＝OB，
∴∠ABE＝∠OAB，
∵∠BAE：∠EAD＝3：2，
∴，，
∵AE⊥BD，
∴∠BEA＝∠DEA＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠EAB＝∠OAB＝36°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠OAB＝54°﹣36°＝18°，
故答案为：18°．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
13．（2025秋 普陀区期末）有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝　40°或80°　 ．
【分析】当∠BPE＜∠B′PC时，根据|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，得到∠B′PC＝∠BPE+60°，根据折叠得到∠BPE＝∠B'PE，根据∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，即可求出∠BPE＝40°；当∠BPE＞∠B′PC，同理可以求出∠BPE＝80°，问题得解﹒
【解答】解：如图1，当∠BPE＜∠B′PC时，
∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，
∴∠B′PC﹣∠BPE＝60°，
即∠B′PC＝∠BPE+60°，
∵三角形BPE翻折得到三角形B′PE，
∴∠BPE＝∠B'PE，
∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，
∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE+60°）＝180°，
∴∠BPE＝40°；
如图2，当∠BPE＞∠B′PC时，
∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，
∴∠BPE﹣∠B′PC＝60°，
即∠B′PC＝∠BPE﹣60°，
∵∠BPE＝∠B'PE，
∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，
∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE﹣60°）＝180°，
∴∠BPE＝80°；
故答案为：40°或80°．
【点评】本题考查了角的计算等知识，绝对值的化简，一元一次方程的应用等知识，根据题意画出图形，进行分类讨论是解题关键﹒
14．（2026春 普陀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝5，BC＝13，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　　 ．
【分析】由勾股定理求出AC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，且BA＝5，BC＝13，
∴BC12，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2026春 城中区期中）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，BF平分∠ABC，若AB＝6，BC＝10，EF的长为　2　 ．
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE∥BC，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得∠DBF＝∠DFB，则可得DF＝DB＝3，进而可得EF＝2．
【解答】解：由题意可得：
DE∥BC，，
∵D是AB的中点，且 AB＝6，
∴，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝DB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的中位线的性质，正确进行计算是解题关键．
16．（2026春 江北区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为 　12　 ．
【分析】先证明EF＝5，继而得到DE＝6；再证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
【解答】解：∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴Rt△ACF中，，
∴DE＝1+5＝6；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
17．（2025秋 天元区校级期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD＝BC，∠A＝60°，∠ABC＝86°，则∠PEF的度数是　17°　 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到PE∥AD，PF∥BC，PE＝PF，根据平行线的性质和三角形外角定理得到∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠BEP+∠ABD+∠CBD＝∠BEP+∠ABC＝146°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵P是BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PE、PF分别是△ABD、
∴△BCD的中位线，
∴PEAD，PFBC，PE∥AD，PF∥BC，
∴∠BEP＝∠A＝60°，∠DPF＝∠CBD，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∵∠DPE＝∠BEP+∠ABD，
∠EPF＝∠DPE+∠DPF＝∠BEP+∠ABD+∠CBD＝∠BEP+∠ABC＝60°+86°＝146°，
∴∠PEF（180°﹣146°）＝17°．
故答案为：17°．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
