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2026中考数学专项复习 精讲课件
04二次函数综合题（7类）
重难题型突破 精讲课件
类型一　二次函数性质的综合题
类型二　二次函数与线段有关的问题
类型三　二次函数与图形面积有关的问题
类型四　二次函数与特殊三角形存在性问题
类型五　二次函数与特殊四边形存在性问题
类型六　二次函数与相似三角形存在性问题
类型七　二次函数与角度有关的问题
重难题型突破篇
类型一　二次函数性质的综合题
1.二次函数基本性质
(1)对称轴
知识储备
解析式 对称轴
一般式y=ax2+bx+c 直线x=-
顶点式y=a(x-h)2+k 直线x=h
两点式y=a(x-x1)(x-x2) 直线x=
(2)增减性与最值
以y=ax2+bx+c(a>0),m≤x≤n为例.
位置关系 -≥n <-示意图
最大值 ym ym yn yn
最小值 yn 顶点处取得 顶点处取得 ym
总结 a>0时,最大值在离对称轴较远的端点处取得,最小值在另一端点或顶点处取得 2.从含参二次函数看“变”与“不变”
解析式 y=x2-2ax+1 y=ax2-2ax+2
不变的量 ①开口方向、大小(二次项系数为1); ②过定点(0,1) ①对称轴(直线x=1);
②过定点(0,2)与(2,2)
变化的量 对称轴 开口方向、大小
示意图
此外还有其他含参的二次函数解析式,在此不一一列举,同学们可仿照上面思路自己思考.
(2024枣庄)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3
a>0)的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.
(1)求m的值;
(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和;
(3)设y=ax2+bx-3的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)(x1例
1
典题精讲
(1)求m的值;
解:(1)∵点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,
∴4a+2b-3=-3,解得b=-2a,
∴二次函数的表达式为y=ax2-2ax-3,
∴二次函数图象的对称轴为直线x=-=1,
∴m=1.
(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和;
(2)∵点Q(1,-4)在二次函数y=ax2-2ax-3的图象上,∴a-2a-3=-4,解得a=1,
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到的新图象对应的函数表达式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1.
∵0≤x≤4,1>0,∴当x=1时,新的函数有最小值,为1,
当x=4时,新的函数有最大值,为(4-1)2+1=10,
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11.
(3)设y=ax2+bx-3的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)(x1(3)∵y=ax2-2ax-3的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)(x1∴关于x的一元二次方程ax2-2ax-3=0的根为x1,x2,∴x1+x2=2,x1·x2=-.
∵x2-x1=,∴x2-x1==2.
∵41.(2023北京)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c
(a>0)上任意两点,设抛物线的对称轴为直线x=t.
(1)若对于x1=1,x2=2,有y1=y2,求t的值;
(2)若对于0题型精练
解:(1)∵对于x1=1,x2=2有y1=y2,∴抛物线的对称轴为直线x=.
∵抛物线的对称轴为直线x=t,∴t=.
(2)若对于0(2)当0∵y10,
∴点(x1,y1)离对称轴更近,点(x1,y1)与点(x2,y2)的中点在对称轴的右侧.
∴>t,即t≤.
2.(2024安徽)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1.
(1)求b的值.
(2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上.
(Ⅰ)若h=3t,且x1≥0,t>0,求h的值;
(Ⅱ)若x1=t-1,求h的最大值.
解:(1)∵抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为-,抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标为-=1,抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+ 2x的顶点横坐标大1,∴-1=1,解得b=4.
(2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上.
(Ⅰ)若h=3t,且x1≥0,t>0,求h的值;
(2)∵点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,∴y1=-+2x1.
∵点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+4x上,
∴y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t),
∴-+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1+t),
∴h=-t2-2x1t+2x1+4t.
(Ⅰ)∵h=3t,∴3t=-t2-2x1t+2x1+4t,∴t(t+2x1)=t+2x1.
∵x1≥0,t>0,∴t+2x1>0,∴t=1,∴h=3.
(Ⅱ)若x1=t-1,求h的最大值.
(2)∵点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,∴y1=-+2x1.
∵点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+4x上,
∴y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t),
∴-+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1+t),
∴h=-t2-2x1t+2x1+4t.
(Ⅱ)将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t,
得h=-t2-2(t-1)t+2(t-1)+4t=-3t2+8t-2=-3(t-)2+.
∵-3<0,∴当t=,即x1=时,h取得最大值,最大值为.
重难题型突破篇
类型二　二次函数与线段有关的问题
【基本功一】利用坐标表示线段的长
1.已知点A(0,y),B(0,1),用y表示线段AB的长:
(1)若点A在点B的上方,则AB=　　　　;
(2)若点A在点B的下方,则AB=　　　　.
知识储备
y-1
1-y
【基本功二】表示点的坐标
2.如图Z4-1,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,P是抛物线上一点.
