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2026年人教版八年级下期中必刷60题
(知识点梳理+四边形+一次函数)
思维导图 · 内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 平行四边形的性质与判定，灵活运用矩形、菱形、正方形的特殊性质解决几何证明与计算。
熟练运用 三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质，构造中位线解决线段长度问题。
理解 图形变换（翻折、平移、对称）在四边形问题中的应用，利用勾股定理、方程思想求线段长。
掌握 一次函数的概念、图象与性质，能根据k,b判断图象位置，会求函数表达式及与坐标轴交点。
会利用 一次函数图象解一元一次方程、不等式（组），解决行程问题中的相遇、追及及最值方案决策。
建立模型 通过实际情境（帐篷采购、直播设备）构建一次函数或方程组，利用不等式求最优化方案。
渗透思想 数形结合、分类讨论、转化思想、将军饮马最值模型在动态几何中的综合运用。
核心聚焦：四边形性质+中位线+一次函数图像与实际应用，夯实几何直观与函数建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）
平行四边形：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；判定：两组对边分别平行/相等，一组对边平行且相等，对角线互相平分。
矩形：平行四边形+一个直角 对角线相等；性质：四个直角，对角线相等且互相平分。常结合翻折、勾股定理求线段。
菱形：平行四边形+一组邻边相等 对角线垂直且平分内角；面积= ·对角线积。菱形周长为4a，对称性高。
正方形：兼具矩形和菱形所有性质，对角线相等且垂直，四边相等四角直角，常用旋转构造全等。
中点四边形：任意四边形中点连线为平行四边形；矩形中点连线为菱形；菱形中点连线为矩形；正方形中点连线为正方形。
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边且等于第三边一半。
☆ 二、一次函数
一次函数概念：形如 （）， 为斜率， 为截距。正比例函数是 的特例。
图象与性质： 图象上升， 下降； 越大越陡。 决定与y轴交点。
待定系数法：已知两点或一点+斜率，列方程组求 。
一次函数与方程、不等式：求 的解 图象与x轴交点；不等式 解集对应图象在x轴上方部分。两个一次函数比较大小转化为图象上下位置。
行程问题图像：s-t 图中，斜率表示速度；交点表示相遇；分段函数表示不同运动状态。
☆ 三、几何计算常用工具
勾股定理：，解决矩形、菱形中对角线、边长的计算。
将军饮马最值模型：利用轴对称将折线段转化为直线段，求PE+PF最小值。
中位线构造：遇中点想中位线或斜边中线，实现线段转移和长度计算。
☆ 知识模块速查表
模块 核心性质/定理 常见题型/方法
平行四边形 对边平行且相等，对角相等，对角线互分 证明平行四边形，利用全等求线段长
矩形 四角直角，对角线相等且互分 翻折问题，勾股定理求对角线，斜边中线
菱形 四边相等，对角线垂直平分且平分内角 求面积，动点最值（垂线段最短）
正方形 四边相等，四角直角，对角线垂直相等 旋转全等，构造等腰直角三角形
中位线定理 两边中点连线平行于第三边且等于第三边一半 求线段长，证明平行或倍分关系
一次函数 ，定方向，定截距 求表达式，图像与坐标轴围成面积，比较大小
一次函数实际应用 行程问题（s-t图），最优方案（费用最小） 识图求速度/相遇时间，建立方程或不等式模型
必刷真题
一．选择题（共22小题）
1．（2026 合肥一模）如图，在 ABCD中，AB＝8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE＝∠DCE，DE＝4，则 ABCD的周长是（　　）
A．22 B．24 C．26 D．28
2．（2026 邵阳校级模拟）如图，在 ABCD中，AB＝12，AD＝5，过点D作DE⊥AB于点E，且BE＝3AE．点P是边AB上的一动点，连接CP，过点D作CP所在直线的垂线，垂足为点F，当点P在边AB上运动时，则DF的最大值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
3．（2026 商水县一模）如图，在 ABCD中，AE：EB＝1：2，若EF＝2，则DF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2026春 江门校级月考）新情境王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
5．（2026 雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，BD⊥AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2026 镜湖区校级模拟）如图，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN，则线段MN的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
7．（2026 呼和浩特模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，取OC中点E，连接DE，取AD中点F，连接EF，若AD＝8，则EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2026春 北碚区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在AB和AD上分别有点M、N，连CM、CN、CA．点B关于CM的对称点H，点D关于CN的对称点G，若H、G刚好邻落在对角线AC上，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026 广州模拟）如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
10．（2026 长安区一模）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
11．（2026 四川校级模拟）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　）
A．2 B． C．4 D．
12．（2026 雁塔区校级三模）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
13．（2026 永川区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，EF⊥CE交AB边于点F，连接CF，EG平分∠CEF交CF于点G．已知AB＝4，则EG＝（　　）
A． B． C． D．
14．（2026春 江津区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，点E是正方形外的一点，DE⊥BE，过点E作EF⊥BD于点F，连接AF、CE．若DE＝3，，则△ADF的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．（2026 建邺区一模）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一条直线l上，且EF，AB＝3，点M、N分别是线段BD和AB的中点，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
16．（2025秋 任城区校级月考）函数y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是关于x的一次函数的条件为（　　）
A．m≠5且n＝﹣2 B．n＝﹣2
C．m且n＝﹣2 D．m
17．（2026 金台区一模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，﹣3），且y的值随x的增大而增大，若点B在该函数的图象上，则点B的坐标可能是（　　）
A．（1，4） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0） D．（4，1）
18．（2025秋 南山区校级期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
19．（2025秋 建湖县期末）已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1
20．（2025秋 萧县期末）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0； ②b＜0； ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
21．（2026春 武侯区校级月考）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为6米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
22．（2025秋 福田区期末）甲、乙两人从A地分别驾车前往B地，A、B两地距离80km．甲因临时处理事务，比乙晚a小时出发，两人均匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离s（单位：km）与乙行驶时间t（单位：h）的关系如图所示，甲的行驶速度为（　　）
A．30km/h B．40km/h C．45km/h D．
二．填空题（共22小题）
23．（2026春 江苏校级月考）如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B的坐标分别为（4，1），（3，2），则点C的坐标为　 　 ．
24．（2026春 宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴负半轴上一点B，使得OA＝OB，以AB，AD为边作 ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为　 　 ．
25．（2026春 铁东区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，B（2，2），若平移点B到点D，使四边形OABD是平行四边形，则点D的坐标是　 　 ．
26．（2025秋 南湖区月考）一副三角板如图叠放，直角顶点F在边AB上，边AC与EF交于点H，边AB与DE交于点G，∠A＝30°，∠D＝45°，若AC＝DE，AC与DE互相平分交于点O，AG＝1，则CH＝ 　 　 ．
27．（2026春 朝阳区校级月考）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且∠AFC＝90°．若AC＝6，DF＝5，则BC的长为　 　 ．
28．（2026春 江都区月考）如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为　 　 ．
29．（2026春 南开区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，则线段DE的长为　 　 ．
30．（2026春 锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为　 　 ．
31．（2026春 甘井子区月考）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝6，AD＝4，则CF的长为 　 　 ．
32．（2026 济源校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点C（3，4），过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥AB于点E，将△OCD沿着x轴正方向平移，当CD边经过点E时，平移的距离为　 　 ．
33．（2026 陕西模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，G是CD边的中点，E为菱形ABCD内一动点，连接CE，AE，GE．CE＝2，点F为CE的中点，连接DF，则AE+DF的最小值为　 　 ．
34．（2026 呼和浩特模拟）如图，菱形ABCD的边长为，对角线BD上有点E和点F，，连接AE，取AE中点M，连接MF，则MF的长为　 　 ．
35．（2026 榆阳区校级一模）如图，在△ABC中，，BC＝4，点D是BC上的动点，连接AD，在AD右侧作菱形ADEF，∠E＝∠BAC，点G是AC的中点，连接FG，则FG的最小值为　 　 ．
36．（2026春 台江区校级月考）如图，正方形ABCD边长为，点E是CD边上一点，且∠ABE＝75°．P是对角线BD上一动点，则的最小值为 　 　 ．