18．（2026春 杨浦区期中）如图在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AC＝8，则BG的长为 　8　 ．
【分析】延长BG交AC于D，延长CG交AB于E，在GD的延长线上取一点F，使DF＝DG，根据三角形重心的定义得点D，E分别是AC，AB的中点，再根据直角三角形斜边中线性质得GD＝4，则GF＝8，再证明△ADF和△CDG全等得∠DAF＝∠DCG，则AF∥CG，据此可证明GE是△ABF的中位线，则BG＝GF，据此可得出答案．
【解答】解：延长BG交AC于D，延长CG交AB于E，在GD的延长线上取一点F，使DF＝GD，如图所示：
∵G是△ABC的重心，
∴点D，E分别是AC，AB的中点，
∴AD＝CD，
∵∠AG⊥GC，AC＝8，
∴GD为Rt△AGC斜边AC上的中点，
∴GDAC＝4，
∴GF＝2GD＝8，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴∠DAF＝∠DCG，
∴AF∥CG，
即AF∥GE，
∵点E是AB的中点，
∵GE是△ABF的中位线，
∴BG＝GF＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了重心，理解三角形的重心是三角形三边中线的交点是解决问题的关键．
【练习2】平面直角坐标系（对应第19-25题）
19．（2026春 嵩明县期中）若点P（a﹣7，4）与点Q（1﹣a，﹣3）的连线平行于y轴，则a的值为　4　 ．
【分析】根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为点P（a﹣7，4）与点Q（1﹣a，﹣3）的连线平行于y轴，
所以a﹣7＝1﹣a，
解得a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了坐标于图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
20．（2026春 红桥区期中）在平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣2，3），C（4，﹣1），将线段AB平移得到线段CD，其中点A的对应点是C，则点B的对应点D的坐标为 　（0，﹣2）　 ．
【分析】利用平移变换的性质正确作出图形，可得结论．
【解答】解：观察图象可知，D（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质正确作出图形．
21．（2026春 西城区校级期中）如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示金水桥的点的坐标为（1，﹣2），表示本仁殿的点的坐标为（3，﹣1），则表示乾清门的点的坐标是　（1，3）　 ．
【分析】根据金水桥的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出乾清门的点的坐标．
【解答】解：根据题意可建立如下坐标系：
由坐标系可知，表示乾清门的点的坐标是（1，3），
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键解．
22．（2026春 青羊区校级期中）定义：在平面直角坐标系中，点P（x1，y1）、点Q（x2，y2），若k（x1﹣x2）＝y2﹣y1（x1﹣x2≠0）时称点Q为点P的“k关联点”，其中k为常数．已知直线l上存在两个不同的点A和B，它们都是点P的“1关联点”，且线段AB的中点为（1，2）．若AB＝4，则A点的坐标为A（1+2，2﹣2）或A（1﹣2，2+2）．　 ．
【分析】先根据“k 关联点”的定义推导出直线的斜率，再结合直线过点P（1，2）求出直线方程，最后利用AB＝4的距离条件求出A点坐标．
【解答】解：设A（xA，yA），B（xB，yB），根据“1关联点”的定义：
1 （1﹣xA）＝yA﹣2，1 （1﹣xB）＝yB﹣2，
整理得：yA＝﹣xA+3，yB＝﹣xB+3，即直线l的方程为y＝﹣x+3，
设A（x，x+3），B（x′，﹣x′+3），由AB＝4，得：4，
化简：
4，
∴|x﹣x′|＝2，
由于题目未给出A，B的顺序，结合直线的对称性，取其中一组解：
设A的横坐标为1+2，则纵坐标为2﹣2，或横坐标为1﹣2，纵坐标为2+2，
故答案为：A（1+2，2﹣2）或A（1﹣2，2+2）．
【点评】本题考查新定义“关联点”、一次函数与两点间距离公式的综合应用，熟练掌握新定义转化、一次函数性质及距离公式是解题的关键．
23．（2026春 武昌区校级期中）在平面直角坐标系中，对任意一点A（x，y），点A的p值p（A）的定义如下：；比如点B（3，3），p（B）＝12，点C（﹣5，4），p（C）＝4．如图，正方形ABCD，A（﹣2，5），B（﹣2，﹣1），点C、D在y轴右侧，点G为正方形边上的点，现有一个实数a，1＜a＜4，当p（G）＝a时，这样的点G有　6　 个．
【分析】根据正方形的性质得出C（4，﹣1），D（4，5），结合定义分情况讨论点G的个数即可．
【解答】解：由条件可知A（﹣2，5），B（﹣2，﹣1），则C（4，﹣1），D（4，5），
即﹣2≤x≤4，﹣1≤y≤5，
当点G在AB上，|x|＝2，
当2≤y≤5，p（G）＝4×2＝8＞a，不符合题意；
当﹣1≤y＜2，p（G）＝|y|＝a，由于1＜a＜4，当y＝a（1＜a＜2）时满足条件，故存在1个点G符合题意；
当点G在BC上，|y|＝1，
当|x|≤|y|，即﹣1≤x≤1，p（G）＝4|x|＝a，由于1＜a＜4，当时满足条件，故存在2个点G符合题意；
当|x|＞|y|，即﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤4，p（G）＝|y|＝1，故不符合题意；
当点G在CD上，|x|＝4，
当4≤y≤5，p（G）＝4|x|＝16＞a，故不符合题意；
当﹣1≤y＜4，p（G）＝|y|＝a，由于1＜a＜4，当y＝a时满足条件，故存在1个点G符合题意；
当点G在AD上，|y|＝5，
则|x|≤|y|，p（G）＝4|x|＝a，由于1＜a＜4，当时满足条件，故存在2个点G符合题意；
故答案为：6．
【点评】本题考查了平面直角坐标系与几何综合，不等式的性质，能够结合不同参数的取值范围进行讨论是解题的关键．
24．（2026 乌鲁木齐一模）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　2　 ．
