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2026年湖南长沙市多校联考中考二模九年级数学 试题
一、单选题
1．据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为1573782000000元，数据1573782000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（ ）
A． B． C． D．
3．中国是世界上最早使用正负数，并进行负数运算的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．若微信进账10元记为，那么微信支出6元应记为（ ）．
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．劳动是一个人生存的根本，劳动最光荣，九年级（一）班第一组7名同学一周内参加劳动的时间如下（单位：小时）：5，2，5，3，4，5，6，则下列统计正确的是（ ）
A．中位数是5，众数是5 B．众数是5，平均数是5
C．中位数是5，平均数是5 D．众数是5，中位数是3
6．如图，，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，是的弦，是的直径，与交于点E，点D是劣弧的中点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
9．如图，在中，E为的中点，恰好平分，若，则的周长为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
10．著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（ ）
A．只有一个正实数根 B．有一个正实数根，两个负实数根
C．有两个正实数根，一个负实数根 D．有三个正实数根
二、填空题
11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12．某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为______．
13．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______．
14．如图，中，，，于点D，，则线段AD的长度为______．
15．如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知折叠后的桌面是一个面积为的正方形，则可折叠部分的面积为______．
16．某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失．若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为______元．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
20．“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，）
(1)求BC段的长度（结果保留整数）；
(2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由．
21．为弘扬传统文化，传承国学经典，阳光中学举行了古诗文诵读大赛，其中，“木兰辞”，“满江红”，“少年中国说”，“沁园春·长沙”四个节目获得特等奖．学校打算在这四个节目中选择一个参加长沙市国学经典诵读大赛，校团委和学生会制定了调查问卷，并随机抽取了50份问卷，得到如下待完善的统计图表．（A代表“木兰辞”、B代表“满江红”、C代表“少年中国说”、D代表“沁园春·长沙”）
节目 频数 频率
A 10 0.2
B a 0.3
C 5 b
D 20 c
根据图表中所给信息，解答下列问题：
(1)表中______，______，______；
(2)请补全条形统计图；
(3)为方便节目的排练，陈老师打算从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为节目排练牵头人，请用列表法或画树状图法列举所有等可能的结果，并求甲、乙两位同学都被选中的概率．
22．近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变．在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元．
(1)求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元？
(2)经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50000元，那么A型无人机最多能购买多少架？
23．如图，已知四边形是矩形，连接对角线，的平分线交延长线于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
24．如图，是的直径，弦于点M，点P是延长线上一点，点E，F是上的两点，连接，，，连接并延长交于点N，交延长线于点G，已知是的切线且，．
(1)求证：是的切线；
(2)令，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围）
(3)在点P运动的过程中，是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
25．我们约定：在平面直角坐标系中，当，，，满足，且，则称点与点为一对“归一点”．若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①若点，是一对“归一点”，则，． （ ）
②若点M与点N是一对“归一点”，则的值一定为． （ ）
③一次函数一定是“归一函数”． （ ）
(2)已知反比例函数是“归一函数”，
①求k的取值范围；
②当时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标；
(3)若关于x的二次函数是“归一函数”，求实数a的取值范围．
参考答案
1．B
解：．
2．B
解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
B、球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图均是长方形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
D、四棱锥的主视图和左视图均是三角形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意；
综上，故选B．
3．D
【详解】微信进账10元记为，进账与支出是意义相反的两个量，
微信支出6元应记为．
4．A
解：逐项分析如下：
A.，该项计算正确，符合题意；
B.，该项计算错误，不符合题意；
C.，该项计算错误，不符合题意；
D.，该项计算错误，不符合题意，
综上，选A．
5．A
解：由题意可知，出现次数最多的劳动时间为：5，
∴众数是：5；
平均数为：；
把7名同学的劳动时间从小到大的顺序排列：2、3、4、5、5、5、6，
∴中位数为：5，
故选：A．
6．B
解：如图，过点E作，
∵，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．A
解：
解不等式①，得
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如选项A所示．
8．B
解：连接，