(1)若点P的横坐标为t,则点P的坐标可表示为　 　　　;
(2)过点P作PH⊥x轴于点H,设点H的横坐标为t,则点P的
坐标表示为　　 　　;
(3)过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q,设点P的横坐标为t,
则点Q的坐标表示为　　　　;
图Z4-1
(t,t2-4t+3)
(t,t2-4t+3)
(t,-t+3)
(4)过点P作PH⊥x轴于点H,交线段BC于点Q,当H为线段PQ的中点时,点P的坐标为　　　　.
图Z4-1
[解析](4)设P点的坐标为(t,t2-4t+3),
∴Q(t,3-t).
∴3-t=-(t2-4t+3),解得t=2或t=3(不合题意,舍去).
∴点P的坐标为(2,-1).
(2,-1)
【基本功三】将线段的长表示为函数,运用函数的性质解决
3.如图Z4-1,P是第四象限内抛物线y=x2-4x+3上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q,设点P的横坐标为t.
(1)PQ的长用t表示为　　　 ;线段PQ的最大值为　　　.
(2)过点P作PM⊥BC于点M,则PM=　　　PQ,PM的长用t表示为　 　　,
PM的最大值为　　　 .
图Z4-1
-t2+3t
　
(1)[解析] 易知P(t,t2-4t+3),Q(t,3-t),
∴PQ=3-t-(t2-4t+3)=-t2+3t=-(t-)2+(1当t=时,PQ取得最大值为.
　
(-t2+3t)
　
已知:如图Z4-2,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标.
例
2
典题精讲
图Z4-2
(2)(铅垂线段最值)如图Z4-3,在直线AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC于点M,当点N的坐标是多少时,线段MN的长度最大 最大值是多少
(斜化直)如图Z4-3,过点N作NG⊥AC于点G,求线段NG的最大值及此时点G的坐标.
变式
图Z4-3
(3)(线段和最小)如图Z4-4,已知点E(0,3),在直线AC上,是否存在点P,使PB+PE的值最小 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(三角形周长最短)如图Z4-5,若点P在直线y=x+2上,E是直线AC上的动点,F为y轴上的动点,当△EPF周长的最小值为时,求点P的坐标.
图Z4-4
图Z4-5
变式 1
(利用全等转化线段和)如图Z4-6,已知点P(0,4),M是线段AP上的动点,
N是线段AB上的动点,且PM=AN,连接PN,BM,当BM+PN取得最小值时,求点M的坐标.
(4)(胡不归问题)如图Z4-7,在y轴上,是否
存在一点P,使BP+PC的值最小 若存
在,求出点P的坐标,并求出最小值;若不
存在,请说明理由.
变式 2
图Z4-6
图Z4-7
(5)(造桥选址问题)如图Z4-8,M,N为抛物线对称轴上的两个动点(点M在点N上方),且MN=1,连接AM,CN,当AM+MN+NC取得最小值时,求M,N两点的坐标.
(可转化为造桥选址问题)如图Z4-9,点P与点C关于对称轴对称,N是y轴上的一个动点,过点N作抛物线对称轴的垂线,垂足为M,连接NA,MP,求NA+MP的最小值,并直接写出此时点N的坐标.
图Z4-8
变式
图Z4-9
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标.
图Z4-2
解:(1)∵OA=OC=3,
∴A(-3,0),C(0,-3).
将点A(-3,0),C(0,-3)的坐标分别代入y=x2+bx+c,
得解得
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴顶点D的坐标为(-1,-4).
(2)(铅垂线段最值)如图Z4-3,在直线AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴,交AC于点M,当点N的坐标是多少时,线段MN的长度最大 最大值是多少
图Z4-2
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b1,
将点A(-3,0),C(0,-3)的坐标代入,
得解得
∴直线AC的解析式为y=-x-3.
设N(t,t2+2t-3)(-3∵-1<0,-3(斜化直)如图Z4-3,过点N作NG⊥AC于点G,求线段NG的最大值及此时点G的坐标.
变式
图Z4-2
变式　∵OA=OC=3,∴∠OCA=45°.
∵l∥y轴,∴∠NMG=∠OCA=45°.
∴在Rt△MNG中,NG=MN.
∴当MN有最大值时,NG也有最大值.
由(2)知MN的最大值为,
∴NG的最大值为MN=,此时点G的坐标为(-,-).
(3)(线段和最小)如图Z4-4,已知点E(0,3),在直线AC上,是否存在点P,使PB+PE的值最小 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-4
(3)存在.作点E关于直线AC的对称点F,如图①.
∵E(0,3),A(-3,0),C(0,-3),∴OA=OC=OE.
易得△EAC是以A为直角顶点的直角三角形.
∴点E,F关于点A对称.∴F(-6,-3).
连接BF交AC于点P,此时PB+PE的值最小.
易求B(1,0),由点F,点B的坐标易得直线BF的解析式为y=x-,由(2)得lAC:y=-x-3.
由得∴点P坐标为(-,-).
(三角形周长最短)如图Z4-5,若点P在直线y=x+2上,E是直线AC上的动点,F为y轴上的动点,当△EPF周长的最小值为时,求点P的坐标.