【分析】将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案．
【解答】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．
则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，
EA′2，
∴AC+BD的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'E是解本题的关键．
25．（2024春 思明区期末）在平面直角坐标系xOy中，点P从点（﹣1，3）出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；同时，点Q从点（7，﹣1）出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动．设运动时间为t，当P，Q两点间的距离最短时，t的值为 　　 ．
【分析】根据列方程即可得到结论．
【解答】解：设运动时间为t，∵点P从点（﹣1，3）出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动；同时，点Q从点（7，﹣1）出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度运动，
∴t秒后P（﹣1+t，3），Q（7﹣2t，﹣1），
∵P，Q两点间的距离最短时，PQ∥y轴，
即P，Q两点的横坐标相等，
∴﹣1+t＝7﹣2t，
∴t，
∴当P，Q两点间的距离最短时，t的值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
【练习3】一次函数（对应第26-42题）
26．（2026春 普陀区期中）已知一次函数y＝4x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，5），则方程组的解是　　 ．
【分析】根据一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此可得到方程组的解．
【解答】解：方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键．
27．（2026春 上海校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞1的解集为x＞0　 ．
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可．
【解答】解：已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，
由图象可知，直线与y轴的交点的纵坐标为1，
当x＞0时，函数值y＞1，
∴不等式kx+b＞1的解集为x＞0．
故答案为：x＞0．
【点评】本题考查一次函数的图象，正确进行记忆相关知识点是解题关键．
28．（2026春 普陀区校级期中）一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，如果0＜kx+b＜mx+n，根据图象可得x的取值范围为　3＜x＜5　 ．
【分析】0＜kx+b＜mx+n表示在x轴的上方，且y＝mx+n的图象在y＝kx+b的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直接求解．
【解答】解：根据图象可得，x的取值范围是：3＜x＜5．
故答案为：3＜x＜5．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和一次函数的性质，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解题的关键．
29．（2025秋 兰州期末）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　 ．
【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2，
∴两直线交点坐标（1，2），
∴x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
30．（2026春 牟平区期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点A（﹣2，c），若直线y＝﹣x也经过点A，则关于x，y的方程组的解是　　 ．
【分析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【解答】解：∵直线y＝﹣x经过点A（﹣2，c），
∴c＝2，
∵一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（﹣2，2），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
31．（2026春 罗湖区校级期中）如图，直线和直线相交于点（2，2），当时，x的取值范围x＞2　 ．
【分析】结合图象，写出y1不在直线y2下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察图象，当时，x的取值范围为x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
32．（2026春 海淀区校级期中）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内且满足m+n＝3，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，给出下面四个结论：①当x＜0时，y＜b；②当x＜2时，y＜2k+b；③当k≥3时，b≥﹣6；④当b≥8时，，上述结论中，正确结论的序号有　①②④　 ．
【分析】根据题意，得出点P所在线段，据此画出图形，再利用数形结合的数学思想对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为点P坐标为（m，n）在第一象限且m+n＝3，
所以点P在如图所示的线段MN上．
因为一次函数y＝kx+b经过点A和点P，
所以k＞0，
则当x＜0时，kx＜0，
所以y﹣b＜0，
解得y＜b．
故①正确；
当x＝2时，y＝2k+b，
因为k＞0，
所以y随x的增大而增大，
