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内江一中高 2028 届高一下学期期中数学测试卷
一、单选题（共 40 分，每小题 5 分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
5
2．在 ABC中，已知 a 3 3， c 2， B π，则b （ ）
6
A． 13 B． 22 C． 2 10 D． 7

3．若 e1， e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）

A． e1 e2 和 e1 e2 B．3e1 2e2 和 6e1+4e2

C． e1 3e2 和3e1 e2 D．e2和 e1 e2

4．在 ABC中，点 D是线段 BC的中点，E是线段 AD的靠近 A的三等分点，则BE （ ）
5 1 5
A． AB AC B． AB
1 5 1
AC C． AB AC
3
D． AB
1
AC
6 6 6 6 6 3 5 6
5．已知函数 f x 4cos2 x 4sin xcos x π 0 的最小正周期为 ，将 f x 的图象向下平移 2个单位长
2
度后，再将横坐标伸长为原来的 2倍，得到函数 g x 的图象，则 g x 的一个单调递增区间为（ ）
π
A ,0 B
π 5π 9π, 5π , 3π , 5π ． ． C． D．
2 8 8 8 8 4 4
sin π 1 π6
π
．已知 ，则 cos cos 2 （ ）
6 3 3 3
4 10 10 4A． B． C． D．
9 9 9 9
7．如图所示，为测量一棵树HP 的高度，在地面上选取 A，B两点（A，B，H三点共线），从 A，B两点分
别测得树尖 P的仰角为30 ， 45 ，且 A，B两点之间的距离为30m，则树的高度为（ ）
A．15m B．30 3m C． 15 15 3 m D． 30 3 15 m

8．如图，在 ABC中，CA CB 1，AC 3AE，BC 3DC，F为 AD 与 BE的交点，则向量CF在CA上的
投影向量的模的最小值为（ ）
2 4 6
A． B 1． C． D．
7 2 7 7
二、多选题（共 18 分，每小题 6 分）
9．下列等式计算正确的是（ ）
A．cos 20 cos 40 sin 20 sin 40 3 2 B．1 2cos2 22.5
2 2
C 1 tan18 1 tan 27 2 D 1 tan15 3． ．
1 tan15 3
10．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
π
A．若 B ,c 4,b 3，则符合条件的 ABC只有一个
6
B．若 A B，则 sin A sinB
C．若 a3 b3 c3，则 ABC是锐角三角形
A π bD．若 ，则 的最大值是
3 a 3
11．幻彩摩天轮位于中山市西区兴中广场C段．该摩天轮轮体直径为83m，最高点离地108m．轮体上均匀
设置了依次标号为1~ 36号的36个座舱，开启后按照逆时针方向匀速旋转，每20min转一周.已知在时刻
t min 0 t 20 时1号舱 P距离地面的高度 h t Asin t b（其中 A 0， 0， π），且 t 0
时，P位于最低位置．且摩天轮开始启动时，1号舱 P，10号舱Q，13号舱 R位置如图所示，运行过程中其
离地面高度分别记为 hP， hQ， hR，则（ ）
h t 83sin π π 133A．
2
t
10 2
0 t 20
2
83 6 2
B ．摩天轮运行一周的过程中， hR hQ mmax 4
C．不存在 t 0,5 使得 hP hQ hR hQ
D．摩天轮运行一周的过程中， hP hQ hR hQ 的情形共出现3次
三、填空题(共 15 分，每小题 5 分)
tan 112．已知 ， tan
1
，则 tan( ) ______.
2 4
π
13．如图，在平行四边形 ABCD中，AB 3， BAD ，E是边 BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，
3

若 AE BF 2，则 AD ______．
14．在 ABC中，P为边 AB上一点，CP 1， ACP 30 ， BCP 45 ，AP BP， CPB .当 ABC
面积最小时， tan ________.
四、解答题（共 77 分）
15．（13分）已知 A 1,2 ，B 3,4 ，C 1,5

(1)若 c 1, ，且 c∥AB，求 c ．
(2)若四边形 ABCD为平行四边形，求点D的坐标．

16．（15分）已知 a 4， b 2，且 a 与 b 夹角为60 ，求：

(1) 2a b；

(2) a 与 a b的夹角的余弦值.
17．（15分）已知函数 f x Asin x A 0, 0, π π 的部分图象如图所示.
(1)求 f x 7π的解析式.(2)设函数 g x f x

24
2cos2x .