图Z4-5
变式 1
变式1　如图②,作点P关于y轴的对称点P1,点P关于直线AC的对称点P2,连接P1P2,交直线AC于点E,交y轴于点F,此时,△EPF的周长取得最小值.
从直线y=x+2以及直线AC的解析式y=-x-3可知直线y=x+2垂直于直线AC,故点P关于AC的对称点P2还在直线y=x+2上.
不妨设点P(m,m+2),P2(x0,x0+2),则PP2的中点在直线AC上,代入可得x0=-m-5.
∴P2(-m-5,-m-3).
∵点P与点P1关于y轴对称,∴P1(-m,m+2).
由题意得P1P2=,
即.
解得m=-1或m=-4(舍去).当m=-1时,点P的坐标为(-1,1).
(利用全等转化线段和)如图Z4-6,已知点P(0,4),M是线段AP上的动点,
N是线段AB上的动点,且PM=AN,连接PN,BM,当BM+PN取得最小值时,求点M的坐标.
变式 2
图Z4-6
变式2　如图③,过点P在y轴左侧作
PK∥x轴,且PK=AP,连接MK,BK,BK
与PA交于点M',∴∠KPM=∠PAN.
∵PM=AN,PK=AP,∴△MPK≌△NAP(SAS).
∴MK=PN.∴PN+BM=MK+BM.
∴当K,M,B三点共线(即点M与点M'重合)时,MK+BM的值最小,即PN+BM的值最小.
∵A(-3,0),P(0,4),∴AP=5=PK.∴K(-5,4).
由K(-5,4),B(1,0)得直线BK的解析式为y=-x+,
同理,得直线AP的解析式为y=x+4,
由得
∴当BM+PN取得最小值时,点M的坐标为(-,).
(4)(胡不归问题)如图Z4-7,在y轴上,是否存在一点P,使BP+PC的值最小 若存在,求出点P的坐标,并求出最小值;若不存在,请说明理由.
图Z4-7
(4)存在.过点P作PQ⊥AC于点Q,如图④.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=45°.
∴△PQC是等腰直角三角形.
∴PQ=PC.
∴BP+PC=BP+PQ.
当BP+PQ的值最小时,BP+PC的值最小,即B,P,Q三点共线时,BP+PC有最小值,如图⑤,此时最小值为BQ的长.
易得OP=OB=1,∴P(0,-1).
在Rt△ABQ中,BQ=AB=×4=2.
∴当点P的坐标为(0,-1)时,BP+PC有最小值,最小值为2.
(5)(造桥选址问题)如图Z4-8,M,N为抛物线对称轴上的两个动点(点M在点N上方),且MN=1,连接AM,CN,当AM+MN+NC取得最小值时,求M,N两点的坐标.
图Z4-8
(5)∵抛物线的解析式为y=x2+2x-3,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1.
∵MN=1,
∴AM+MN+NC取得最小值,即AM+NC取得最小值.
将点C(0,-3)向上平移1个单位长度得E(0,-2),连接EM,如图⑥.
∵CE=MN=1,CE∥MN,
∴四边形CEMN是平行四边形.
∴NC=EM.∴AM+NC=AM+EM.
∴当A,M,E三点共线时,AM+EM的值
最小,即AM+NC的值最小,如图⑦.
易得直线AE的解析式为y=-x-2.
令x=-1,得y=-.∴当AM+MN+NC取得最小值时,M(-1,-),N(-1,-).
(可转化为造桥选址问题)如图Z4-9,点P与点C关于对称轴对称,N是y轴上的一个动点,过点N作抛物线对称轴的垂线,垂足为M,连接NA,MP,求NA+MP的最小值,并直接写出此时点N的坐标.
变式
图Z4-9
变式　∵N是y轴上的动点,NM垂直于对称轴,
∴MN=1,MN∥x轴.
∵点P与点C关于对称轴对称,∴P(-2,-3).
将点P向右平移1个单位长度得H(-1,-3),
连接NH,如图⑧,则MN=PH=1,MN∥PH,
∴四边形PMNH为平行四边形.
∴PM=NH.∴NA+MP=NA+NH.
作点H关于y轴的对称点H',则H'(1,-3),∴NH=NH'.
∴当点A,N,H'三点共线时,NA+NH的值最小,即NA+MP的值最小,如图⑨.
∴AH'==5.
∴NA+MP的最小值为5,此时点N的坐标为(0,-).
(提示:根据A(-3,0),H'(1,-3)的坐标求出直线AH'的解析式
为y=-x-,从而求出点N的坐标)
(2024德阳T24节选)如图Z4-10,抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,
P为抛物线的对称轴上一动点,求PA+PM的最小值.
题型精练
图Z4-10
解:(1)把A(-1,0)代入y=x2-x+c,得0=1+1+c,
解得c=-2,
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.
(2)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,P为抛物线的对称轴上一动点,求PA+PM的最小值.
图Z4-10
(2)∵y=x2-x-2=(x-)2-,
∴抛物线y=x2-x-2的顶点坐标为(,-),对称轴为直线x=.