37．（2026春 灞桥区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝4，在三角形ADG中，∠GAD＝30°，动点E、F分别在AG、BC上运动，AE＝CF，求EF的最小值　 　 ．
38．（2026春 宛城区月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为　 　 ．
39．（2025秋 仪征市校级月考）对于三个数a、b、c，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，若，则y的最大值是　 　 ．
40．（2026 海门区二模）已知函数y＝（k﹣1）x+2k﹣1与y＝|x﹣1|，当满足0≤x≤3时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是　 　 ．
41．（2026春 北碚区校级月考）一次函数y＝kx+b和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是　 　 ．
42．（2026 平阴县一模）甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲（km）、y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x＝　 　 h，甲、乙两车相距30km．
43．（2026 滕州市校级模拟）已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法：①A、B两地相距300千米；②两人出发2h时相遇；③乙出发5h到达目的地；④甲骑自行车的速度为60km/h．其中说法正确的是　 　 ．（填序号）
44．（2026 钢城区模拟）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人甲和乙从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设甲行走的时间为x（s），甲和乙行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则甲给客人送餐需要　 　 s．
三．解答题（共16小题）
45．（2026 浔阳区校级一模）在 ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，BE的延长线交CD的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求证：CE⊥BF．
46．（2025秋 桓台县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD，交BE的延长线于点F，连接DF交AC于点G．
（1）判断四边形DBCF的形状，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，，CF＝6．求AD的长．
47．（2026春 同步）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，点G，H分别是AE，BD的中点，连接GH，求GH的长度．
48．（2025秋 桓台县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
49．（2026春 西城区校级月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝16，且，求OB的长．
50．（2026 武威模拟）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝CD，点E在AD上，连接EB，EC交BD于点O．
（1）如图1，若EC⊥BD，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC交BE于点F，若点F是BE的中点，求证：AE＝CD．
51．（2026 兴平市一模）如图，在 ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，∠CDE＝135°，点F在线段BD上，连接CF，DB平分∠ADC，∠FCD＝∠E．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若AB＝4，，求DF的长．
52．（2026 盐亭县一模）如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，，BF的长度为 　 　 ；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
53．（2025春 虞城县期末）已知y关于x的函数解析式为y＝3x﹣2m+1（m为常数）．
（1）若y是x的正比例函数，求m的值；
（2）若m＝5，求该函数图象与x轴的交点坐标．
54．（2026 武威校级模拟）已知一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k，b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为A，求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成三角形的面积．
55．（2026 乐清市校级自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点O关于直线l的对称点．
（1）求点C的坐标．
（2）点D是直线l上的一动点，以CD为边向右作正方形CDEF．
①若点D是线段AB中点，求点F坐标．
②连结AF．若AF＝3AD，求点F的坐标．
56．（2025秋 昔阳县期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点．
（1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解；
（2）求△ABP的面积；
（3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值．
57．（2025秋 萧山区校级月考）已知一次函数y1＝ax+1，其中a≠0．
（1）若点（1，2）在y1的图象上，求a的值；
（2）当﹣3≤x≤2时，若函数有最大值5，求y1的函数表达式；
（3）对于一次函数y2＝2x+2，当x＞0时．y1＜y2都成立，求a的取值范围．
58．（2026 三元区一模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷，若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷1顶，则需2200元；若购买A种型号帐篷1顶和B种型号帐篷3顶，则需3600元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？
59．（2026 赛罕区校级模拟）某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
60．（2026 台州一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示．
（1）完成这个光缆铺设工程用了多少天？
（2）求乙队y关于x的函数关系式．
（3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天？2026年人教版八年级下期中必刷60题
(知识点梳理+四边形+一次函数)
思维导图 · 内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 平行四边形的性质与判定，灵活运用矩形、菱形、正方形的特殊性质解决几何证明与计算。
熟练运用 三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质，构造中位线解决线段长度问题。
理解 图形变换（翻折、平移、对称）在四边形问题中的应用，利用勾股定理、方程思想求线段长。
掌握 一次函数的概念、图象与性质，能根据k,b判断图象位置，会求函数表达式及与坐标轴交点。
会利用 一次函数图象解一元一次方程、不等式（组），解决行程问题中的相遇、追及及最值方案决策。
建立模型 通过实际情境（帐篷采购、直播设备）构建一次函数或方程组，利用不等式求最优化方案。
渗透思想 数形结合、分类讨论、转化思想、将军饮马最值模型在动态几何中的综合运用。
核心聚焦：四边形性质+中位线+一次函数图像与实际应用，夯实几何直观与函数建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）
平行四边形：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；判定：两组对边分别平行/相等，一组对边平行且相等，对角线互相平分。
矩形：平行四边形+一个直角 对角线相等；性质：四个直角，对角线相等且互相平分。常结合翻折、勾股定理求线段。
菱形：平行四边形+一组邻边相等 对角线垂直且平分内角；面积= ·对角线积。菱形周长为4a，对称性高。
正方形：兼具矩形和菱形所有性质，对角线相等且垂直，四边相等四角直角，常用旋转构造全等。
中点四边形：任意四边形中点连线为平行四边形；矩形中点连线为菱形；菱形中点连线为矩形；正方形中点连线为正方形。
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边且等于第三边一半。
☆ 二、一次函数
一次函数概念：形如 （）， 为斜率， 为截距。正比例函数是 的特例。
图象与性质： 图象上升， 下降； 越大越陡。 决定与y轴交点。
待定系数法：已知两点或一点+斜率，列方程组求 。
一次函数与方程、不等式：求 的解 图象与x轴交点；不等式 解集对应图象在x轴上方部分。两个一次函数比较大小转化为图象上下位置。
行程问题图像：s-t 图中，斜率表示速度；交点表示相遇；分段函数表示不同运动状态。
☆ 三、几何计算常用工具
勾股定理：，解决矩形、菱形中对角线、边长的计算。
将军饮马最值模型：利用轴对称将折线段转化为直线段，求PE+PF最小值。
中位线构造：遇中点想中位线或斜边中线，实现线段转移和长度计算。
☆ 知识模块速查表
模块 核心性质/定理 常见题型/方法
平行四边形 对边平行且相等，对角相等，对角线互分 证明平行四边形，利用全等求线段长
矩形 四角直角，对角线相等且互分 翻折问题，勾股定理求对角线，斜边中线
菱形 四边相等，对角线垂直平分且平分内角 求面积，动点最值（垂线段最短）
正方形 四边相等，四角直角，对角线垂直相等 旋转全等，构造等腰直角三角形
中位线定理 两边中点连线平行于第三边且等于第三边一半 求线段长，证明平行或倍分关系
一次函数 ，定方向，定截距 求表达式，图像与坐标轴围成面积，比较大小
一次函数实际应用 行程问题（s-t图），最优方案（费用最小） 识图求速度/相遇时间，建立方程或不等式模型
必刷真题
一．选择题（共22小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C B B D B D D A B
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 D D B D C D A A D C B
一．选择题（共22小题）
1．（2026 合肥一模）如图，在 ABCD中，AB＝8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE＝∠DCE，DE＝4，则 ABCD的周长是（　　）
A．22 B．24 C．26 D．28
【分析】证明BC＝BE，利用勾股定理求得CE的长，作DG⊥CE于点G，求得，利用tan∠DCE＝tan∠GCB，求得，再利用勾股定理求得BC＝5，据此求解即可．
【解答】解：由作图得DE⊥AB，
∵ ABCD，
∴AB∥CD，CD＝AB＝8，AD＝BC，
∴DE⊥CD，∠DCE＝∠BEC，
∴，
∵∠BCE＝∠DCE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE，
如图，作BG⊥CE于点G，
∴，
∵tan∠DCE＝tan∠GCB，
∴，即，
∴，
∴BC5，
ABCD的周长＝2（5+8）＝26．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理，灵活运用以上知识点是解题的关键．
2．（2026 邵阳校级模拟）如图，在 ABCD中，AB＝12，AD＝5，过点D作DE⊥AB于点E，且BE＝3AE．点P是边AB上的一动点，连接CP，过点D作CP所在直线的垂线，垂足为点F，当点P在边AB上运动时，则DF的最大值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【分析】先根据AB＝12和BE＝3AE求出AE＝3，再在Rt△ADE中用勾股定理算出DE＝4，进而得到平行四边形ABCD的面积为48，由此得出△DPC的面积为24；结合DF⊥CP得到，分析可知当CP最小时DF最大，而CP的最小值为BC＝AD＝5，最终求得DF的最大值为．