π 11π
（i）求 g x 的单调递减区间；（ii）若 x , ，求 g x 的最大值与最小值. 2 12

18.（17分）在面积为 S的 ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若m sinC sin B,a b ，
n sin A,c b m ，且 //n .
(1)求角 C的大小；(2)若 c 2 3， S 2 3，求 ABC的周长；
(3)若 ABC为锐角三角形，且 AB边上的高 h为 2，求 ABC面积的取值范围.
19．（17分）已知函数 f x 2sin 2 x π

1 .
6
π
(1)若对于任意 x R都有 f x1 f x f x2 ，且 x1 x2 min ，求 f x 的对称中心；2
π
(2)若0 5 π ，函数 f x 图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象， x 是 g x 的一个零点，函数
6 3
g x 在区间 m,n （m,n R 且m n）上恰好有 2026个零点，求 n m的最小值；
7π
(3)在第（2）问条件下，将函数 g x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3倍，再向左平移 个单位长度，
12
2 π π
向下平移 1个单位长度后得到函数 h x 的图象.若关于 x的方程 h x h x 3 0在 , 上有且仅 12 3
有四个解，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】对于 A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故 A错误；
对于 B：单位向量的定义，单位向量的模为 1，方向为任意方向，故 B错误；
对于 C：向量的模与方向没有关系，故 C正确；
对于 D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故 D错误.
故选：C.
2．D
【详解】在 ABC中，由余弦定理得，
b2 a2 c2 2ac cos B 49，
由b 0解得b 7 .
故选：D
3．B

【详解】因为向量 e1， e2是平面内的一组基底，可得向量 e1，e2为平面内不共线的向量，
1
对于 A中，设 e1 e2 (e1 e2 ) e1 e2 ，可得 ，此时方程组无解，
1

所以向量 e1 e2 和 e1 e2 不共线，可以作为平面的一组基底；
3 6
对于 B中，设3e1 2e2 ( 6e1+4e2 ) 6 e1+4 e2 ，可得 ，解得
1
，
2 4 2

所以向量3e1 2e2 和 6e1+4e2 为共线向量，不能作为平面的一组基底；
1 3
对于 C中，设 e1 3e2 (3e1 e2 ) 3 e1 e2 ，可得 ，此时方程组无解，
3

所以向量 e1 3e2 和3e1 e2 不共线，可以作为平面的一组基底；
0
对于 D中，设 e2 (e1 e2 ) e1 e2 ，可得 ，此时方程组无解，
1

所以向量 e2和 e1 e2 不共线，可以作为平面的一组基底.
4．B
1 1 1
【详解】因为D是 BC的中点，所以 AD AB BD AB BC AB AC AB
2 2 2 AB AC ，
1 1 1 1 1
因为 E是 AD 的靠近 A的三等分点，所以 AE AD AB AC AB AC，3 3 2 6 6
1 1 5
所以 BE AE AB AB
1
AC AB AB AC．
6 6 6 6
5．C
f x 4 1 cos2 x【详解】 2sin 2 x 2sin 2 x 2cos2 x 2
2
2 2 sin 2 x
π
2
4
2π π
最小正周期T ，得 2，
2 2
f x 2 2 sin 4x π 即 2，图象向下平移 2个单位长度后得到函数 y 2 2 sin