连接AM,BM,过点A作AH⊥BM于点H,交抛物线的对称轴直线x=于点P',设直线x=交x轴于点N,如图.
在y=x2-x-2中,令y=0,得0=x2-x-2,解得x1=-1,x2=2,
∴B(2,0),∴AB=2-(-1)=3,BN=2-.
∵将抛物线的顶点(,-)向下平移个单位长度得到点M,∴M(,-3),∴MN=3,
∴BM=,∴sin∠BMN=,
∴,∴P'H=P'M,∴P'A+P'M=P'A+P'H=AH.
由垂线段最短可知,当点P与点P'重合时,PA+PM取得
最小值,最小值为线段AH的长度.
∵S△ABM=AB·MN=BM·AH,∴AH=,∴PA+PM的最小值为.
重难题型突破篇
类型三　二次函数与图形面积有关的问题
1.二次函数背景下常见面积求法
知识储备
图Z4-11
2.面积相等问题常用求解策略
(1)直接法:设出动点的坐标,表示出动三角形的面积,列方程求解.
(2)平行法:作平行线,利用“同底等高的两三角形面积相等”,转化求解.
3.面积比问题常用求解策略
(1)分别求出面积,再求比值.
(2)利用“同底(等高)的两三角形的面积比=高(底)之比”,将面积比转化为线段比求解.
已知:如图Z4-12,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,
OA=OC=3.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在直线AC下方的抛物线上是否存在一动点M,使得△ACM的面积最大 若存在,求出△ACM的最大面积及点M的坐标.
例
3
典题精讲
图Z4-12
(3)抛物线上是否存在点N,使得S△ABN=S△ABC 若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-13
(4)抛物线上是否存在点H,使得S△BCH=S△ABC 若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-14
(5)抛物线上是否存在点E,使得BE平分△ABC的面积 若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-15
(1)求此抛物线的解析式.
图Z4-12
解:(1)∵OA=OC=3,∴A(-3,0),C(0,-3).
将A(-3,0),C(0,-3)代入y=x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
(2)在直线AC下方的抛物线上是否存在一动点M,使得△ACM的面积最大 若存在,求出△ACM的最大面积及点M的坐标.
图Z4-12
(2)存在,如图①,过点M作ME⊥x轴于点E,与直线AC交于点F,则ME∥y轴.
设直线AC的解析式为y=kx+b',将A(-3,0),C(0,-3)代入,得解得
∴直线AC的解析式为y=-x-3.
方法1 设M(x,x2+2x-3),则F(x,-x-3).
∵动点M在直线AC下方,
∴-3∴S△AMC=S△AFM+S△CFM=AO·FM=×3×(-x2-3x)=-x2-x
=-(x+)2+.
∵-<0,∴当x=-时,S△AMC有最大值,为,此时点M的坐标为(-,-).
方法2 设直线l:y=-x+k'与y=x2+2x-3有唯一交点M,此时,三角形ACM的面积最大.
∵抛物线与直线l有唯一交点,
∴方程-x+k'=x2+2x-3满足判别式Δ=32-4×1×(-3-k')=0,解得k'=-.
将k'代入方程解得x1=x2=-,∴点M的坐标为(-,-).
易得点F的坐标为(-,-).∴FM=.
∴S△AMC=S△AFM+S△CFM=FM·AO=×3=.
∴△ACM的最大面积是,点M的坐标为(-,-).
(3)抛物线上是否存在点N,使得S△ABN=S△ABC 若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-13
(3)存在,如图②,设N(xN,yN),
则S△ABC=AB·OC,S△ABN=AB·|yN|.
∵S△ABC=S△ABN,∴|yN|=OC=3.∴yN=±3.
①当yN=3时,即x2+2x-3=3,
解得x1=-1+,x2=-1-.∴N1(-1+,3),N2(-1-,3).
②当yN=-3时,由抛物线的对称性得N3(-2,-3).
综上,点N的坐标为(-1+,3)或(-1-,3)或(-2,-3).
(4)抛物线上是否存在点H,使得S△BCH=S△ABC 若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-14
(4)存在,如图③,∵S△BCH=S△ABC,
∴点A,点H到BC的距离相等.∴AH∥BC.
设直线BC的解析式为y=k″x+b″,
将B(1,0),C(0,-3)代入,得
解得
∴直线BC的解析式为y=3x-3.∴设直线AH的解析式为y=3x+m.
把点A(-3,0)的坐标代入,得0=3×(-3)+m,∴m=9.∴y=3x+9.
令x2+2x-3=3x+9,解得x1=4,x2=-3(与点A重合,舍去).
∴yH=42+2×4-3=21.∴点H的坐标为(4,21).
(5)抛物线上是否存在点E,使得BE平分△ABC的面积 若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-15
(5)存在,如图④,当BE平分△ABC的面积时,AF=CF,即F为AC中点.
∵A(-3,0),C(0,-3),∴F(-,-).