【解答】解：在 ABCD中，AB＝12，AD＝5，过点D作DE⊥AB于点E，且BE＝3AE．
∴AE+BE＝4AE＝12，
∴AE＝3，
∵DE⊥AB，
在Rt△ADE中，AD＝5，
由勾股定理得：，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴无论P在AB上何处，△DPC的面积始终是平行四边形面积的一半，
∵平行四边形面积S＝AB DE＝12×4＝48，
∴，
又∵DF⊥CP，
∴，
整理得：，
∴要使DF最大，需要CP最小，
建立坐标系可知，点C到直线AB的垂足落在AB的延长线上（超出AB边范围），
因此CP长度随P靠近B点逐渐减小，
当P与B重合时，CP最小，此时CP＝BC＝AD＝5，
将CP最小＝5代入，得．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，正确进行计算是解题关键．
3．（2026 商水县一模）如图，在 ABCD中，AE：EB＝1：2，若EF＝2，则DF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据平行四边形的性质证明△AEF∽△CDF，得到，由CD＝AB，AE：EB＝1：2，得到，即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∵AE：EB＝1：2，即AE：AB＝1：3，
∴，
∵EF＝2，
∴DF＝6．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2026春 江门校级月考）新情境王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可．
【解答】解：A、AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形ABCD是平行四边形；
B、AB∥CD，AD＝BC，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形ABCD是平行四边形；
C、AB＝CD，AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形ABCD是平行四边形；
D、AB∥CD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
5．（2026 雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，BD⊥AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到AD＝DC，根据三角形中位线定理计算得到答案．
【解答】解：∵BC＝12，BF＝4，
∴FC＝BC﹣BF＝12﹣4＝8，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DEFC8＝4．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．（2026 镜湖区校级模拟）如图，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，连接PC，PD，分别取PC，PD的中点M，N，连接MN，则线段MN的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
【分析】连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于E，可得四边形ABEC为矩形，即得BE＝AC＝3，CE＝AB＝4，得到DE＝DB+BE＝5，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到即可．
【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于E，
∵CA⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵DB⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠CAB＝∠ABE＝∠E＝90°，
∴四边形ABEC为矩形，
∴BE＝AC＝3，CE＝AB＝4，
∴DE＝DB+BE＝2+3＝5，
由勾股定理可得，，
∵点M、N分别为PC、PD的中点，
∴MN为△PCD的中位线，
∴．
故选：D．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出MN为△PCD的中位线解答．
7．（2026 呼和浩特模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，取OC中点E，连接DE，取AD中点F，连接EF，若AD＝8，则EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】证明△OCD是等边三角形，结合点E是OC中点，得出DE⊥AC，然后结合点F是AD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，DO＝CO，∠DCB＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠DCA＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∵点E是OC中点，
∴DE⊥AC，
∵点F是AD中点，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
8．（2026春 北碚区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在AB和AD上分别有点M、N，连CM、CN、CA．点B关于CM的对称点H，点D关于CN的对称点G，若H、G刚好邻落在对角线AC上，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用矩形性质和轴对称性质，先求出对角线AC的长度，再根据对称得到对应线段相等，结合勾股定理列方程求出AM、AN的长度，最后在Rt△AMN中用勾股定理计算MN的长度．
【解答】解：连接MH、GN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴，
∵点D关于CN的对称点为G，点B关于CM的对称点为H，
∴MH＝MB，NG＝ND，∠CHM＝∠B＝90°，∠CGN＝∠D＝90°，CH＝CB＝6，CG＝CD＝8，
∴AG＝AC﹣CG＝10﹣8＝2，∠AHM＝∠AGN＝90°，AH＝AC﹣CH＝10﹣6＝4，
设MB＝MH＝x，则AM＝AB﹣MB＝8﹣x，
∵∠AHM＝90°，
∵AM2＝AH2+MH2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝3，
∴AM＝8﹣3＝5，
设ND＝NG＝y，则AN＝AD﹣ND＝6﹣y，
在Rt△ANG中，∠AGN＝90°，
∵AN2＝AG2+NG2，
∴（6﹣y）2＝22+y2，
解得，
∴，
在Rt△AMN中，∠MAN＝90°，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2026 广州模拟）如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2＝∠1，DE＝DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF＝DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可．
【解答】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，
∴DH，
在△ADE和△BDF中
，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．
10．（2026 长安区一模）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
【分析】连接OE，由菱形的性质得AC⊥BD，OD＝OBBD，OC＝OAAC，利用勾股定理可以求得DC的长为5，又因为EF⊥OC，EG⊥OD，可证四边形OFEG为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得GF＝OE，当OE⊥CD时，OE最短，再利用面积法求出OE的长即可求解FG的最小值．
【解答】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，ODBD＝3，OCAC＝4，
由勾股定理得CD5，
又∵EF⊥OC，EG⊥OD，
∴四边形OFEG为矩形，
∴GF＝OE，
当OE⊥CD时，OE值最小，
此时，S△OCDOC ODCD OE，
∴OE2.4，
∴FG的最小值为2.4．
故选：A．
【点评】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2026 四川校级模拟）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【分析】连接DP，连接PF，连接DF，证明MNDF，求出DF的最小值，可得结论．
【解答】解：连接DP，连接PF，连接DF，
∵MA＝CM，EN＝BN，
∴点M在线段PD上，点N在线段PF上，
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，
∴点M是DP中点，点N是PF中点，
∴MN是△PDF的中位线，
∴MNDF，
当DF最小时，MN最小，
DF的最小值为DF垂直BF时，
∵∠DAB＝60°，
∴DF的最小值为4，
∴MN的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
12．（2026 雁塔区校级三模）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
【分析】连接BP，根据菱形周长求出菱形的边长，再根据菱形的面积得出S△APE+S△BPC＝S△ABC＝12，即可求解．
【解答】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴S△APB+S△BPC＝12，
∴，即，
解得．
故选：D．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AB解答．
13．（2026 永川区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，EF⊥CE交AB边于点F，连接CF，EG平分∠CEF交CF于点G．已知AB＝4，则EG＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先利用正方形的性质和相似三角形判定与性质求出 AF 的长，进而利用勾股定理求出CE、EF的长；过点G作GM⊥CE于点M，GN⊥EF于点N，则GM＝GN，利用S△CEF＝S△CEG+S△FEG求出GM的长，在等腰直角三角形中求出EG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD＝AB＝4，∠D＝∠A＝90°，
∵E是AD边的中点，
∴，
∵EF⊥CE，
∴∠CEF＝90°，
∴∠DEC+∠AEF＝90°，
∵∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝AEF，
∴△CDE∽△EAF，
∴，
即，
解得AF＝1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：，
∵EG平分∠CEF交CF于点G，
∴，
过点G作GM⊥CE于点M，GN⊥EF于点N，
∴GM＝GN，
∵S△CEF＝S△CEG+S△FEG，
∴，
∴，
解得，
在Rt△EMG中，∠MEG＝45°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14．（2026春 江津区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，点E是正方形外的一点，DE⊥BE，过点E作EF⊥BD于点F，连接AF、CE．若DE＝3，，则△ADF的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先证明△EDF∽△BDE，得到DE2＝DF BD，而，则，即可求解．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC，BD 互相平分，AC＝BD，AC⊥BD，