4x
π
，横坐标伸长到 4 4
π
原来的 2倍后得到函数 g x 2 2 sin 2x 4 ，
x π ,0 A.当 ， 2x
π

3π π
,

，此区间先减后增，故 A错误；
2 4 4 4
x π , 5π π π 3π B. 当 ， 2x , ，是正弦函数减区间的子集，故 B错误；
8 8 4 2 2
x 5π 9πC. 当 , 2x
π 3π 5π
，
, ，是正弦函数增区间的子集，故 C正确；
8 8 4 2 2
x 3π 5π π 7π 11πD.当 ,

， 2x

,

，此区间先增后减，故 D错误；
4 4 4 4 4
6．C
sin π 1 cos π cos π π π 1【详解】因为 6
，所以
3

3
sin ，
6 2

6 3
π 2cos 2 cos 2 π 1 2sin2 π 1 7 1 2

3 6 6 3
，
9
故 cos
π


cos
π 1 7 10
2 .
3 3 3 9 9
7．C
【详解】设树的高度为 h，由已知，得PH HB h，
在Rt PHA中， tan HAP PH h 3 .
HA h 30 3
化简得3h 3 h 30 30 3，解得 h 5 3 3 3 15 15 3 .
3 3
所以树的高度为 15 15 3 m.
故选：C.
8．C

CF CA CD 3

【详解】由题，设 CE CB , R ，
2 3
1,
4
,
因为 A,F ,D三点共线， B, F , E
7
三点共线，所以 3 ，解得 ，

1
2 3
3

7

CF 4CA 3CD 4CA 1

所以 CB，
7 7 7 7

CF CA 1 4CA CB CA 1 1 2
则 4 CA 4 CA
1 4
，
CA 7 CA 7 CA 7 CA
7
1
当且仅当 4 CA

CA ，即 CA
1
时等号成立，
2
故选：C.
9．CD
【详解】A，根据两角和的余弦公式： cos cos cos sin sin ，
代入 20 , 40 ，可得 cos 20 40 cos60 cos20 cos40 sin 20 sin 40 ，
再代入 cos60
1
，有 cos20 cos40 sin 20 sin 40
1
，错误；
2 2
B，根据二倍角的余弦公式： cos 2 2cos2 1，
代入 22.5 ，可得 cos 2 22.5 cos45 2cos2 22.5 1，
再代入 cos45 2 2 ，有 2cos2 22.5 1 1 2cos2 22.5 2 ，错误；
2 2 2
tan tan
C，根据两角和的正切公式： tan 1 tan tan ，
18 , 27 tan 18 27 tan 45 tan18 tan 27 代入 ，可得 ，
1 tan18 tan 27
tan18 tan 27
再代入 tan45 1，有 1 tan18 tan 27 1 tan18 tan 27 ，即
1 tan18 tan 27
tan18 tan27 tan18 tan27 1，
所以 1 tan18 1 tan 27 1 tan18 tan 27 tan18 tan 27 1 1 2，正确；
tan tan
D，根据两角差的正切公式： tan 1 tan tan ，
45 , 15 tan 45 tan15 代入 ，可得 tan 45 15 tan 30 ，
1 tan 45 tan15
tan 30 3 , tan 45 1 1 tan15 3再代入 ，有 ，正确.
3 1 tan15 3
10．BC
π
【详解】因为 B ,c 4,b
b c 2
3，所以由正弦定理 得 sinC sin B，
6 sin B sinC 3
所以角 C有两个值，此时符合条件的 ABC有两个，故 A错误；
在 ABC中，由大边对大角知， A B a b，
又由正弦定理得 sin A sinB，故 B正确；
由 a3 b3 c3，得0 a c, 0 b c，则 C是 ABC的最大内角，
a b 2 2 2c2 a2 b2 a2 b2又 ，则 cosC a b c 0，C为锐角，
c c 2ab
ABC是锐角三角形，故 C正确；
b sin B 2 sin B 2 3由正弦定理得 ，
a sin A 3 3
B π b 2 3当 时， 的最大值是 ，故 D错误．
2 a 3
故选：BC．
11．ABC
83
【详解】对于 A，根据题意，得摩天轮轮体的半径为 A 米，
2
b 108 83 133 2π 2π π因此摩天轮轮体的圆心离地 米，周期T 20，则 ，
2 2 T 20 10
h 0 133 83当 t 0时， P位于最低位置，即 25，
2 2
代入 h t Asin t b 25 83 sin 133得 sin 1，
2 2
结合 π
π h t 83sin π t π 133，得 ，因此 0 t 20 ，故 A正确；2 2 10 2 2
2π π
对于 B，36个座舱均匀分布，则相邻座舱间的圆心角差为 ，
36 18
π π
则座舱 R和座舱Q的圆心角差为3 ，
18 6
则有两舱的高度差为 hR h
83 π
Q sin Q sin ，2 Q 6
其中 Q 表示Q在任意时刻 t相对于水平面的相位角（或称旋转角），
83 π π
利用和差化积公式展开得 hR hQ 2cos 2 Q

