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数 学
注意事项：
1.本试卷共4页，三个大题，满分 120分，考试时间100分钟.
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.
一、选择题(每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.-2的绝对值是( )
A.-2 B.2 C.±2 D.±
2.下列立体图形中，三视图都相同的是( )
3.2026年马年春晚给出了一组极具冲击力的数据：全媒体触达230.63亿次，直播市场份额79.29%，创下自 2013 年以来的新高.请将数据 230.63 亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中含45°角的三角尺的45°角的顶点与含30°角的三角尺的直角的顶点重合.若DE∥BC,则∠ACD的度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
5.如图,在⊙O中,∠OCB=25°,A,B,C三点均在圆上,AB=CB,则∠B的度数为( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
6.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7.若关于x的一元二次方程((x-2)(2x+m)=0有两个相等的实数根,则m的值为( )
A.2 B.4 C.-4 D.
8.截至2026年3月，全球最受欢迎的三部影片分别是《飞驰人生3》《河狸变身计划》《挽救计划》.假设周末电影院轮番播放这三部影片，聪聪和明明两位同学分别准备从这三部影片中选一部观看，他们同时选中《挽救计划》的概率是( )
D.
9.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(2,0),以点O 为圆心,OA长为半径作圆，C是⊙O上一动点，连接BC，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转90°得到BD，连接CD.若点C从点A出发，在⊙O上按照顺时针方向以每秒π/2个单位长度运动，则第2 027秒时，点D的坐标是( )
A.(3,2) B.(2,3) C.(2,1) D.(1,2)
10.如图，在常温(25℃)常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y(℃)与时间x(分钟)近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y(℃)与时间x(分钟)近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃~50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳.若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误 y(℃)的是( )
A.加热6分钟时水沸腾
B.加热4分钟时水温上升了 50℃
C.该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟
D.若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.一件商品标价a元，打八折后售出，则该商品的售价为 元.
12.不等式组 的解集为 .
13.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
项目 甲 乙 丙 丁
平均数(cm) 195 198 198 196
方差 2.8 4.5 6.3 2.8
14.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,分别以点 B 和点 D 为圆心,BA,DA 的长为半径画弧,则图中两个扇形重合部分(阴影部分)的面积为 .
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,E是AB边上一动点,过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE 翻折，点A落在线段AB 上的 F处，连接FC，当△DFC为直角三角形时，AD 的长为
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(10分)(1)计算: (2)化简:
17.(9分)2025年4月 24 日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”.为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了 20名学生的竞赛成绩(满分100分，单位：分)进行整理和分析(成绩共分成五组：A.50≤x<60，B.60≤x<70,C.70≤x<80,D.80≤x<90,E.90≤x<100).
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为54,62,69,75,77,78,87,88,88,88,89,89,89,89,92,95,96,98,98,99.八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74,78,78,78,78,79,85,88,89.
根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图公众号耕耘数学YYDS
七年级学生竞赛成绩频数分布直方图 八年级学生竞赛成绩扇形统计图
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85 88.5 b
八年级 84.8 a 78
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，上述表中a= ，b= ，八年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为 度.
(2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好 写出一条理由.
(3)如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数.
18.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°.
(1)求作：⊙O，使⊙O经过A，C两点，且圆心落在BC边上；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证:AB是(1)中所作⊙O 的切线.
19.(9分)如图,点C在y轴上,点B的坐标为(4,8),将线段BC向下平移,点C与点O重合，点B 的对应点A 恰好落在反比例函数 的图象上,若BC=OC,M为线段OA 的中点.
(1)求k的值;
(2)过点M作直线ME垂直于y轴且与反比例函数 的图象的交点为E，求点E的坐标.
20.(9分)信阳是全国宜居城市，有“江南北国，北国江南”之称.这里青山常绿，绿水长流，茶香四溢，到处充满诗情画意.茗阳阁(如图)是信阳八景之一，它坐落在风景秀丽的狮河之畔，某校数学社团决定利用周末时间开展一次“测量茗阳阁的高度”的课题活动，他们分为两个小组，设计了如下方案：(结果精确到0.01米)
课题：测量茗阳阁的高度
甲组的测量报告 乙组的测量报告
测量工具 卷尺、测角仪 卷尺、平面镜
测量示意图
测量方案与测量数据 先在点 Q处在距离地面1m的D 点用测角仪测出塔顶端A的仰角α=45°,再沿QP 水平方向前进 15.5 m后到达 P处，在距离地面1m的C点测得塔顶端A的仰角β=37° 在M处放一面镜子，小明在P处通过镜子反射刚好看到塔的顶端A，测得身高175cm的小明到平面镜的距离QM=2m
参考数据 5
(1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果.”你认为 (填“甲组”或“乙组”)的测量报告存在问题；
(2)请根据正确的测量报告计算出若阳阁的高度；
(3)“官方”显示，若阳阁的高度为47.05m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.