∵点D是劣弧的中点，是的直径，
∴，
，
，
是的直径，，
，
在中，，
∴．
9．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴的周长为．
10．B
解：当时，原方程不成立，
∴，
将方程的常数项移到等式右边，得
，
变形整理得，
在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象如解图，
∵两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点，
∴方程有一个正实数根，两个负实数根．
11．
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
12．200
解：由统计图可知，这50名同学中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为20名，（名），
∴估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为200名．
13．
解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解，
∴，
∴，
∴．
14．3
解：∵在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
∴在Rt△BCD中， BC=2BD=2，
∴在Rt△ABC中，AB=2BC=4，
∴AD=AB-BD=4-1=3，
故答案为3．
15．
【详解】解法一：如解图①，设圆形桌面的圆心为O，连接，
∵正方形的面积为，
∴，
∴为的直径，，
∴，
∴．
解法二：如解图②，设圆形桌面的圆心为O，连接，
∵正方形的面积为，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴
．
16．955
解：根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小．当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为（分钟），当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟），故需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得3人的维修时间等于43分钟或尽可能接近43分钟，可以使得维修时间最短．
第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥，此时损失最小，为（元）；
①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其维修时间．
第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）；
②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间．
第三人可以维修③④⑦号，维修时间是（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）；
③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间．
综上，七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）．
17．
解：原式．
18．，
解：原式，
当时，原式．
19．(1)
(2)
（1）解：由作图痕迹可知平分，，
，
，
．
（2）解：由（1）可知，
，
即是等腰直角三角形，
，
，
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
20．(1)BC段的长度约为140米
(2)小汽车在BC段行驶时没有超速，理由见解析
（1）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（米），
答：段的长度约为140米；
（2）解：小汽车没有超速，理由如下：
小汽车行驶的速度（米/秒），
∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时，
∴小汽车在段行驶时没有超速．
21．(1)15，0.1，0.4
(2)见解析
(3)
（1）解：，，．
（2）解：补全条形统计图如解图；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都被选中的结果有2种，
∴P（甲、乙两位同学都被选中）．
22．(1)1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元
(2)最多能购买2架A型无人机
（1）解：设1架A型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为y元，
由题意得
解得
答：1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元；
（2）解：设购买A型无人机m架，则购买B型无人机架，
由题意得，
解得，
∵m为非负整数，
∴m最大可取2，
答：最多能购买2架A型无人机．
23．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知．，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，由勾股定理得．
24．(1)见解析；
(2)；
(3)为定值，定值为值
【详解】（1）证明：如解图①，连接，，
在与中，
01
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如解图②，连接，，
∵，
∴，
设的半径为r，∵，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
设，由勾股定理得，
∴，
故，
∴
；
（3）解：在点P运动的过程中，为定值，定值为值；
如解图②，连接，
∵，
∴易得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴在点P运动的过程中，为定值．
25．(1)①√，②×，③×
(2)①且；②，
(3)
（1）解：①由题意，得，
解得，①正确；
②设点，，则，则，只有当时，的值才为，②错误；
③假设一次函数：是“归一函数”，点与是一次函数图象上的一对“归一点”，将与代入得
①＋②，得，这与矛盾，③错误．
（2）解：①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”，
则，整理得：，则，
∴，整理得，
∵反比例函数是“归一函数”，
∴x一定存在，即关于x的方程有实数根，
∴，解得，
当时，原方程为，解得，
当时，，与题设矛盾，
∴，
综上所述，结合反比例函数特点可得且；
②设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”，
由①可得，解得，，
当时，，则，，
此时这对“归一点”的坐标为与；
当时，，则，，
即此时这对“归一点”的坐标为与．
综上所述，当时，该函数图象上所有对“归一点”的坐标为与；
（3）解：设点与是二次函数．图象上的一对“归一点”，
分别代入得，，
整理并消去y得．
①当方程有两个相等的解时，，解得，
此时原方程为，解得，
此时，与题设不符，
∴当时，不符合要求；
②当方程有两个不相等的解时，，解得．
综上所述，a的取值范围为．

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