∵EF⊥BD，DE⊥BE，
∴∠DEF＝∠DBE＝90°﹣∠FEB，
∵∠EDF＝∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴，
∴DE2＝DF BD，
∴，
∴，
∵DE＝3，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15．（2026 建邺区一模）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一条直线l上，且EF，AB＝3，点M、N分别是线段BD和AB的中点，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接DF交AE于H，连接AD，由四边形DEFO是正方形，EF，可得DF⊥OE，DFEF＝2，即得DHDF＝1＝OH，由勾股定理知AD，再根据三角形中位线定理可得答案．
【解答】解：连接DF交AE于H，连接AD，如图：
∵四边形DEFO是正方形，EF，
∴DF⊥OE，DFEF＝2，
∴DHDF＝1＝OH，
∵四边形ABCO是正方形，
∴AH＝AO+OH＝AB+OH＝3+1＝4，
∴AD，
∵点M、N分别是线段BD和AB的中点，
∴MN是△ABD的中位线，
∴MNAD；
故选：D．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理及应用，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握正方形的性质，求出AD的长度．
16．（2025秋 任城区校级月考）函数y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是关于x的一次函数的条件为（　　）
A．m≠5且n＝﹣2 B．n＝﹣2
C．m且n＝﹣2 D．m
【分析】根据一次函数的定义得到n+3＝1，据此求得n的值．
【解答】解：∵函数y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是关于x的一次函数，
∴n+3＝1且2m﹣1≠0，
解得 n＝﹣2且m．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
17．（2026 金台区一模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，﹣3），且y的值随x的增大而增大，若点B在该函数的图象上，则点B的坐标可能是（　　）
A．（1，4） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0） D．（4，1）
【分析】先根据一次函数的性质确定k＞0，再结合点A（1，﹣3）得到b＝﹣3﹣k，然后将各选项坐标代入解析式，验证k＞0是否成立，从而筛选出符合条件的选项．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b中y随x的增大而增大，
∴k＞0．
∵函数图象经过点A（1，﹣3），
∴k+b＝﹣3，
∴b＝﹣3﹣k．
选项A：（1，4），
将（1，4）代入y＝kx+b，得：k+b＝4，
又k+b＝﹣3，矛盾，故A错误，不符合题意；
选项B：（﹣3，2）
将（﹣3，2）代入y＝kx+b，得：﹣3k+b＝2，
将b＝﹣3﹣k代入，得：﹣3k+（﹣3﹣k）＝2，
﹣4k＝5，
，不符合k＞0，故B错误，不符合题意；
选项C：（﹣1，0）
将（﹣1，0）代入y＝kx+b，得：﹣k+b＝0，
将b＝﹣3﹣k代入，得：﹣k+（﹣3﹣k）＝0，
﹣2k＝3，
，不符合k＞0，故C错误，不符合题意；
选项D：（4，1）
将（4，1）代入y＝kx+b，得：4k+b＝1，
将b＝﹣3﹣k代入，得：4k+（﹣3﹣k）＝1，
3k＝4，
，符合k＞0，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
18．（2025秋 南山区校级期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据给出函数图象确定参数的取值，然后根据参数取值范围确定所求函数图象即可．
【解答】解：∵y随x的增大而减小，
∴k＜0；
∴由k＜0，得y随x的增大而减小；
由﹣k＞0，得直线与y轴交于正半轴；
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想．
19．（2025秋 建湖县期末）已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1
【分析】根据图象可得，两直线交点的横坐标为﹣1，即可得到当y1＜y2时，x的取值范围．
【解答】解：由图象可得，当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，理解题意是解决本题的关键．
20．（2025秋 萧县期末）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0； ②b＜0； ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确；
一次函数y2x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误；
由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误；
当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确；
故选：D．
【点评】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
21．（2026春 武侯区校级月考）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为6米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．
【解答】解：由图可得，
甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；
乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），
a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；
b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；
设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，
两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），
解得m＝55；
两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），
解得m＝65；故④正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，正确记忆相关知识点是解题关键．
22．（2025秋 福田区期末）甲、乙两人从A地分别驾车前往B地，A、B两地距离80km．甲因临时处理事务，比乙晚a小时出发，两人均匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离s（单位：km）与乙行驶时间t（单位：h）的关系如图所示，甲的行驶速度为（　　）
A．30km/h B．40km/h C．45km/h D．
【分析】利用函数图象，先求出乙的速度，再求出b的值，然后求出甲的速度．
【解答】解：由图形可知，乙的速度为：（小时），
∴乙在小时所走路程为：20（km），
∴b＝80﹣20＝60，
∴甲的速度为：40（km/h），
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象的应用，解决问题的关键是学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
二．填空题（共22小题）
23．（2026春 江苏校级月考）如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B的坐标分别为（4，1），（3，2），则点C的坐标为　（﹣1，1）　 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥OC，AB＝OC，先求得A到B的平移方式，即可求解．
【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∵点A，B的坐标分别为（4，1），（3，2），
∴将A向左平移1个单位，向上平移1个单位得到B，
∴将O向左平移1个单位，向上平移1个单位得到C，即C（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质．坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
24．（2026春 宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴负半轴上一点B，使得OA＝OB，以AB，AD为边作 ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为OC≥4　 ．
【分析】如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥直线DE于F，求出EF的长，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点C作CF⊥直线DE于F，
∴∠DEP＝∠F＝90°＝∠AOP，
∵DP＝AP，∠APO＝∠DPE，
∴△APO≌△DPE（AAS），
∴AO＝DE＝2，OP＝PE，∠EDP＝∠PAO，
设点P坐标为（0，m），则OP＝m，
∴OE＝2m，
∴点D（2，2m），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∴∠PAO+∠BAO＝90°＝∠PDE+∠CDF，
∴∠BAO＝∠CDF，
又∵AB＝CD，∠AOB＝∠F，
∴△AOB≌△DCF（AAS），
∴DF＝AO＝2，
∴EF＝4，
∵C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，
则O到这条直线的距离为4，
∴OC长度的取值范围为OC≥4，
故答案为：OC≥4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．（2026春 铁东区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，B（2，2），若平移点B到点D，使四边形OABD是平行四边形，则点D的坐标是　　 ．
【分析】利用平移的性质和平行四边形的判定即可得到结论．
【解答】解：∵点，
∴，
由平移的性质得：BD∥OA，
∵使四边形OABD是平行四边形，
∴，
∵B（2，2），
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，坐标与图形变化﹣平移，掌握其相关知识点是解题的关键．
26．（2025秋 南湖区月考）一副三角板如图叠放，直角顶点F在边AB上，边AC与EF交于点H，边AB与DE交于点G，∠A＝30°，∠D＝45°，若AC＝DE，AC与DE互相平分交于点O，AG＝1，则CH＝ 　　 ．
【分析】连接OF，依题意得点O是DE的中点，AC＝2OA，根据△FDE是等腰直角三角形得OF⊥DE，∠OFD＝∠OFE＝45°，DE＝2OF，由此得OA＝OF，进而得∠OFG＝∠A＝30°，证明∠GOA＝∠A＝30°得OG＝AG＝1，在Rt△FOG中，根据∠OFG＝30°得FG＝2OG＝1，由勾股定理得OF，继而得AC，证明∠AFH＝∠AHF＝75°得AH＝AF，然后根据AH＝AF＝AG+GF＝3即可得出CH的长．
【解答】解：连接OF，如图所示：
∵AC与DE互相平分交于点O，
∴点O是DE的中点，AC＝2OA，
∵△FDE是等腰直角三角形，且∠D＝45°，
∴∠DFE＝90°，DF＝EF，
∴OF⊥DE，∠OFD＝∠OFE＝45°，DE＝2OF，
∴∠FOG＝90°，
∴△FOG是直角三角形，
∵AC＝DE，AC＝2OA，DE＝2OF，
∴OA＝OF，
∴∠OFG＝∠A＝30°，
∴在Rt△FOG中，∠OGF＝90°﹣∠OFG＝60°，
∵∠OGF是△GOA的外角，
∵∠OGF＝∠A+∠GOA，
∴60°＝30°+∠GOA，
∴∠GOA＝30°，
∴∠GOA＝∠A＝30°，
∴OG＝AG＝1，
在Rt△FOG中，∠OFG＝30°，
∴FG＝2OG＝2，
由勾股定理得：OF，
∴OA＝OF，
∴AC＝2OA，