设直线BF的解析式为y=k1x+b1,代入点F(-,-),B(1,0)的坐标,得解得
∴直线BF的解析式为y=x-.
联立解得(与点B重合,舍去).
∴点E的坐标为(-,-).
(2024南充T25节选)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图Z4-16,抛物线与y轴交于点C,P为线段OC上一点(不
与端点重合),直线PA,PB分别交抛物线于点E,D,设△PAD的
面积为S1,△PBE的面积为S2,求的值.
题型精练
图Z4-16
解:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得
解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)如图Z4-16,抛物线与y轴交于点C,P为线段OC上一点(不与端点重合),直线PA,PB分别交抛物线于点E,D,设△PAD的面积为S1,△PBE的面积为S2,求的值.
图Z4-16
(2)设P(0,p),直线AP的解析式为y=k1x+b1.
把A(-1,0),P(0,p)代入,得解得
∴直线AP的解析式为y=px+p.
联立解得(不合题意,舍去)或
∴E(3-p,-p2+4p).
同理可得D(,-),
∴S1=S△ABD-S△ABP=AB·(yD-yP)=2(--p)=(3p-p2),
S2=S△ABE-S△ABP=AB·(yE-yP)=2(-p2+4p-p)=2(3p-p2),
∴,即的值为.
重难题型突破篇
类型四　二次函数与特殊三角形存在性问题
“两定一动”型等腰(直角)三角形存在性问题的一般解题策略:
知识储备
问题 (1)已知点A(1,1),B(4,3),点P在x轴上, △ABP是等腰三角形,求点P的坐标 (2)已知点A(1,1),B(5,3),点P在x轴上,
△ABP是直角三角形,求点P的坐标
分类 哪两条边为腰(腰不确定时,需分类 讨论) 哪个角为直角(直角不确定时,需分类
讨论)
代数法 ①用动点的横(或纵)坐标表示出腰长; ②分类列方程求解:AB=AP; BA=BP;PA=PB ①用动点的横(或纵)坐标表示出各边长;
②分类列方程求解:AB2+AP2=BP2;BA2+
BP2=AP2;PA2+PB2=AB2
(续表)
几 何 法 构图 思路 两圆一线
两线一圆
(续表)
几 何 法 运算 构造等腰三角形、直角三角形求点P的坐标
构造一线三垂直相似(或全等)求点P的坐标
提醒:①根据条件取舍方程的解;②直角三角形中也可根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程 问题解决:
(1)已知点A(1,1),B(4,3),点P在x轴上, △ABP是等腰三角形,求点P的坐标
解:(1)方法1 几何法
当AP=AB时,如图①,以点A为圆心,AB长为半径的圆与x轴的交点P1,P2满足题意.
由题意得:AP1=AP2=AB=,
过点A作AH⊥x轴于点H,则AH=1,
∴P1H=P2H==2.
∴P1(1-2,0),P2(1+2,0).
同理可求,P3(2,0),P4(6,0).
如图②,设点P5的坐标为(m,0).
又点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(4,3),
∴AP5=,BP5=.
根据AP5=BP5,可得.
解得m=,∴点P5的坐标为(,0).
∴点P的坐标为(1-2,0)或(1+2,0)或(2,0)或(6,0)或(,0).
方法2 代数法
设点P(x,0),分①AB=AP;②BA=BP;③PA=PB三种情况列方程求解.
(2)已知点A(1,1),B(5,3),点P在x轴上,△ABP是直角三角形,求点P的坐标
(2)方法1 几何法
若∠P1AB=90°,如图③,过点A作y轴的平行线AM,交x轴于点M,过点B作直线AM的垂线,垂足为N,
则△ABN∽△P1AM,∴.
由A(1,1),B(5,3)可得AN=2,BN=4,AM=1,代入上式,可得P1M=,∴OP1=OM+MP1=.∴P1(,0).
若∠P2BA=90°,如图④,过点B作x轴的平行线BE,分别过点
A,P2作BE的垂线,垂足分别为E,F,
则△AEB∽△BFP2,∴.
由A(1,1),B(5,3)可得AE=2,BE=4,P2F=3,代入上式,可得BF=,
∴OP2=5+.∴P2（,0）.
若∠BPA=90°,如图⑤,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为G,H,
则△AGP3∽△P3HB,∴.
由A(1,1),B(5,3)可得AG=1,BH=3.
设GP3=a,则P3H=4-a,代入上式,得,
解得a=1或a=3.∴GP3=1,GP4=3.∴OP3=2,OP4=4.
故P3(2,0),P4(4,0).综上,点P的坐标为(,0)或(,0)或(2,0)或(4,0).
方法2 代数法
设点P(x,0),分①A为直角顶点;②B为直角顶点;③P为直角顶点,分别列方程AB2+AP2=BP2;BA2+BP2=AP2;PA2+PB2=AB2求解.
已知:如图Z4-17,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,
OA=OC=3,顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式和顶点D的坐标.
(2)在y轴上是否存在一点E,使得△ADE是直角三角
形 若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在y轴上是否存在一点F,使得△ADF是等腰三角
形 若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
例
4
典题精讲
图Z4-17
(1)求此抛物线的解析式和顶点D的坐标.