所以当x＜2时，y＜2k+b．
故②正确；
因为点A在直线y＝kx+b上，
则3k+b＝3，
所以k．
由k≥3得，
，
解得b≤﹣6．
故③错误；
因为3k+b＝3，
所以b＝﹣3k+3．
由b≥8得，
﹣3k+3≥8，
解得k．
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式（组）及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质及一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
33．（2026春 涪城区校级月考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，y4＝kx+b4的图象相交于点P．嘉嘉根据图象得到如下结论：①在一次函数y1＝k1x+b1中，y的值随着x值的增大而增大；②在一次函数y3＝k3x+b3中，y的值随着x值的增大而增大；③方程组与的解相同，都是；④b1＜b2＜b3＜b4；⑤x从0开始逐渐增大时，函数y2＝k2x+b2的值比函数y1＝k1x+b1的值先到达10．其中正确的结论是　①③④　 ．（填序号）
【分析】根据一次函数图象和性质，以及一次函数的交点坐标即可得到结论．
【解答】解：由图象知，①在一次函数y1＝k1x+b1中，y的值随着x值的增大而增大；故符合题意；
②在一次函数y3＝k3x+b3中，y的值随着x值的增大而减小，故不符合题意；
③方程组与的解相同，都是，故符合题意；
④b1＜b2＜b3＜b4；故符合题意；
⑤x从0开始逐渐增大时，函数y2＝k2x+b2的值比函数y1＝k1x+b1的值后到达10，故不符合题意．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键．
34．（2026春 德化县期中）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，求乙车出发后　，或　 小时与甲车相距15千米．
【分析】根据题意求出两车的速度，然后求出各段的解析式，列出方程求解即可．
【解答】解：40分钟小时，
∴甲车的速度为，
，
∴C（0，40），
设直线CF的解析式为y＝kx+b，由条件可得：
，
解得，
∴y＝60x+40，
假设乙车第一段的速度为xkm/h，则第二段的速度为（x﹣50）km/h，根据题意得，
半小时，
∴，
解得x＝90km/h，
90×4＝360km，
∴D（4，360），，
假设直线OD的解析式为y＝k1x，由条件可得：
360＝4k1，
解得k1＝90，
∴y＝90x（0≤x≤4）；
当|90x﹣（60x+40）|＝15时，
解得或，
直线DE的解析式为，
当360﹣（60x+40）＝15时，
解得，
∵，
∴不符合题意；
假设直线EF的解析式为y＝k2x+b2，由条件可得：
，
解得，
，
∴直线EF的解析式为，
当40x+180﹣（60x+40）＝15时，
解得；
∴乙车出发后，或小时与甲车相距15千米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数性质是关键．
35．（2026春 仓山区校级期中）小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）近似是高度h（m）的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是9N，则装置高度h的最大值为　0.875　 m．
【分析】根据题意利用待定系数法求出F与h的函数关系式，根据弹簧测力计的最大量程列出一元一次方程，解方程即可求出装置高度h的最大值．
【解答】解：设拉力F与高度h的函数关系式为F＝kh+b，
由题意可知，当h＝0时，F＝2，则b＝2，
由题意可得：，
∴函数关系式为F＝8h+2，
当F＝9时，8h+2＝9，
解得h＝0.875．
故答案为：0.875．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
36．（2026春 思明区校级期中）A、B两地相距4000米，甲货车从A地匀速开往B地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从B地沿同一公路出发匀速开往A地，到达A地后停止，而甲继续开往B地，到达B地后才停止．两车之间的距离y（米）与甲货车出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF﹣FG所示：
①甲的速度为100米/分钟；
②乙的速度为140米/分钟；
③乙货车从B地到A地用的时间为分钟；
④当乙到达A地时，甲离B地的距离为米．
上述说法正确的是　①③④　 ．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离．
【解答】解：两车之间的距离y（米）与甲货车出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF﹣FG所示：由题意可得，
甲货车的速度为：4000÷40＝100（米/分钟），故①正确；
由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（4000﹣10×100）÷（22﹣10）﹣100＝150（米/分钟），故②错误；
乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确；
当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为：（米），故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
37．（2026 莱芜区模拟）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了　　 小时．
【分析】根据图象先求出甲车速度，再求出乙车速度即可．
【解答】解：由图象可知，甲车速度为：24（千米/小时），
∴甲车行驶2小时时离开A城的距离为24×2＝48（千米），
∴乙车速度为：72（千米/小时），
∴乙车行驶48千米所用时间为：（小时），
∴乙追上甲时，乙行驶了小时，
故答案为：．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键．