21.(9分)2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B 型机器人台数 总费用(单位：万元)
2 3 340
3 1 300
信息二
A 型机器人每台每天可分拣快递24万件； B 型机器人每台每天可分拣快递20万件.
(1)求A，B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
22.(10分)已知二次函数 (b,c 为常数)的图象经过点A(2，4)，对称轴为直线
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点B(5，1)向上平移3个单位长度，向左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在 的图象上，求m的值；
(3)当-2≤x≤n时,二次函数 的最大值与最小值的差为 ，直接写出n的取值范围.
23.(10分)综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动.
(1)【操作发现】
第一步:在矩形ABCD中,E是BC边的中点,将△ABE沿AE所在直线折叠,得到△AB'E,延长AB'交CD于点 F.如图1，连接EF，则∠AEF的度数为 ，用等式表示线段AB，EC，FC之间的数量关系：
(2)【类比探究】
第二步：更换另一张矩形纸片，E仍然是BC边的中点，将△ABE沿AE 所在直线折叠，此时点B落在矩形ABCD的外部.如图2，判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明.
(3)【拓展应用】
在矩形ABCD中,若AB=3,AD=4,E是直线BC上的一动点,将△ABE沿AE所在直线折叠,得到△AB'E,连接CB'，请直接写出线段 CB'的最大值与最小值.
数学参考答案
一、选择题.
1. B【解析】-2的相反数是2，所以-2的绝对值是2.
故选 B.
2. D【解析】从正面看、左面看、上面看，只有球的三视图形状相同，都是圆.
故选 D.
3. C 【解析】230.63亿=23 063 000 000=2.3063×10 .
故选 C.
4. A 【解析】∵DE∥BC,
∴∠BCD=∠D=60°,
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=60°-45°=15°.
故选 A.
5. C 【解析】如图,连接AO,BO,
∴OA=OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=25°,∠OAB=∠ABO.
∵AB=BC,OA=OC,OB=OB,
∴△BOA≌△BOC,
∴∠ABO=∠OBC=25°,
∴∠ABC=∠OBC+∠ABO=50°.
故选 C.
6. C 【解析】 故 A 不符合题意；
故 B 不符合题意；
故 C 符合题意；
故 D 不符合题意.
故选 C.
7. C 【解析】(x-2)(2x+m)=0,
解得x=2或
由题可知
∴m=-4.
故选 C.
8. D【解析】设《飞驰人生3》《河狸变身计划》《挽救计划》分别为A，B，C.
列表如下：
A B C
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
由表格知，共有9种等可能的结果，其中聪聪和明明两位同学同时选中《挽救计划》的结果只有(C，C)一种，故聪聪和明明两位同学同时选中《挽救计划》的概率
故选 D.
9. A【解析】如图，点C 沿顺时针方向运动，每秒走π/2个单位长度，则每4秒运动一周.
∵2027÷4=506……3,
∴第2027秒时与第3秒时的位置相同，此时点C在y轴的正半轴上，C(0，1).
过点D作DE⊥x轴,垂足为E,则∠DEB=90°,
∴∠BDE+∠DBE=90°.
由旋转的性质可得BC=BD,∠CBD=90°,
∴∠CBO+∠DBE=90°,
∴∠CBO=∠BDE,
∵∠BOC=∠DEB=90°,
∴△BOC≌△DEB(AAS),
∴OC=EB,BO=DE,
∵A(1,0),B(2,0),
∴OA=OC=1,OB=2,
∴EB=1,DE=2,
∴OE=BO+EB=2+1=3,
∴点D的坐标为(3,2).
故选 A.
10. D 【解析】由题图可知,加热4分钟时,水温上升了75-25=50(℃),
故B正确，不符合题意.
设加热一壶水时，水的温度y(℃)与时间x(分钟)的一次函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将(0，25)和(4,75)代入,得 解得 故加热一壶水时，y与x的函数表达式为y=12.5x+25.当y=100时,12.5x+25=100,解得x=6.故A正确,不符合题意.
设将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式为 (k为常数,且k≠0),
将(6,100)代入 得 解得
当y=40时, 解得x=15,
15-6=9(分钟),
·若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意.
当y=50时, 解得x=12,
当y=30时, 解得x=20,
∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟，
故C正确，不符合题意.
故选 D.
二、填空题.
11.0.8a 【解析】一件商品标价a元,打八折后售出,则该商品的售价为a×0.8=0.8a(元).
12.1≤x<2 【解析】由2x-2≥0,得x≥1;由x-3<-1,得x<2,∴不等式组的解集为1≤x<2.
13.乙【解析】∵乙运动员的成绩的平均数高且方差小，∴若要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比
赛，应选择乙运动员.
【解析】 ∵在菱形 ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,AB=BC=4,AC⊥BD.∴△ABC为等边三角形.