图Z4-17
解:(1)∵OA=OC=3,
∴A(-3,0),C(0,-3).
将(-3,0),(0,-3)代入y=x2+bx+c,
得解得
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3=(x+1)2-4.
∴D(-1,-4).
(2)在y轴上是否存在一点E,使得△ADE是直角三角形 若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-17
(2)存在.设点E的坐标为(0,t).
AD2=[-1-(-3)]2+(-4-0)2=20,
AE2=[0-(-3)]2+(t-0)2=t2+9,
DE2=[0-(-1)]2+[t-(-4)]2=t2+8t+17.
①当∠DAE=90°时,AD2+AE2=DE2,
即20+t2+9=t2+8t+17,解得t=,∴E(0,).
②当∠AED=90°时,AE2+DE2=AD2,
即t2+9+t2+8t+17=20,解得t1=-1,t2=-3,
∴E(0,-1)或E(0,-3).
③当∠ADE=90°时,AD2+DE2=AE2,
即20+t2+8t+17=t2+9,解得t=-,∴E(0,-).
综上,点E的坐标为(0,)或(0,-1)或(0,-3)或(0,-).
(3)在y轴上是否存在一点F,使得△ADF是等腰三角形 若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-17
(3)存在.设点F的坐标为(0,m).
AD==2,
AF=,
DF=.
如图,①当AD=AF时,2,
解得m=±,∴F1(0,),F2(0,-).
②当AD=DF时,2,
解得m1=-4+,m2=-4-.
∴F3(0,-4+),F4(0,-4-).
③当AF=DF时,,解得m=-1,
∴F5(0,-1).
综上,点F的坐标为(0,)或(0,-)或(0,-4+)或(0,-4-)或(0,-1).
(2025淄博二模)如图Z4-18,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(1,0),
B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,连接BC,过抛物线的顶点D作直线l∥x轴,P是直线l上一动点,若满足△PBC为直角三角形,求点P的坐标;
(3)如图②,Q为线段OC上一动
点(不与端点重合),连接AQ并
延长,交抛物线于点E,连接BQ
并延长,交抛物线于点F,设
△EBQ的面积为S1,△FAQ的面积为S2,求的值.
例
5
图Z4-18
(1)求抛物线的解析式;
解:(1)将A(1,0),B(-3,0)分别代入y=-x2+bx+c,
得解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)如图①,连接BC,过抛物线的顶点D作直线l∥x轴,P是直线l上一动点,若满足△PBC为直角三角形,求点P的坐标;
图Z4-18
(2)将x=0代入y=-x2-2x+3,得y=3,∴C(0,3).
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴顶点D的坐标为(-1,4).
设P(m,4).
①当∠PBC=90°时,如图(a),过点P作PM⊥x轴于点M,则M(m,0).
∵∠PBC=∠BOC=90°,
∴∠PBM+∠CBO=90°,∠BCO+∠CBO=90°,
∴∠PBM=∠BCO.
又∵∠PMB=∠BOC=90°,
∴△PMB∽△BOC,
∴,∴,
∴m=-7,∴P(-7,4);
②当∠BPC=90°时,过点B作BE⊥直线l于点E,设直线l与y轴交于点N.
∵∠BPC=∠PNC=90°,
∴∠BPE+∠CPN=90°,∠PCN+∠CPN=90°,
∴∠BPE=∠PCN.
又∵∠BEP=∠PNC=90°,∴△BEP∽△PNC,
∴,∴,
∴m2+3m+4=0.
∵Δ=b2-4ac=32-4×1×4=-7<0,
∴此方程无实数根,∴此时点P不存在;
③当∠PCB=90°时,如图(b),设直线l与y轴交于点N.
∵∠BCD=∠BOC=90°,
∴∠PCN+∠BCO=90°,∠BCO+∠CBO=90°,
∴∠PCN=∠CBO.
又∵∠PNC=∠COB=90°,∴△PNC∽△COB,
∴,∴,
∴m=-1,∴P(-1,4).
综上,点P的坐标为(-7,4)或(-1,4).
(3)如图②,Q为线段OC上一动点(不与端点重合),连接AQ并延长,交抛物线于点E,连接BQ并延长,交抛物线于点F,设△EBQ的面积为S1,△FAQ的面积为S2,求的值.
图Z4-18
(3)设Q(0,t),直线AQ的解析式为y=kx+t.
将A(1,0)代入y=kx+t,得k=-t,
∴直线AQ的解析式为y=-tx+t.
联立
消去y,得-tx+t=-x2-2x+3,整理,得x2+(2-t)x+t-3=0,解得x1=1,x2=t-3.
将x=t-3代入y=-tx+t,得y=-t(t-3)+t=-t2+4t,
∴点E的坐标为(t-3,-t2+4t),
∴S△EBQ=S△EBA-S△QBA=×4×(-t2+4t)-×4×t=-2t2+6t.