∵∠OFG＝30°，∠OFE＝45°，
∴∠AFH＝∠OFG+∠OFE＝75°，
在△AFH中，∠AHF＝180°﹣（∠A+∠AFH）＝180°﹣（30°+75°）＝75°，
∴∠AFH＝∠AHF＝75°，
∴AH＝AF，
又∵AF＝AG+GF＝1+2＝3，
∴AH＝AF＝3，
∴CH＝AC﹣AH．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活利用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键．
27．（2026春 朝阳区校级月考）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且∠AFC＝90°．若AC＝6，DF＝5，则BC的长为　4　 ．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质求出EF的长，进而求出DE的长，然后根据三角形中位线定理求解即可．
【解答】解：在△AFC中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴，
∴DE＝DF﹣EF＝5﹣3＝2，
∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝2×2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
28．（2026春 江都区月考）如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为　　 ．
【分析】由等边对等角可得∠AFD＝∠DAF，进而由直角三角形两锐角互余可得∠ABF＝∠BFD，即得BD＝DF，得到AD＝BD，即得到，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：∵AD＝DF，
∴∠AFD＝∠DAF，
∵∠AFB＝90°，
∴∠DAF+∠ABF＝∠AFD+∠BFD＝90°，
∴∠ABF＝∠BFD，
∴BD＝DF，
∴AD＝BD，
∴点D是AB的中点，
∵∠AFB＝90°，
∴，
又∵E是AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，线段的和差，直角三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
29．（2026春 南开区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，则线段DE的长为　1cm ．
【分析】延长CD交AB于点F，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠FAD，易证得△ADF≌△ADC（ASA），进而得到AF＝AC＝6cm，CD＝FD，根据DE是△BCF的中位线，进行解答即可．
【解答】解：如图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF＝AC＝6cm，CD＝FD，
∴BF＝AB﹣AF＝8﹣6＝2（cm），
∵E为BC的中点，CD＝FD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴．
故答案为：1cm．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
30．（2026春 锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为　2　 ．
【分析】通过构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度．
【解答】解：如图，延长AC，BE交于点M，
∵AE⊥BE，AE平分∠CAB，
∴BE＝EM，∠ABE＝∠AME，
∴AB＝AM＝10，
又∵F是BC的中点，
∴EF为△BCM的中位线，
∴EFMC（MA﹣CA）＝2．
【点评】本题主要运用角平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理来求解，熟练掌握各知识点是解题的关键．
31．（2026春 甘井子区月考）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若AB＝6，AD＝4，则CF的长为 　　 ．
【分析】证明△ADE是等腰直角三角形得ED＝AD＝4，由此得CE＝2，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得出CF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，AD＝4，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠D＝∠DAB＝∠DCB＝90°，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠DAE∠DAB＝45°，
在△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴ED＝AD＝4，
∴CE＝CD﹣ED＝6﹣4＝2，
在△BCE中，∠DCB＝90°，
∴△BCE是直角三角形，
由勾股定理得：BE，
∵点F为BE的中点，
∴CF是Rt△BCE的斜边BE上的中线，
∴CFBF，
即CF的长为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键．
32．（2026 济源校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点C（3，4），过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥AB于点E，将△OCD沿着x轴正方向平移，当CD边经过点E时，平移的距离为　　 ．
【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，利用勾股定理求出，得到DA＝OA﹣OD＝2，证明出△CEB≌△CDO（HL），得到OD＝BE＝3，AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2，解直角三角形求出，进而求解即可．
【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图，
∵C（3，4），CD⊥OA，
∴OD＝3，CD＝4，∠ODC＝90°，
∴，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠B＝∠COD，OC∥AB，OA＝AB＝BC＝OC＝5，
∴DA＝OA﹣OD＝2，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°＝∠ODC，
∴△CEB≌△CDO（AAS），
∴BE＝OD＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2，
∵OC∥AB，
∴∠COD＝∠EAF，
∴cos∠COD＝cos∠EAF，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当CD边经过点E时，平移的距离为，
故答案为：．
【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质等知识，熟记有关定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
33．（2026 陕西模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，G是CD边的中点，E为菱形ABCD内一动点，连接CE，AE，GE．CE＝2，点F为CE的中点，连接DF，则AE+DF的最小值为　　 ．
【分析】过A作AN⊥CD交CD的延长线于N，判定△DCF≌△ECG（SAS），推出EG＝DF，得到AE+DF＝AE+EG，由含30度角的直角三角形的性质得到，，由勾股定理求出AG，再由AE+EG≥AG，即可得到AE+DF的最小值．
【解答】解：过A作AN⊥CD交CD的延长线于N，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°，
∴∠ADC＝∠B＝120°，AD＝CD＝CE＝2，
∴，
∵F是CE中点，
∴，
∵CG＝1＝CF，∠DCF＝∠ECG，CD＝CE＝2，
∴△DCF≌△ECG（SAS），
∴EG＝DF，
∴AE+DF＝AE+EG，
∵∠ADN＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DAN＝90°﹣60°＝30°，
∴，，
∴NG＝DG+DN＝2，
∴，
∵，
∴，
∴AE+DF的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
34．（2026 呼和浩特模拟）如图，菱形ABCD的边长为，对角线BD上有点E和点F，，连接AE，取AE中点M，连接MF，则MF的长为　　 ．
【分析】连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得出，，勾股定理求出BO＝DO＝6，结合，求出，勾股定理求出，根据点M是AE中点，得出，根据，求出MH，EH，则可求出HF，最后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：过点M作MH⊥BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，
由勾股定理可得，，
∵点M是AE中点，
∴，
由三角函数可知，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，解答．
35．（2026 榆阳区校级一模）如图，在△ABC中，，BC＝4，点D是BC上的动点，连接AD，在AD右侧作菱形ADEF，∠E＝∠BAC，点G是AC的中点，连接FG，则FG的最小值为　　 ．
【分析】过点A作AO⊥BC于点O，取点H为AB的中点，连接DH，证明△AHD≌△AGF，则FG的最小值即为DH的最小值．当HD⊥BC时DH取最小值，证明DH的长为，所以根据勾股定理求出AO的长，则FG的最小值即为的长．
【解答】解：如图，过点A作AO⊥BC于点O，取点H为AB的中点，连接DH，
则，
由条件可知，
在菱形ADEF中，AF＝AD，∠E＝∠DAF，
∵∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠E＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠FAD﹣∠DAC，
即∠HAD＝∠GAF，
∴△AHD≌△AGF（SAS），
∴FG＝DH，
则当HD最小时，FG最小，
如图，当HD⊥BC时，HD取最小值，
由条件可知HB＝HO，
∵HD⊥BO，
∴BD＝DO，
∴，
根据勾股定理可得，
∴，
即FG最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是关键．
36．（2026春 台江区校级月考）如图，正方形ABCD边长为，点E是CD边上一点，且∠ABE＝75°．P是对角线BD上一动点，则的最小值为 　　 ．
【分析】连接AC交BD于点O，过点P作PH⊥BE于点H，过点A作AFPH⊥BE于点F，交BD于点K，先由勾股定理求出OA＝OBAB，再求出∠OAK＝30°，在Rt△OAK中可分别求出OK，AK，进而得BK，在Rt△KBF中，根据∠KBF＝30°得KFBK，由此得AF＝AK+KF，在Rt△PHB中，根据∠PBH＝30°得PHBP，由此得APBP＝AP+PH，因此当AP+PH为最小时，APBP为最小，然后根据“垂线段最短”得AP+PH≤AF，据此即可得出APBP的最小值．
【解答】解：连接AC交BD于点O，过点P作PH⊥BE于点H，过点A作AFPH⊥BE于点F，交BD于点K，如图所示：
∴∠AFB＝∠PHB＝90°，
∴△ABF，△KBF和△PHB都是直角三角形，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为，
∴AB＝AD，∠ABC＝90°，OA＝OB，∠AOB＝90°，∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴△OAB是等腰直角三角形，△OAK是直角三角形，
由勾股定理得：ABOA，
∴OA＝OBAB，
在Rt△ABF中，∠ABE＝75°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABE＝15°，
∴∠OAK＝∠OAB﹣∠BAF＝30°，
在Rt△OAK中，∠OAK＝30°，
∴AK＝2OK，
由勾股定理得：OAOK，
∴OKOA，
∴AK＝2OK，BK＝OB﹣OK，