38．（2026春 福田区校级期中）在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．溶解氧浓度由直线l1：y＝x+1描述，污染物浓度由直线l2：y＝kx+b（k≠0）描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时x范围是x≥4　 ．
【分析】先将交点P的坐标代入直线l1：y＝x+1的解析式求出 m 的值，确定交点坐标，然后观察函数图象，找出直线 l1在直线 l2上方（包括交点）部分对应的自变量 x的取值范围即可．
【解答】解：由题意可得：点P（m，5）在直线l1：y＝x+1上，
∴5＝m+1，解得m＝4，
∴当x≥4 时，直线 l1 的图象在直线l2 的图象上方或重合，即溶解氧浓度不低于污染物浓度，
∴x的范围是 x≥4．
故答案为：x≥4．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
39．（2026春 瑞安市月考）已知甲、乙两地相距60km，小瑞、小安两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小瑞骑自行车，小安骑摩托车．如图，OA，BC分别表示小瑞、小安离开甲地的路程s（km）与小瑞离开甲地的时间t（h）的函数关系的图象．根据图中信息，当小瑞离开甲地　1.8　 h时，小安追上小瑞．
【分析】设当小瑞离开甲地xh时小安追上小瑞，根据小安追上小瑞时两人的路程相同建立方程求解即可．
【解答】解：OA，BC分别表示小瑞、小安离开甲地的路程s（km）与小瑞离开甲地的时间t（h）的函数关系的图象．则：
由函数图象可知，小瑞的速度为，小安的速度为，且小瑞出发1小时后小安才出发，
设当小瑞离开甲地xh时小安追上小瑞，
则20x＝45（x﹣1），
解得x＝1.8，
∴当小瑞离开甲地1.8h时小安追上小瑞．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据速度等于路程除以时间，结合函数图象可求出两人的速度，正确进行计算是解题关键．
40．（2026 槐荫区一模）如图A，B两地相距50km，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 　0.5　 时间就追上甲．
【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可．
【解答】解：设乙出发后经过x小时追上甲，
甲在QR段的速度是（50﹣20）÷（5﹣2）＝10（km/h），
乙的速度为50÷（3﹣2）＝50（km/h），
∴20+10x＝50x，
解得x＝0.5，
∴乙出发后经过0.5小时追上甲，
故答案为：0.5．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解给定的图象并求出各自的速度是解题的关键．
41．（2026 济南一模）近年新能源汽车越来越受到人们的追捧，为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线ABC，用普通充电器时，汽车电池电量y2（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段AD，若该汽车电池电量从10%充至90%，则快速充电器比普通充电器少 　1.5　 h．
【分析】利用待定系数法分别求出线段BC、AD对应的函数关系式，当y1＝y2＝90时，求出对应x的值并求差即可．
【解答】解：设线段BC对应的函数关系式为y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标B（0.5，70）和C（1.5，100）分别代入y1＝k1x+b1，
得，
解得，
∴线段BC对应的函数关系式为y1＝30x+55（0.5≤x≤1.5），
设线段AD对应的函数关系式为y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0），
将坐标A（0，10）和D（3，100）分别代入y2＝k2x+b2，
得，
解得，
∴线段AD对应的函数关系式为y2＝30x+10（0≤x≤3），
当y1＝90时，得30x+55＝90，
解得x，
当y2＝90时，得30x+10＝90，
解得x，
1.5（h），
∴快速充电器比普通充电器少1.5h．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
42．（2026春 北京月考）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，ON是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数y＝﹣x+3（0≤x≤3）与y＝x﹣3（x≥3）构成的图象，可看作从y轴上点P（0，3）发出的一束光经x轴上的点M（3，0）反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从y轴上点P（0，4）发出一束光线，经过y轴上一点M（m，0）反射后形成的“反射函数线”．
（1）若反射光线过点Q（5，6），则点M的坐标为　（2，0）　 ；
（2）若（2，y1），（3，y2），（5，y3）均为“反射函数线”上的点，且y2＜y1＜y3，则m的取值范围是　　 ．
【分析】依据题意，设直线PM为y＝kx+b，又图象过P（0，4），则b＝4，故直线PM为y＝kx+4，结合图象过M（m，0），可得直线PM为y＝﹣x+4，故反射后的图象所在直线为y＝x﹣4，又反射过（5，6），则6＝×5﹣4，进而求出m后即可得M的坐标；又根据图象可得，“反射函数线”关于直线x＝m对称，且图象上的点离对称轴越近函数值越小，结合（2，y1），（3，y2），（5，y3）均为“反射函数线”上的点，且y2＜y1＜y3，可得|m﹣3|＜|m﹣2|＜|m﹣5|，进而分四种情形进行计算分析即可判断得解．
【解答】解：由题意，设直线PM为y＝kx+b，
又∵图象过P（0，4），
∴b＝4．
∴直线PM为y＝kx+4．
又∵图象过M（m，0），
∴0＝mk+4．
∴．
∴直线PM为．
∴反射后的图象所在直线为．
又∵反射过（5，6），
∴．
∴m＝2，
经检验，m＝2是方程的解．
∴M（2，0）．
由题意，根据图象可得，“反射函数线”关于直线x＝m对称，且图象上的点离对称轴越近函数值越小．
∵（2，y1），（3，y2），（5，y3）均为“反射函数线”上的点，且y2＜y1＜y3，