设直线BQ的解析式为y=k'x+t.
将B(-3,0)代入y=k'x+t,得k'=,
∴直线BQ的解析式为y=x+t.
联立消去y,得x+t=-x2-2x+3,
整理,得3x2+(t+6)x+3t-9=0,
解得x1=-3,x2=1-.
将x=1-代入y=x+t,得y=(1-)+t=-,
∴点F的坐标为(1-,-),
∴S△FAQ=S△FAB-S△QAB
=×4×(-)-×4×t
=-,
∴=9.
1.(2024达州)如图Z4-19①,抛物线y=ax2+bx-3
与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于
点C,D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图②,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称
轴于点M,若P是直线AC上方抛物线上一点,且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标.
(3)若N是抛物线的对称轴上位于点D上方的一个动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形 若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
题型精练
图Z4-19
(1)求抛物线的解析式.
图Z4-19
解:(1)将A(-3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx-3,得
解得
则抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
(2)如图②,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若P是直线AC上方抛物线上一点,且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标.
图Z4-19
(2)∵y=x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4,∴D(-1,-4),抛物线的对称轴为直线x=-1.
在y=x2+2x-3中,令x=0,则y=-3,∴C(0,-3).
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G,在点C上方取点L,使CL=2CG,过点L作直线LP∥AC交抛物线于点P,如图,则点P即为所求的点.
由A(-3,0),C(0,-3),易得直线AC的解析式为y=-x-3.
∵DG∥AC,D(-1,-4),∴直线DG的解析式为y=-x-5.
在y=-x-5中,令x=0,则y=-5,∴G(0,-5),∴CG=5-3=2,
∴CL=2CG=4,则L(0,1),∴直线LP的解析式为y=-x+1.
联立上式和抛物线的解析式,得x2+2x-3=-x+1,解得x1=1,x2=-4.
当x=1时,y=0;当x=-4时,y=5,∴点P的坐标为(1,0)或(-4,5).
(3)若N是抛物线的对称轴上位于点D上方的一个动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形 若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-19
(3)存在.点N的坐标为(-1,±)或(-1,-3+)或(-1,-1).
[解析]设N(-1,m).
由点A,C,N的坐标,得AC2=18,AN2=4+m2,CN2=1+(m+3)2.
当AC=AN时,18=4+m2,解得m=±,∴N(-1,±);
当AC=CN时,18=1+(m+3)2,
解得m1=-3+,m2=-3-(不合题意,舍去),∴N(-1,-3+);
当AN=CN时,4+m2=1+(m+3)2,
解得m=-1,∴N(-1,-1).
综上所述,存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形,点N的坐标为
(-1,±)或(-1,-3+)或(-1,-1).
2.(2024眉山T26节选)如图Z4-20,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-3,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),点D在抛物线上.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线BC上是否存在点P,使△OPD是以PD为斜边
的等腰直角三角形 若存在,请直接写出点P的坐标;若
不存在,请说明理由.
图Z4-20
解:(1)把点A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)在直线BC上是否存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-20
(2)在直线BC上存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形.点P的坐标为(0,3)或(,)或(,)或(,-).
[解析]在y=-x2-2x+3中,令y=0,得0=-x2-2x+3,
解得x=-3或x=1,∴B(1,0).
由B(1,0),C(0,3)得直线BC的解析式为y=-3x+3,
设P(m,-3m+3),D(n,-n2-2n+3),
过点P作PN⊥y轴于点N,过点D作DM⊥y轴于点M.
①∵OA=OC=3,
∴当点P与点C重合,点D与点A重合时,△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,如图(a).
此时点P(0,3);
②当点P在第一象限,点D在第四象限时,如图(b).
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,
∴OD=OP,∠POD=90°,∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN.
∵∠DMO=90°=∠ONP,∴△DOM≌△OPN(AAS),
∴DM=ON,OM=PN,
∴解得(n应大于0,舍去)或
∴-3m+3=n=,∴点P的坐标为(,);
③当点P在第四象限,点D在第三象限时,如图(c).
同理可得△DOM≌△OPN,∴PN=OM,ON=DM,
同理可得
解得或(n应小于0,舍去),
∴-3m+3=n=,∴点P的坐标为(,);
④当点P在第四象限,点D在第一象限时,如图(d).
同理可得△DOM≌△OPN,∴PN=OM,ON=DM,
解得(n应大于0,舍去)或
∴
∴-3m+3=-n=-,∴点P的坐标为(,-).
综上所述,在直线BC上存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形.点P的坐标为(0,3)或(,)或(,)或(,-).
重难题型突破篇
类型五　二次函数与特殊四边形存在性问题
1.坐标系中的平行四边形
(1)利用平移求点的坐标,原理:平行四边形的对边平行且相等,如图Z4-21①.
即
知识储备
图Z4-21
(2)利用对角线的交点求顶点坐标,原理:平行四边形的对角线互相平分,如图②,O'为对角线AC,BD的中点,故点O'的坐标为(,)或(,).
从而,且.
