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山东省泰安一中青年路校区2025-2026学年高二4月诊断测试
数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．0
2．曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．已知，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则“”是“，且，恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．集合，，从，中各取一个元素，作为点的坐标，可以得到不同的点的个数是（ ）
A．12 B．11 C．6 D．5
6．已知函数，若且，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：，，所以，，由上述过程，二元函数，则（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．时，取得最大值 B．时，取得极大值
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．当时，函数的最大值为
B．若函数图象的对称中心为，则
C．函数在上一定存在减区间
D．函数必有3个零点
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在上单调递减
C．时，的最小值是0 D．在内有且只有4个极值点
三、填空题
12．给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案.
13．已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______．
14．若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则实数的取值范围是__________．
四、解答题
15．有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加.
(1)只需一人，有多少种不同的选法？
(2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？
(3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？
16．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)，且f(x)的减区间是(0， 4)．
(1)求实数k的值；
(2)当x>k时，求证：2>3－.
17．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
(1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；
(2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.
18．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；
(2)若函数在内不单调，求实数的取值范围.
(3)若在上单调递增，求实数的取值范围.
19．已知函数，是两个不同的正数，且满足.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在闭区间上的最大值为0，求的值；
(3)当时，证明：.
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．B
5．B
6．A
7．D
8．C
9．BC
10．BCD
11．ACD
12．84
13．
14．
15．（1）；
（2）；
（3）.
16．（1）f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x＝3kx， k＞0.
由题意知f′(x)＝0的两根为0和4，故＝4，解得k＝1；
（2）令g(x)＝2＋－3， g′(x)＝－.
令g′(x)＝0，得x＝1.
当x＞1时，g′(x)>0， g(x)＝2＋－3在(1，＋∞)上单调递增．
又因为g(1) ＝0， x＞k＝1，所以g(x)＞0，则2>3－.
17．（1）由题意得，总售价固定为，
当产量不足60万箱时，.
当产量不小于60万箱时，.
则
（2）设，
当时，，令，得，
得在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，由基本不等式有
当且仅当，即时取等号；
又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元
18．（1）因为，
所以，
曲线在处的切线与直线平行，
而直线的斜率为，
所以，得；
（2）已知在内不单调，
即在内有极值点，
令，则，
又，∴，
当时，恒成立，不合题意，
综上，；
（3）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
所以，即，
令，，即，
令，，要使，
只需，解得，
即实数的取值范围是．
19．（1）解：函数的定义域为，，
由，可得，由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1），当时，，在上单调递增，
，∴；
当时，，在上单调递减，，与前提矛盾，舍去；
当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意；
综上，；
（3）【法1】由（1），令，，当时，由，得，整理可得，
，，∴.
要证明，只需证明，
即证，
即证，即，两边取自然对数，即证，
化简转化为要证，
又，即证，
设，，
，
设，，所以在上单调递增，
所以，即，从而在上单调递增，
所以，故原命题成立.
【法2】
由题意，若记，那么，是两根，，可转化为，是两根，
令，，令，，解，；
，，所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，要证，即，只需证，
只需证，
令，，
当时，，，

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