∴|m﹣3|＜|m﹣2|＜|m﹣5|．
∴①当m≤2时，3﹣m＜2﹣m＜5﹣m，
∴此时无解．
②当2＜m≤3时，3﹣m＜m﹣2＜5﹣m，
∴．
∴此时．
③当3＜m≤5时，m﹣3＜m﹣2＜5﹣m，
∴．
∴此时．
④当m＞5时，m﹣3＜m﹣2＜m﹣5，
∴此时无解．
综上，．
故答案为：（2，0）；．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
【练习4】反比例函数（对应第43-53题）
43．（2025秋 金台区校级期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是k＞1　 ．
【分析】根据反比例函数的图象位于第一、三象限，得出k﹣1＞0，解出不等式，即可作答．
【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故答案为：k＞1．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是关键．
44．（2026 大足区模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为　0　 ．
【分析】知反比例函数y的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
解关于x的不等式组得，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴0，
解得m≥﹣1，
由上可得，m的取值范围是﹣1≤m＜2，
∴整数m是﹣1，0，1共3个，
∴符合条件的整数m的值之积为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和不等式的性质解答．
45．（2026 衡阳模拟）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3．则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3 ．（用“＜”连接）
【分析】根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第一、三象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限，
∴在每一象限y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴C点在第一象限，A、B点在第三象限，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
46．（2025 山丹县校级三模）反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为 k1＜k2＜k3 ．（用“＜”连接）
【分析】由图可知图象在第三象限，k3＞0；，图象在第四象限，k2＜0、k1＜0；再取x＝1，如图所示，即可比较k1，k2的大小．
【解答】解：由图可知，图象在第三象限，k3＞0；，图象在第四象限，k2＜0、k1＜0；
取x＝1，如图所示：
∴k2＞k1；
综上所述，k1＜k2＜k3，
故答案为：k1＜k2＜k3．
【点评】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键．
47．（2026 中阳县模拟）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝8m3时，气体的密度是　1.25　 kg/m3．
【分析】设密度ρ（kg/m3）是体积V（m3）的反比例函数为，把点（5，2）代入解析式，根据待定系数法求得函数解析式，再将V＝8m3代入函数解析式求解即可．
【解答】解：设，
把点（5，2）代入，得，
解得k＝10，
∴，
当V＝8m3时，．
故答案为：1.25．
【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．
48．（2026 西安模拟）真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于40g/cm3时，其体积是　10　 cm3．
【分析】利用待定系数法求出再求出 p＝40时，V的值即可得到答案．
【解答】解：由题意，设，
∵当p＝16时，V＝25，
∴，解得m＝400，
∴，
∴当p＝40时，则（cm3），
故答案为：10．
【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．
49．（2025秋 象州县期末）为预防冬季流感，某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．经测量，药物在8分钟时燃烧完毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克．研究表明，当空气中每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进入教室．那么从消毒开始，至少需要经过　50　 分钟后，学生才能回到教室．
【分析】根据待定系数法即可求出两个函数解析式，从图上可读出x的取值范围；解不等式y≤1.6即可
【解答】解：药物燃烧时，0≤x≤8，y关于x的函数是正比例函数，设y＝kx，
代入（8，10）得10＝8k，
解得k，
∴yx；
药物燃烧完后，x＞8，y关于x的函数是反比例函数，
设y，
代入（8，10）得10，
解得k1＝80，
∴y；
药物燃烧时，yx；药物燃烧完后，y，
令y中y≤1.6，即1.6，结合x＞8解得x≥50，
答：即从消毒开始，至少需要50分钟后学生才能回到教室，
故答案为：50；
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
50．（2026 秦淮区一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量y1（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图象如图所示．该产品的月供应量y2（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为　30　 元．
【分析】根据题意可以求出反比例函数解析式和一次函数解析式，然后令这两个函数值相等，求出相应的x的值即可．