12
sin ，
12
当 cos
π Q 1，高度差取最大值，
12
83 π 83 6 2 则最大值为 hR hQ 2sin 83 6 2 ，故 B正确；max 2 12 4 4
对于 C，方程 hP hQ hR hQ 等价于 2hQ hP hR 或 hP hR，
考虑 2hQ hP h
π π
R ：即 2sin Q sin Q sin 2 Q ， 6
3 1 1
化简得 2 2
sin Q cos 2 Q tan Q 0， 4 3
当 t 0时， Q 0，因此当 t 0,5 时， Q 0,
π
2
，

因此 tan Q 0，与 tan Q 0矛盾，因此不存在 t 0,5 使得 2hQ hP hR ，
考虑 hP hR：即 sin P sin R ，
其中 P和 R分别表示 P, R在任意时刻 t相对于水平面的相位角（或称旋转角），
2π sin sin 2π π 7π π由于 R P ，代入得 P P ，解得 P 或 P ， P的初始角度为 ，3 3 6 6 2
t 0,5 π因此当 时， P ,0

，则 sin P sin R 无解， 2
因此不存在 t 0,5 使得 hP hR，
即不存在 t 0,5 使得 hP hQ hR hQ ，故 C正确；
对于 D，方程 hP hQ hR hQ 等价于 2hQ hP hR 或 hP hR，
考虑 2hQ hP hR ：即 2sin Q sin π Q sin π 2 Q 6 ，
3
化简得 2 sin
1
Q cos Q tan 1Q ，
2 2 4 3
而在 t 0,20 时， Q 0,2π ，则 tan 1Q 有 2 个解，4 3
考虑 hP hR：即 sin P sin
2π
R ，由于 R P ，3
代入得 sin 2πP sin
π 7π π
P ，解得 P 或 ， P的初始角度为 ， 3 6 P 6 2
t 0,20 π , 3π 因此当 时， P ，则 sin P sin R 有 2 个解， 2 2
因此在摩天轮运行一周的过程中， hP hQ hR hQ 的情形共出现 4 次，故 D错误.
2
12．
9
1 1
tan( ) tan tan
2
【详解】 2 4 .
1 tan tan 1 1 1 9
2 4
13．2
1 2
【详解】因为 AE AB BE AB AD,BF BC CF AD AB，
2 3
1 2 2 2 1 2 1 2 2
则 AE·BF AB AD
2
· AD AB AB· AD AB AD AD· AB A·B AD
2 1
AB AD因为
2 3 3 2 3 3 3 2
π 2 AB 3, BAD ，所以 AB 9, AB·AD AB AD cos BAD
3
AD .
3 2
2 3 2 1 2 2
又 AE·BF 2，所以 AD 9 AD 2，化简得 AD 2 AD 8 0，3 2 3 2

解得 AD 2（负值舍去），即 AD 2 .
14． 3 1 /1 3
1 2 1
【详解】 S BCP BC CPsin 45 BC, S ACP AC CPsin 30
1
AC，
2 4 2 4
2
所以 S ABC BC
1
AC .
4 4
AC CP 2sin
在△ACP中，由正弦定理得 sin 180 sin AC 30 ，化简得 .3 sin cos
BC CP
在 BCP 2 sin 中，由正弦定理得 sin sin 135 ，化简得 BC .cos sin