在Rt△KBF中，∠KBF＝∠ABE﹣∠OBA＝30°，
∴KFBK，
∴AF＝AK+KF，
在Rt△PHB中，∠PBH＝∠ABE﹣∠OBA＝30°，
∴PHBP，
∴APBP＝AP+PH，
∴当AP+PH为最小时，APBP为最小，
根据“垂线段最短”得：AP+PH≤AF，
∴当点P与点K重合时，点H于点F重合，此时AP+PH为最小，最小值为，
∴APBP的最小值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，灵活利用勾股定理计算是解决问题的关键．
37．（2026春 灞桥区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝4，在三角形ADG中，∠GAD＝30°，动点E、F分别在AG、BC上运动，AE＝CF，求EF的最小值　　 ．
【分析】将FC平移，使点F与点E重合，点C与点H重合，连接CH、AH，画射线AM，可得HE＝CF，∠GEH＝∠GAD＝30°，CH＝EF，得∠EAH＝∠EHA＝15°，即得点H在射线AM上运动，可知当CH⊥AM时，CH取最小值，此时EF的值最小，连接AC，可得∠CAH＝60°，得到∠ACH＝30°，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解．
【解答】解：如图，将FC平移，使点F与点E重合，点C与点H重合连接CH、AH，画射线AM，
，
则EH∥FC，EFHC，HE＝CF，
∴四边形EFCH是平行四边形，∠GEH＝∠GAD＝30°，
∴CH＝EF，
∵AE＝CF，
∴HE＝AE，
∴∠EAH＝∠EHA，
∵∠EAH+∠EHA＝∠GEH＝30°，
∴∠EAH＝∠EHA＝15°，
∴点H在射线AM上运动，
∴当CH⊥AM时，CH取最小值，此时EF的值最小，
如图，连接AC，
，
∵正方形ABCD，AB＝4，
∴∠CAD＝45°，，
∠GAD＝30°，∠EAH＝15°，
∴∠DAH＝30°﹣15°＝15°，
∴∠CAH＝45°+15°＝60°，
∴∠ACH＝30°，
，
．
∴EF的最小值为．
故答案为：2．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，属于中档题．
38．（2026春 宛城区月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为　0　 ．
【分析】根据正比例函数的定义，函数形式应为 y＝kx（k≠0），且自变量指数必须为1，因此，需满足|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，计算即可得出结果．
【解答】解：由题意得|m﹣1|＝1，m﹣2≠0，
解|m﹣1|＝1可得m＝2或m＝0，
∵m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
39．（2025秋 仪征市校级月考）对于三个数a、b、c，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，若，则y的最大值是　2　 ．
【分析】设y1＝﹣x+3，y2＝2x，，首先分别联立求出三个函数的交点，然后结合图象求解即可．
【解答】解：如图所示，
设，y1＝﹣x+3，y2＝2x，
当y1＝y3时，，
解得，此时
∴，
当y1＝y2时，﹣x+3＝2x，
解得x＝1，此时y＝2，
∴B（1，2），
当y2＝y3时，，
解得，此时，
∴，
∴由图象可得，当x≤1时，y＝y2＝2x，且y≤2；
当x＞1时，y＝y1＝﹣x+3，且y＜2，
∴y的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，正确地作出图象是解题的关键．
40．（2026 海门区二模）已知函数y＝（k﹣1）x+2k﹣1与y＝|x﹣1|，当满足0≤x≤3时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是　　 ．
【分析】整理一次函数解析式可得其恒过定点，确定y＝|x﹣1|在0≤x≤3上的图象，结合图象找出两个函数存在2个公共点的临界情况，计算得到k的取值范围即可．
【解答】解：整理函数y＝（k﹣1）x+2k﹣1得y＝k（x+2）﹣x﹣1，
当x＝﹣2时，y＝1，因此该一次函数恒过定点（﹣2，1），
当0≤x≤3时，y＝|x﹣1|可分段写为：
，
其图象为折线，端点坐标为（0，1），（1，0），（3，2），
当一次函数过点（1，0）时，将点代入解析式得：
0＝（k﹣1）×1+2k﹣1，
解得，此时两个函数仅有1个公共点，不符合要求，
当k＝1时，一次函数解析式为y＝1，根据函数图象可知，此时两个函数有2个公共点，
当时，两个函数有2个公共点，
因此k满足的条件是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
41．（2026春 北碚区校级月考）一次函数y＝kx+b和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是x≥﹣3　 ．
【分析】根据函数图象即可确定不等式的解集．
【解答】解：由图可知关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键．
42．（2026 平阴县一模）甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲（km）、y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x＝　1.5或4.5或6.5　 h，甲、乙两车相距30km．
【分析】先分别运用待定系数法求得甲、乙两车离M城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式，分两种情况进行解答即可．
【解答】解：甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．
设甲所在的直线为y＝kx，乙所在的直线为y＝mx+n，
将（0，60），（7，480）代入y＝mx+n可得：，
解得：．
∴乙所在直线的表达式为：y＝60x+60（0≤x≤7）；
当x＝3时，y＝60×3+60＝240，
把（3，240）代入y＝kx，得：3k＝240，解得k＝80，
∴甲所在的直线的表达式：y＝80x；
当y＝480时，480＝80x；解得x＝6，
∴甲所在的直线的表达式：y＝80x，其中0≤x≤6；
当0≤x≤6时，甲、乙两车相距30km．则，即|60x+60﹣80x|＝30，
解得x＝1.5或x＝4.5，
当6＜x≤7时，甲、乙两车相距30km．则，即480﹣（60x+60）＝30，
解得x＝6.5，
综上可知，x＝1.5或4.5或6.5时，甲、乙两车相距30km．
故答案为：1.5或4.5或6.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
43．（2026 滕州市校级模拟）已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，下列说法：①A、B两地相距300千米；②两人出发2h时相遇；③乙出发5h到达目的地；④甲骑自行车的速度为60km/h．其中说法正确的是　①②④　 ．（填序号）
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别计算甲、乙两人的速度，以及分析出甲、乙两人的运动状态，从而判断解题．
【解答】解：已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，则：
由函数图象可得，t＝0时，甲乙两人相距300千米，即A、B两地相距300千米，故①正确；
两人出发2h时，甲乙两人之间的距离为0，则说明相遇，故②正确；
∵两人同时出发，乙先到达目的地，
∴甲骑自行车从A地到B地，用了5h，
∴甲骑自行车的速度为300÷5＝60（km/h），故④正确；
∵两人出发2h后相遇，
∴两人速度和为300÷2＝150（km/h），
∴乙骑摩托车的速度为150﹣60＝90（km/h），
∴乙骑摩托车从B地到A地所用时间为，故③错误；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了从函数图象中获取相关信息，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
44．（2026 钢城区模拟）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人甲和乙从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设甲行走的时间为x（s），甲和乙行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则甲给客人送餐需要　45　 s．
【分析】先求出乙送餐所用时间，进而求出点A的坐标，求出甲机器人的速度，再进行计算即可．
【解答】解：由题意，乙机器人刚出发时的速度为30÷（17﹣14）＝10cm/s，
则BC段乙机器人的速度为30cm/s，
∴乙机器人送餐所用时间为17﹣14+（450﹣30）÷30＝17s，
∴A点坐标为（14+17，310），即（31，310），
∴甲机器人的速度为310÷31＝10cm/s，
∴甲给客人送餐需要450÷10＝45s．
故答案为：45．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
三．解答题（共16小题）
45．（2026 浔阳区校级一模）在 ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，BE的延长线交CD的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求证：CE⊥BF．
【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出∠AEB＝∠CBE，再利用已知条件得到AE＝AB，得到∠ABE＝∠AEB，进而得到∠ABE＝∠CBE，由此得到结论BE平分∠ABC；
（2）根据平行四边形的对边平行的性质推出∠A＝∠ADF，∠ABF＝∠F，结合AE＝ED，证明△AEB≌△DEF，得到BE＝EF，由（1）知∠ABF＝∠CBF，得到∠CBF＝∠F，由此BC＝FC，即可得到CE⊥BF
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2AE，
∵AD＝2AB，
∴AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠A＝∠ADF，∠ABF＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
在△AEB与△DEF中，
，
∴△AEB≌△DEF（AAS），
∴BE＝EF，
由（1）知∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠F，
∴BC＝FC，
∴CE⊥BF．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的对边平行的性质推出∠AEB＝∠CBE解答．
46．（2025秋 桓台县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD，交BE的延长线于点F，连接DF交AC于点G．
（1）判断四边形DBCF的形状，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，，CF＝6．求AD的长．
【分析】（1）由平行线的性质推出∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE，判定△FCE≌△BDE（AAS），推出FC＝BD，而FC∥DB，判定四边形DBCF是平行四边形；
（2）由含30度角的直角三角形的性质推出CBAB，由勾股定理得到AB2AB2，求出AB＝8（舍去负值），求出AD＝AB﹣BD＝2．
【解答】解：（1）四边形DBCF是平行四边形，理由如下：
∵FC∥AB，
∴∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴△FCE≌△BDE（AAS），
∴FC＝BD，
∵FC∥DB，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴CBAB，
∵AB2﹣BC2＝AC2，
∴AB2AB2，
∴AB＝8（舍去负值），
由（1）知BD＝CF＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝2．
【点评】本题考查平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，关键是判定△FCE≌△BDE（AAS），推出FC＝BD．