【解答】解：设月需求量y1（单位：万件）与销售单价x（单位：元）的函数解析式为y1，
∵点（40，15）在该函数图象上，
∴15，
解得k＝600，
即月需求量y1（单位：万件）与销售单价x（单位：元）的函数解析式为y1，
设产品的月供应量y2（单位：万件）与销售单价x的函数解析式为y2＝mx+n，
∵销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件，
∴，
解得，
即产品的月供应量y2（单位：万件）与销售单价x的函数解析式为y2＝x﹣10，
令y1＝y2，
x﹣10，
解得x1＝30，x2＝﹣20（不合题意，舍去），
∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元，
故答案为：30．
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
51．（2026 成武县模拟）莱阳梨亦称茌梨，因产于莱阳市而得名，是山东省的著名特产之一．莱阳梨表面粗糙，有褐色锈斑．果肉质地细腻，汁水丰富，口感清脆香甜，是梨中的上品．水果销售商为提高果农筛选莱阳梨的效率，买了某研究部门研制的如图1所示机械筛选设备．电源电压不变，R0为定值电阻，R为压敏电阻，阻值随压力大小的变化关系如图2所示．一次筛选中，研究部门设计了当经过压力检测区上的莱阳梨质量不大于100g时，机械装置通过传感器操作启动，将质量不达标的莱阳梨推出传送带，实现自动筛选功能（g取10N/kg，例如，物体质量为100g时，压力F＝G＝mg＝0.1kg×10N/kg＝1N）．当机械装置实现自动筛选功能时，压敏电阻R的范围为　60≤R≤100　 ．
【分析】根据题意分析出F的取值范围，结合图象可得，R与F的对应关系，进而得出R的取值范围．
【解答】解：研究部门设计了当经过压力检测区上的莱阳梨质量不大于100g时，机械装置通过传感器操作启动，
根据题意可知，当机械装置实现自动筛选功能时，0≤F≤1，
根据图象可知，R随着F的增大而减小，且当F＝0时，R＝100；当F＝1时，R＝60；
∴当机械装置实现自动筛选功能时，压敏电阻R的范围为60≤R≤100．
故答案为：60≤R≤100．
【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．
52．（2026春 台江区校级月考）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．当V≤5m3时，则气体的密度ρ　＞　 2kg/m3．（填“≤或≥或＝”）
【分析】先求出密度ρ与体积V的函数解析式，然后根据V≤5m3和反比例函数的性质，可以得到当V≤5m3时，气体的密度ρ与2kg/m3大小关系．
【解答】解：设ρ，
∵点（4，3）在该函数图象上，
∴3，
解得m＝12，
∴ρ，
∴在第一象限内，ρ随V的增大而减小，
当V＝5m3时，ρ2.4（kg/m3），
∴当V≤5m3时，则气体的密度ρ＞2kg/m3，
故答案为：＞．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
53．（2026 碑林区校级一模）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f（度）与车速v（km/h）成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为100km/h时，视野角度f为 　40　 度．
【分析】首先根据题意，可得视野角度f（度）与车速v（km/h）成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案．
【解答】解：设视野角度f（度）与车速v（km/h）的函数关系式为，
由条件可得：，
解得：k＝4000，
∴视野角度f（度）与车速v（km/h）的函数关系式为，
当v＝100时，，
故答案为：40．
【点评】题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
【练习5】反比例函数与一次函数综合（对应第54-60题）
54．（2026 福田区二模）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为　3　 ．
【分析】根据直线AB的解析式∠ABE＝45°，B（3，0），由AB即可求得AE＝BE＝1，求得A（4，1），利用待定系数法求得反比例函数为y，根据平移的性质以及，即可求得C（1，1+b），代入反比例函数解析式即可求得b的值．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵直线y＝x﹣3与x轴交于点B，
∴B（3，0），
由直线y＝x﹣3可知∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∵AB，
∴AE＝BE＝1，
∴A（4，1），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k1＝4×1＝4，
∴反比例函数为y，
∵将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，，
∴线段AB相当于向左平移3单位，再向上平移b个单位得到CD，
∴C（1，b+1），
把C点的坐标代入y，得b+1＝4，
解得b＝3，
故答案为：3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键．
55．（2026 启东市模拟）如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图象经过点D，则k的值为 　﹣9　 ．
【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得DM＝DN＝DP，再根据角的对称性得出BN＝BP，由勾股定理求出AB，设ON＝a，利用四边形DMON是正方形，列方程求出a的值，确定点D坐标，进而求出k的值．
【解答】解：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，作DP⊥AB交AB的延长线于点P，
∵ON⊥OM，DM⊥OM，DN⊥OC，
∴四边形DMON是长方形，
∵AD平分∠OAB，DM⊥OM，DN⊥OC，
∴DM＝DN，
∴四边形DMON是正方形，