15. 【解析】由翻折的性质,可得AD=FD,∠EFD=∠A.
∴在 Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
设AD=x,则DF=x,CD=8-x.
分两种情况讨论:①当∠DFC=90°时,
∵∠DFC=90°,∴∠AFD+∠BFC=90°,
∴∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
又∠A=∠AFD,∴∠BFC=∠B,∴FC=BC=6,
在 Rt△DFC中,由勾股定理,得 解得
②当∠FCD=90°时,此时点 F与点 B 重合,
则在Rt△FDC中,CF=BC=6,DF=x,CD=8-x,
由勾股定理，得 解得
综合，AD的长为
三、解答题(共8小题)
16.解:(1)原式=4+1-4
=1.
(2)原式
17.解:(1)82 89 54 补图略.
(2)七年级学生的成绩好.
理由：七年级学生成绩的平均数高于八年级学生成绩的平均数，
∴七年级学生的成绩好.
(人).
答：七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为300.
18.解：( 1)①作线段AC的垂直平分线，分别以A，C为圆心，大于 的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，与BC 交于点 O.
②以O为圆心，OC(或OA)为半径作圆，即为所求的 ⊙O.
(2)证明:如图,连接OA.
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠B=∠C=30°.
∴∠BAC=120°.
由作图知OA=OC,
∴∠OAC=∠C=30°.
∴∠BAO=∠BAC-∠OAC=120°-30°=90°,
∴OA⊥AB.又OA为半径,
∴AB是(1)中所作⊙O 的切线.
19.解:(1)由平移可得BC∥OA 且BC=OA,
∴四边形 ABCO 为平行四边形.
又∵OC=BC,
·.四边形ABCO 为菱形.
如图，延长BA交x轴于点G，设菱形的边长为x，则AG=8-x,AO=x,. 点B的坐标为(4,8),
∴OG=4,
在 Rt△AOG 中,由勾股定理,得
解得x=5,
∴AG=8-5=3,
∴A(4,3),
∵反比例函数的图象过点 A，
∴k=4×3=12.
(2)由(1)知反比例函数的解析式为
取 OG的中点N,连接MN,
当y=1.5时, 解得x=8,
∴E(8,1.5).
20.解：( 1)乙组 因为乙组只有两个数据，根据这两个数据可以求出光线与镜面的夹角，故在直角三角形ABM中只能知道一个锐角，一个元素无法求出直角三角形的其他元素，故乙组的测量报告存在问题.
(2)如图,设 CD的延长线交AB于点 E,则CE⊥AB,
由题意,得BE=PC=DQ=1m,∠ADE=α=45°,∠ACE=β=37°,CD=PQ=15.5m,设AE= xm,
在 Rt△AED中,
∴DE=AE= x m,
∴CE=DE+CD=(15.5+x)m,
在Rt△AEC 中,
解得x=46.5,
∴AE=46.5m ,
∵AB=AE+BE=46.5+1=47.5(m).
(3)误差为47.5-47.05=0.45(m),
建议：多次测量求平均值.
21.解：(1)设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
由题意得
解得
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
(2)设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人(12-a)台，
由题意,得80a+60(12-a)≤800,
解得a≤4,
设每天分拣快递w万件，
则w=24a+20(12-a)=24a+240-20a=4a+240,
∴4>0,
∴y随a的增大而增大，当a=4时，w最大，
此时12-a=8,
∵该企业需要购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多.
22.解：(1)∵二次函数的对称轴为直线
∴b=-1,
又该二次函数的图象经过点A(2，4)，
∵2 +1×2+c=4,
解得c=2,
∴二次函数的解析式为
(2)点B(5,1)向上平移3个单位长度,向左平移m(m>0)个单位长度后,得到点(5-m,4),
∵该点在 的图象上，
∴m=3或m=6.
提示：
∴当 时，y取最小值
当x=-2时,y=8.
若 则最大值在x=-2处取得，最小值在x=n处取得，差值为
则 得 得 (舍),
若 则最小值恒为 ，最大值在x=-2或x=n处取得.
当 时，最大值在x=-2处取得，此时y=8，差值为 (舍).
当n>3时，最大值在x=n处取得，此时 差值为
不符合题意.
23.解:(
(2)两个结论仍然成立.
证明：如图，连接EF，
在矩形ABCD中,∠B=∠C=90°,
由折叠的性质可知,△ABE≌△AB'E,
..∠AEB=∠AEB',BE=B'E,∠B=∠AB'E=90°,AB=AB'.
∵E 是 BC的中点,
∴BE=CE=B'E,
在 Rt△B'EF 和 Rt△CEF 中,
∴ Rt△B'EF≌Rt△CEF(HL),
∴∠CEF=∠B'EF,FC=FB',EC=EB',
∵∠AB'E=∠EB'F,
∴△AB'E∽△EB'F,
(3)线段CB'的最小值是2，最大值是8.

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