47．（2026春 同步）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，点G，H分别是AE，BD的中点，连接GH，求GH的长度．
【分析】取AB的中点F，连接GF，HF，根据三角形中位线定理证得FG＝FH，∠AFG＝∠BFH＝60°，进而求得∠HFG＝60°，得到△FGH是等边三角形，即可求得GH的长度．
【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴AD＝BE＝3，
取AB的中点F，连接GF，HF，
∵点G，H分别是AE，BD的中点，
∴FG∥BE，FGBE，FH∥AD，FHAD，
∴FG＝FH，∠AFG＝∠ABC＝60°，∠BFH＝∠BAC＝60°
∴∠HFG＝180°﹣∠AFG﹣∠BFH＝60°，
∴△FGH是等边三角形，
∴GH＝FG，
方法二：连接DG并延长到AB交AB于M，
∵D是AC的中点，G是AE的中点，
∴DG∥BC，
∴DM∥BC，
∴AM＝BMAB＝3，
∴AM＝AD，
∴DG＝MG，
∵H是BD的中点，
∴HGBM，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线并证得△FGH是等边三角形是解决问题的关键．
48．（2025秋 桓台县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
【分析】（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．
（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．
【解答】（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EFAB．
又∵ADAB，
∴EF＝AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分，
∴AP＝FP；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC＝10，
∴AEBC＝5．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
49．（2026春 西城区校级月考）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝16，且，求OB的长．
【分析】（1）证明OE是△ABC的中位线得OE∥BC，根据EF⊥BC得EF⊥OE，由此得∠OEF＝∠EFG＝90°，再根据OG⊥BC得∠OGF＝90°，进而得∠OEF＝∠EFG＝∠OGF＝90°，据此可得出结论；
（2）根据菱形性质得BC＝AB＝16，BD＝2OB，OC＝OA，BD⊥AC，证明OE是△ABC的中位线得OE＝8，由此得OC＝OA＝10，在Rt△BOC中，由勾股定理求出OB即可得出OB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，
∵点E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC于点F，
∴EF⊥OE，
∴∠OEF＝∠EFG＝90°，
又∵OG⊥BC于点G，
∴∠OGF＝90°，
∴∠OEF＝∠EFG＝∠OGF＝90°，
∴四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝16，
∴BC＝AB＝16，BD＝2OB，OC＝OA，BD⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∴△BOC是直角三角形，
∵点E是AB的中点，OC＝OA，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OEBC＝8，
∴，，
∴，
∴OA＝10，
∴OC＝OA＝10，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB，
即OB的长为．
【点评】此题主要考查了平行四边形和菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定，勾股定理，理解平行四边形和菱形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，矩形的判定，勾股定理是解决问题的关键．
50．（2026 武威模拟）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝CD，点E在AD上，连接EB，EC交BD于点O．
（1）如图1，若EC⊥BD，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC交BE于点F，若点F是BE的中点，求证：AE＝CD．
【分析】（1）先根据平行线的性质和等边对等角得出∠CDO＝∠EDO，再根据“角边角”证明△EOD≌△COD，可得DE＝DC＝BC，然后证明四边形BCDE是平行四边形，最后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案；
（2）先根据“角角边”证明△AEF≌△CBF，可得AE＝BC，再结合已知条件BC＝CD，可得答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠CBO，
∵BC＝CD，
∴∠CDO＝∠CBO，
∴∠CDO＝∠EDO，
∵EC⊥BD，
∴∠EOD＝∠COD＝90°，
∵DO＝DO，
∴△EOD≌△COD（ASA），
∴DE＝DC＝BC，
∴BC∥DE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵EC⊥BD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∵点F是BE的中点，
∴EF＝BF，
∴△AEF≌△CBF（AAS），
∴AE＝BC，
∵BC＝CD，
∴AE＝CD．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
51．（2026 兴平市一模）如图，在 ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，∠CDE＝135°，点F在线段BD上，连接CF，DB平分∠ADC，∠FCD＝∠E．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若AB＝4，，求DF的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得出∠ADB＝∠CDB，等量代换可得出∠DBC＝∠CDB，则BC＝CD，再求出∠ADC＝2×∠CDB，即可证明．
（2）根据正方形得AB＝AD＝CD＝4和，进一步求得DE和BE＝DE+DB，证明△CDF∽△EBC，即有，求得DF即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB
∴∠DBC＝∠CDB，
∴BC＝CD，
∵∠CDE＝135°，
∴∠CDB＝180°﹣135°＝45°，
∴∠ADC＝2×∠CDB＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB
∴∠DBC＝∠CDB，
∴BC＝CD，
∵∠CDE＝135°，
∴∠CDB＝180°﹣135°＝45°，
∴∠ADC＝2×∠CDB＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，
∴，
∴，，
∵∠FCD＝∠E，∠CDF＝∠CBE＝45°，
∴△CDF∽△EBC，
则，即，
∴．
【点评】本题主要考查特殊四边形，涉及平行四边形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理的应用和相似三角形的判定和性质等知识点，
52．（2026 盐亭县一模）如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，，BF的长度为 　2　 ；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【分析】（1）过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，先证明四边形ABNM，四边形CDMN是矩形，四边形AMEH是正方形，进而得EN＝DM，继而可依据“AAS”判定△ENF和△DME全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）设AM＝EM＝BN＝a，则DM＝AD﹣AM＝2﹣a，在△DME中，由勾股定理可求出a＝1，则AM＝EM＝BN＝a＝1，再根据△ENF和△DME全等得FN＝EM＝1，由此即可得出BF的长；
（3）依题意有以下两种情况：①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，则∠EDC＝60°，在四边形DEFC中，根据四边形的内角和等于360°即可得出∠EFC的度数；②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，先求出∠CED＝105°，进而得∠CEF＝15°，再根据三角形外角性质得∠BCA＝∠CEF+∠EFC，据此可得出∠EFC的度数，综上所述即可得出答案．
【解答】（1）证明：过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠BAD＝∠DAC＝45°，AD∥BC，
∴EN⊥BC，
∴四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形，
∴∠FNE＝∠EMD＝90°，MN＝AB＝AD，AM＝BN，
∴∠1+∠2＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
∵EM⊥AD，∠DAC＝45°，
∴△AME是等腰直角三角形，
∴AM＝EM，
∵MN＝AD，
∴EM+EN＝DM+AM，
∴EN＝DM，
在△ENF和△DME中，
，
∴△ENF≌△DME（AAS），
∴EF＝ED；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝2，
∴AD＝AB＝2，
设AM＝EM＝BN＝a，
∴DM＝AD﹣AM＝2﹣a，
在△DME中，由勾股定理得：EM2+DM2＝DE2，
∴，
整理得：a2﹣2a+1＝0，
解得：a＝1，
∴AM＝EM＝BN＝a＝1，
∵△ENF≌△DME，
∴FN＝EM＝1，
∴BF＝BN+FN＝2，
故答案为：2；
（3）∵点E为对角线AC上一点，
∴线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，有以下两种情况：
①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，如图3①所示：
∴∠EDC＝∠CDA﹣∠ADE＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
在四边形DEFC中，∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF＝360°，
∴∠EFC+90°+60°+90°＝360°，
∴∠EFC＝120°；
②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，如图3②所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°，
在△CDE中，∠CED＝180°﹣（∠CDE+∠DCA）＝180°﹣（30°+45°）＝105°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝105°﹣90°＝15°，
∵∠BCA是△CEF的外角，
∴∠BCA＝∠CEF+∠EFC，
∴45°＝15°+∠EFC，
∴∠EFC＝30°，
综上所述：∠EFC的度数是120°或30°．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键．
53．（2025春 虞城县期末）已知y关于x的函数解析式为y＝3x﹣2m+1（m为常数）．
（1）若y是x的正比例函数，求m的值；
（2）若m＝5，求该函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）由y是x的正比例函数，可得﹣2m+1＝0，再进一步求解即可；
（2）由m＝5，可得y＝3x﹣9．令y＝0，即3x﹣9＝0，从而可得答案．
【解答】解：（1）由条件可知﹣2m+1＝0，
解得．
（2）∵m＝5，则y＝3x﹣9．
令3x﹣9＝0，