又∵BE平分∠ABC，DN⊥OC，DP⊥AP，
∴DN＝DP，
在Rt△AOB中，
AB5，
由对称可得，AP＝AM，BP＝BN，
设ON＝a，则OM＝a，BN＝4﹣a＝BP，
∵AP＝AB+BP＝5+（4﹣a），AM＝OA+OM＝3+a，
∴5+4﹣a＝3+a，
∴a＝3，
∴ON＝DM＝DN＝3．
∴D（﹣3，3）．
∴k＝﹣3×3＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，掌握角平分线的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
56．（2026 沛县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（m，n），则代数式的值为　　 ．
【分析】将P（m，n）分别代入反比例函数和一次函数解析式，得mn＝6，n﹣m＝2，再代入变形后的式子求解即可．
【解答】解：由条件可得mn＝6，
∵P（m，n）经过y＝x﹣2，
∴n﹣m＝﹣2，
∵，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的意义，分式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
57．（2025秋 中山市期末）如图，直线y＝﹣3x+3交坐标轴于点A，B．点C在反比例函数y（x＞0）的图象上，且BC⊥AB，连接AC交反比例函数图象于点D．若D恰好为AC的中点．则k的值为　4　 ．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，构造相似三角形再利用方程思想即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，则△AOB∽△BEC
分别令x＝0，y＝0代入y＝﹣3x+3，可得A（0，3），B（1，0），即OA＝3，0B＝1
所以AO：OB＝BE：EC＝3：1，设E（m，0），m＞1，则BE＝m﹣1，CE，C（m，）
因为点D是AC的中点，由中点坐标公式可得D（，）
因为点C、D都在反比例函数y的图象上，
所以，解得m1＝0（舍） m2＝4
则C（4，1），D（2，2），k＝4×1＝2×2＝4
故答案为：4
【点评】本题考查了反比例函数与相似三角形以及方程思想，综合性较强．
58．（2026春 兴庆区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．根据图象写出当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围　﹣2＜x＜0或x＞1　 ．
【分析】根据图象可得当一次函数的值大于反比例函数的值时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再结合A（﹣2，﹣1），B（1，a）求解即可．
【解答】解：一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．
∵A（﹣2，﹣1），B（1，a），
∴根据图象可得当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为：
﹣2＜x＜0 或 x＞1．
故答案为：﹣2＜x＜0 或 x＞1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，正确进行计算是解题关键．
59．（2026 惠山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C（2，6），B为线段AC的中点．若点D为线段AC上的一个动点．过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为　　 ．
【分析】一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，用k，b的式子表示出点A和点B的坐标，根据，求出点A和点B的坐标以及k、b的值，可得一次函数解析式，根据点C坐标可得反比例函数解析式，延长ED交y轴于点F，设点E纵坐标为a，可得点E和点D坐标，根据S△ODE＝S△OFE﹣S△OFD可求得关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可得到△ODE面积的最大值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，
∴当x＝0时，y＝b，
当y＝0时，kx+b＝0，
解得：x，
∴A（，0），B（0，b），
∵点C（2，6），B为线段AC的中点
∴，
解得：，
∴A（﹣2，0），B（0，3），
一次函数解析式为yx+3，
∵反比例函数的图象交于点C（2，6），
∴m＝2×6＝12，
∴反比例函数y，
延长ED交y轴于点F，如图所示：
设点E纵坐标为a，把y＝a代入y，得x，
则E（，a），F（0，a）
把y＝a代入yx+3，得x+3＝a，
∴x（a﹣3），
∴D（（a﹣3），a），
∴S△ODE＝S△OFE﹣S△OFDOF×EFOF×DFaa（a﹣3）a2+a+6（a 2，
∵0，
∴当a时，S△ODE有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点以及三角形的面积，关键是根据点B为线段AC的中点求出点A、C的坐标．
60．（2026 南京一模）如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于点A、B，点C在x轴上，若OB＝AC，△OAC的面积是6，则k的值为　﹣6　 ．
【分析】过点A作AD⊥OC于点D，由等腰三角形的性质可得S△AOD＝S△ACDS△AOC＝3|k|，进而求出k的值．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D，
∵AC＝AO，
∴CD＝DO，
∴S△AOD＝S△ACDS△AOC3，
∵S△AOD|k|，
又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数交点坐标问题，考查反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
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