S 1 sin sin 1
1 1
故 ABC ，2 cos sin

3sin cos 2 1 1 3 1
tan tan
1
令 m，
tan
S 1 1 1 3 1 1则 ABC ·2 m 1 3 m

2 m 1 3 ， m
f m m 1 3 m m2由二次函数性质可知， ( 3 1)m 3，
3 1
函数开口向下，对称轴为m ，
2
2
3 1 3 1 3 1 f m 1 3 3 1 2 3所以当m 时， 取得最大值 ，2 2 2 2 2
3 1
即当m ， S ABC 取最小值，
2
此时 tan
1 2
3 1
m .3 1
故答案为： 3 1
15．(1) 2
(2) ( 3,3)

【详解】（1） A 1,2 ，B 3,4 ， AB (2, 2)

又 c 1, 且c∥AB， 2 2 0, 1

c (1,1), c 2 .

（2）设D(x, y)， AB (2, 2),DC ( 1 x,5 y)
1 x 2 x 3
四边形 ABCD为平行四边形， AB DC , ， .
5 y 2

y 3
故点D的坐标为 ( 3,3) .
16．(1) 2 13
(2) 5 7
14

【详解】（1） a 4， b 2

，且 a 与 b 夹角为60 ， a b a b cos a,b 4 2 cos60 4，
2 2 2 2a b 2a b 4a 4a b b 4 42 4 4 22 2 13；
2 2 2
（2） a b a b a 2a b b 4 2 2 4 2 2 2 7 ，
2 a a b a a b 42 4 20，
a a b
cos a,a 20 5 7 b .
a a b 4 2 7 14
f x 2sin 5π 17．(1) 2x 12
π
(2)（i） kπ,
5π
kπ ,k Z ；（ii）最大值为1，最小值为 2 3 6
f x 3T 11π 7π 【详解】（1）设 的最小正周期为T ，则 ，解得T π，
4 24 24
T 2π所以 π，解得 2 .

由题意知 A 2，所以 f x 2sin 2x ，
f 11π 又 2sin

2
11π
2，
24 24
2 11π π所以 2kπ,k Z
5π
，即 2kπ,k Z ，
24 2 12
又 π π
5π
，所以 ，
12
所以 f x 2sin 2x 5π .
12
7π
（2）（i） g x f x 2cos2x 2sin

2x
π
2cos2x
24 6
3sin2x cos2x 2sin π 2x

，
6
π 2kπ 2x π 3π 2kπ,k Z π 5π由 ，解得 kπ x kπ,k Z ，
2 6 2 3 6
故 g x π kπ, 5π的单调递减区间为 kπ

,k Z . 3 6
π
（ii）设u 2x ，
6
x π ,11π 5π 5π 因为 ，所以u , 2 12 6 3
，

函数 y 2sinu
5π 3π 3π 5π
在 , 上单调递减，在 , 上单调递增， 6 2 2 3
u 5π π π 1当 ，即 x 时， g x g 2 1
6 2 max
，
2 2
u 3π x 5π当 ，即 时， g x 5π g 2 1 2，2 6 min 6
π 11π
故 g x 在 , 上的最大值和最小值分别为1和 2 . 2 12
C π18．(1)
3
(2)6 2 3
4 3
(3) , 2 33

【详解】（1）若m//n ，则 sinC sin B c b sin A a b ,
由正弦定理可得 c b c b a a b ，故 a2 b2 c2 ab，
2 2 2
因此 cosC a b c 1 ,
2ab 2
C 0, π , C π .
3
S 1（2）由（1）可得 a2 b2 12 ab，又 absinC 2 3 ,故ab 8，
2
因此 a2 b2 20 a b 2 20 2ab 36，故 a b 6，
因此周长为 a b c 6 2 3
（3）由于 S
1
absinC 1 ch 3，故
2 2 c ab，4
c a b c sin A 2 c sin B 2
由正弦定理 可得 a c sin A,b c sin BsinC sinC ，sinC sin A sin B 3 3
c 3 2故 c sin A 2 c sin B 3 c ，
4 3 3 sin Asin B
A B 2π B 2π π因为 ，所以 A π
3 3
A
3
，

sin B sin π π A sin π 所以 A ，
3

3
故
c 3 3 2 3 2 3
sin Asin B sin Asin A π 2sin Asin A π cos A A π cos A A π 3 3 3 3
2 3