解得x＝3，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为（3，0）．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
54．（2026 武威校级模拟）已知一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k，b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点为A，求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成三角形的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）求出A（﹣2，0），然后根据三角形的面积公式求得即可．
【解答】解：（1）由条件可得，
解得：b＝2，k＝1；
（2）由（1）得b＝2，k＝1，即y＝x+2，
把y＝0代入y＝x+2，得0＝x+2，
解得x＝﹣2；
∴A（﹣2，0），
∴图象与坐标轴围成三角形面积为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是关键．
55．（2026 乐清市校级自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点O关于直线l的对称点．
（1）求点C的坐标．
（2）点D是直线l上的一动点，以CD为边向右作正方形CDEF．
①若点D是线段AB中点，求点F坐标．
②连结AF．若AF＝3AD，求点F的坐标．
【分析】（1）先得出△ABO是等腰直角三角形，再证明四边形OACB是正方形，即可解答；
（2）因为D是AB的中点，所以D （2，2），过点D作DM⊥x轴交x轴于点M，过点C作CN⊥MD的延长线于点N，易证△CDN≌△DME（AAS），再过点F作FH⊥x轴，证明△FEH≌△DME，即可解答；
（3）需分（i）当点D在第一象限时，（ii）当点D在第四象限时，两种情况进行解答，方法同（2）即可解答．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+4与x轴交点A的坐标为（4，0），与y轴交点B的坐标为（0，4），
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵点C是点O关于直线l的对称点，
∴四边形OACB是正方形，
∴点C（4，4）；
（2）①由（1）得，A（4，0），B（0，4），
∵D是AB的中点，
∴D （2，2），
过点D作DM⊥x轴交x轴于点M，过点C作CN⊥MD的延长线于点N，
∵∠CDN+∠NCD＝∠CDN+∠MDE＝90°，
∴∠NCD＝MDE，
又∵∠N＝∠DME＝90°，CD＝DE，
∴△CDN≌△DME（AAS），
∴CN＝DM＝2，DN＝EM＝2，
过点F作FH⊥x轴，
同上可证△FEH≌△DME，
∴FH＝ME＝2，EH＝DM＝2，
∴F（6，2）；
②连结AC，BC，
∵∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCF﹣∠DCA，即∠BCD＝∠ACF
又∵CB＝CA，CD＝CF，
∴△BCD≌△ACF（ASA），
∴AF＝BD，
∴BD＝AF＝3AD，
（i）当点D在第一象限时，
ADAB，
∴D（3，1），
由①得CN＝DM＝EH＝1，DN＝ME＝HF＝3，
∴F（7，3）；
（ii）当点D在第四象限时，
∵△BCD≌△ACF，BD＝AF＝3AD，
∴AB＝2AD＝4；
∴AD＝2，
∴DM＝HE＝CN＝2，DN＝FH＝EM＝6，
∴F（10，6）．
【点评】本题考查了求一次函数关系式，正方形性质、全等三角形的判定和性质、三角形等知识，解决问题的关键是准确作出辅助线和较强的计算能力．
56．（2025秋 昔阳县期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点．
（1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解；
（2）求△ABP的面积；
（3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值．
【分析】（1）把点P（1，b）代入y＝2x+1，得b＝3，则P（1，3），由直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，3）可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解；
（2）先求出直线l1：y＝2x+1与x轴的交点A的坐标，再求出直线l2：y＝﹣x+4与x轴的交点B的坐标，然后求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出△ABP的面积；
（3）由题意得，直线x＝a与直线l1的交点C的坐标为（a，2a+1），与直线l2的交点D的坐标为（a，﹣a+4），由CD＝4可得|2a+1﹣（﹣a+4）|＝4，即|3a﹣3|＝4，解方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）由条件可得：b＝2×1+1＝3，
∴P（1，3），
∴方程组的解为，
∴方程组的解为；
（2）对于直线l1：y＝2x+1，
令y＝0，则2x+1＝0，
解得：，
∴，
对于直线l2：y＝﹣x+4，
令y＝0，则﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴B（4，0），
∴，
∴；
（3）∵CD＝4，
∴|2a+1﹣（﹣a+4）|＝4，
即：|3a﹣3|＝4，
解得：或．
【点评】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键．
57．（2025秋 萧山区校级月考）已知一次函数y1＝ax+1，其中a≠0．
（1）若点（1，2）在y1的图象上，求a的值；
（2）当﹣3≤x≤2时，若函数有最大值5，求y1的函数表达式；
（3）对于一次函数y2＝2x+2，当x＞0时．y1＜y2都成立，求a的取值范围．
【分析】（1）把（1，2）代入y1＝ax+1中可求出a的值；
（2）讨论：当a＞0时，根据一次函数的性质得到x＝2时，y＝5，然后把（2，5）代入y1＝ax+1求出a的值，即可得一次函数解析式；当a＜0时，利用一次函数的性质得到x＝﹣3时，y＝5，把（﹣3，5）代入y1＝ax+1求出a的值，即可得一次函数解析式；
（3）结合图象，分两个函数平行和有交点两种情况分析即可．
【解答】解：（1）把（1，2）代入y1＝ax+1得a+1＝2，
∴a＝1．
（2）当a＞0时，y1随x的增大而增大，
∵x＝2时，y＝5，
把（2，5）代入y1＝ax+1得2a+1＝5，
解得：a＝2，
此时一次函数解析式为y1＝2x+1；
当a＜0时，y1随x的增大而减小，
∵当﹣3≤x≤2时，函数有最大值5，即x＝﹣3时，y＝5，
把（﹣3，5）代入y1＝ax+1得﹣3a+1＝5，
解得：，
此时，
综上，一次函数解析式为y1＝2x+1或；
（3）如图：
分为两种情况：①当一次函数y1＝ax+1与一次函数y2＝2x+2的图象没有交点时，
即当一次函数y1＝ax+1与一次函数y2＝2x+2的图象平行时，
满足一次函数y2＝2x+2与y轴的交点在一次函数y1＝ax+1与y轴的交点的上方，
此时y1＜y2，
即a＝2；
②当一次函数y1＝ax+1与一次函数y2＝2x+2的图象有交点时，
若满足两个函数的交点在y轴的左侧，包括y轴，
此时x＞0时，y1＜y2成立，
即a＜2；
综上，a的取值范围为：a≤2且a≠0．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式的关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
58．（2026 三元区一模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷，若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷1顶，则需2200元；若购买A种型号帐篷1顶和B种型号帐篷3顶，则需3600元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？
【分析】（1）设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元，根据题意构造方程组并求解即可；
（2）设购买A种型号帐篷a顶，则购买B种型号帐篷（20﹣a）顶，购买帐篷的总费用为w元，根据题意可得a≤5，计算出w＝﹣400a+20000，结合一次函数的增减性可得，当a＝5时，w取得最小值．
【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元，
根据题意，可列方程：，
解得，
答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元．
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的．
设购买A种型号帐篷a顶，则购买B种型号帐篷（20﹣a）顶，购买帐篷的总费用为w元，
根据题意可得，，且a＞0，
解得0＜a≤5，
w＝600a+1000（20﹣a）＝﹣400a+20000，
∵﹣400＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵0＜a≤5，
∴当a＝5时，w取得最小值﹣400×5+20000＝18000（元）．此时购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶．
答：购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶时，总费用最低．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
59．（2026 赛罕区校级模拟）某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A，B型设备单价分别是多少元；
（2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【分析】（1）设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为1.2x元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台列出方程求解即可；
（2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为1.2x元；
由题意得，，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝240，
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元；
（2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，
∴，
∴20≤a≤60，
由题意得，w＝240a+200（60﹣a）＝40a+12000，
∵40＞0，
∴w随a增大而增大，
∴当a＝20时，w有最小值，最小值为40×20+12000＝12800，
∴w＝40a+12000，最小购买费用为12800元．
【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确进行计算是解题关键．
60．（2026 台州一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示．
（1）完成这个光缆铺设工程用了多少天？
（2）求乙队y关于x的函数关系式．
（3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天？
【分析】（1）由函数图象即可得到答案；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）由原计划甲队y关于x的函数解析式y＝300x，得到300x＝﹣200x+6000，求出x＝12，计算即可得到答案．
【解答】解：（1）由图象得完成这个光缆铺设工程用了14天；
（2）设乙队y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由条件可得：
，
解得，
则乙队y关于x的函数解析式y＝﹣200x+6000（0≤x≤14）；
（3）由条件可得：甲队y关于x的函数解析式y＝300x，
甲、乙两队完成光缆工程需满足300x＝﹣200x+6000，
解得x＝12，
14﹣12＝2（天），
答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是关键．

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