1
cos 2A
π ,
2 3
π

0 A
2 π π
由于三角形为锐角三角形，故 ,解得 A ，
0 2π π 6 2 A
3 2
2π 2A π 4π cos π 1 1 π 3因此 ，故 2A
1,

，则 cos

2A
1, ，
3 3 3 3 2 2 3 2
1 S ch 2 3 4 3 c , 2 3
因此 2 1 π 3 cos 2A
.
2 3
π kπ π kπ
19．(1) ,1 k Z 或12 2 ,1 k Z 12 2
3037π
(2)
9
7
(3) , 2 32
2π
【详解】（1）因为 f x 2sin 2 x π

1的最小正周期为T 2 ， 6
又因为 f x1 f x f x2 ，且 x1 x
π
2 min ，2
2π
则T π2 ，解得 1，
当 1时， f x 2sin 2x
π
1，
6
π
令 2x kπ k Z π kπ，解得 x k Z ，
6 12 2
所以 f x π kπ 的对称中心为 ,1 k Z ；
12 2
f x 2sin π π当 1时， 2x
1 2sin 2x 1 ，
6 6
令 2x
π π kπ
kπ k Z ，解得 x k Z ，
6 12 2
所以 f x π kπ 的对称中心为 ,1 k Z ；
12 2
综上所述， f x π kπ的对称中心为 ,1 k
π kπ
Z

或 ,1
k Z .
12 2 12 2
π
（2）将函数 f x 图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，
6
则 g x 2sin 2 x
π π
1 ，
6 3
π
因为 x 是 g x 的一个零点，
3
g π 则 2sin
π

π
1 0，即 sin
π π 1
，
3 3 6 3 6 2
π π π 11π
又因为0 5，则 ，
6 3 6 6
π π 7π
可得 ，解得 3，
3 6 6
所以 g x 2sin 6x 5π 2π π 1，最小正周期T .
6 6 3
令 g x 0 5π 1，可得 sin 6x 6 ， 2
6x 5π π 5π 5π则 2k1π或6x 2k2π， k1,k2 Z，6 6 6 6
k π π k π
解得 x 1 或 x 2 ， k1,k2 Z，3 9 3
若函数 g x 在 m,n （m,n R 且m n）上恰好有 2026个零点，
要使 n m最小，则 m、n恰好为 g x 的零点，
故 n m 1013 π 2π 3037π 1012 min .9 9 9
h x 2sin 2x π（3）由题意知

，且 h3 x
2
h x 3 0，

令 t
π
2x ，且m 2sint，则m23 m 3 0，
因为 x
π π
,
π
，则 t , π

12 3 6
，

π m 2sint,
当 t , π 时，满足方程组 的 t值有且仅有四个， 6 m2 m 3 0
π π π
且函数 y 2sint
, 在 6 2
上单调递增，在 ,π 上单调递减， 2
g m m2令 m 3，可得 g m 必有两个相异零点m1，m2，
π
由直线 y m1与 y m

2和 y 2sint， t , π 6
的图象分别有两个交点，

作出直线 y m1与 y m2和 y 2sint
π
， t , π 的图象，如图所示， 6
由图象可得m1 1,2 ，m2 1,2 ，即 g m 在区间 1, 2 上有两个相异零点，
Δ 2 12 0

1

2 7
则满足 2 ，解得 2 3，
g 1 4 0 2

g 2 7 2 0
7
所以

的取值范围是 , 2 3

2

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