图Z4-21
2.平行四边形存在性问题类型归纳
(1)已知三定(A,B,C)一动(D),构图如图Z4-22①,常利用平移法或中点坐标公式法求解.
图Z4-22
(2)已知两定(A,B)两动,分两种情况讨论:
①若AB为边,平移AB,确定另外两点位置,如图②;
②若AB为对角线,取AB中点,作过中点的直线确定另外两点的位置,如图③.
图Z4-22
3.矩形存在性问题
思路1:先直角三角形再矩形.
思路2:先平行四边形再矩形.
4.菱形存在性问题
思路1:先等腰三角形再菱形.
思路2:先平行四边形再菱形.
已知:如图Z4-23,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,
与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标.
例
6
典题精讲
图Z4-23
解:(1)∵OA=OC=3,∴A(-3,0),C(0,-3).
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0),C(0,-3),
∴将点A(-3,0),C(0,-3)的坐标分别代入y=x2+bx+c,
得解得∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴顶点D的坐标为(-1,-4).
(2)在抛物线的对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使以A,B,K,L为顶点的四边形是平行四边形,求点K,L的坐标.
图Z4-24
(2)令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,∴B(1,0).∴AB=4.
①若AB为边,则KL∥AB,KL=AB,yK=yL.
(i)若点K在点L的左侧,则xL-xK=4,∴xL=3.
又点L在抛物线y=x2+2x-3上,∴yL=12.∴yK=12.故K(-1,12),L(3,12).
(ii)若点K在点L的右侧,则xK-xL=4,∴xL=-5.
又点L在抛物线y=x2+2x-3上,∴yL=12.∴yK=12.故K(-1,12),L(-5,12).
②若AB为对角线,则点K,L关于x轴对称,且对称中心在对称轴上.
又点L在抛物线上,故点L即为顶点(-1,-4),则K(-1,4).
(3)设抛物线的对称轴与直线AC相交于点M,若在坐标系内有一点E,使以A,M,D,E为顶点的四边形是平行四边形,求点E的坐标.
图Z4-25
(3)由A(-3,0),C(0,-3)的坐标可求直线AC的解析式为
y=-x-3,则M(-1,-2).
∵以A,M,D,E为顶点的四边形是平行四边形,分情况讨论:
设E(xE,yE).
①以AM为对角线,则
故E(-3,2).
②以AD为对角线,则
故E(-3,-2).
③以MD为对角线,则
故E(1,-6).
综上,点E的坐标为(-3,2)或(-3,-2)或(1,-6).
(4)E是y轴上的一个动点,F是坐标平面内的一个动点,是否存在点E,F,使以A,D, E,F为顶点的四边形是矩形 若存在,求出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-26
(4)存在.由前面例4(2)知点E的坐标为(0,)或(0,-1)或
(0,-3)或(0,-).
①当∠ADE=90°时,AE为对角线,E(0,-),
则
故F(-2,).
②当∠DAE=90°时,DE为对角线,E(0,),
则 故F(2,-).
③当∠AED=90°时,AD为对角线,
(i)E(0,-1),则 故F(-4,-3).
(ii)E(0,-3),则 故F(-4,-1).
(5)E是y轴上的一个动点,F是坐标平面内的一个动点,是否存在点E,F,使以A,D, E,F为顶点的四边形是菱形 若存在,求出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-27
(5)存在.由例4(3)知点E的坐标为(0,),(0,-),
(0,-4+)或(0,-4-)或(0,-1).
①当AD=AE时,AD,AE为菱形的两条邻边,E(0,)
或(0,-),
则故或
②当DA=DE时,DA,DE为菱形的两条邻边,E(0,-4+)或(0,-4-),
则故或
③当EA=ED时,EA,ED为菱形的两条邻边,E(0,-1),
则故
(2024泸州T25节选)如图Z4-28,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+
bx+3经过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)C是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C作x轴
的垂线交直线AB于点D,在y轴上是否存在点E,使得以
B,C,D,E为顶点的四边形是菱形 若存在,求出该菱形的
边长;若不存在,说明理由.
题型精练
图Z4-28
(1)求该抛物线的解析式.
图Z4-28
解:(1)由题意,得解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)C是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形 若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由.
图Z4-28
(2)存在.
在y=-x2+2x+3中,令x=0,则y=3,
∴B(0,3).
由点A,B的坐标,可得直线AB的解析式为y=-x+3.
设C(x,-x2+2x+3),其中0∴CD=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x.
当BC为边时,对应菱形为BCDE,如图,
则BC=CD,即=-x2+3x,
解得x=0(不合题意,舍去)或x=2,
∴CD=2,即菱形的边长为2.
当BC为对角线时,对应菱形为BDCE',则BD=CD,即=-x2+3x,解得x=0(不合题意,舍去)或x=3+(不合题意,舍去)或x=3-,
∴CD=3-2,即菱形的边长为3-2.
综上,菱形的边长为2或3-2.
重难题型突破篇
类型六　二次函数与相似三角形存在性问题
构造相似三角形的基本思路是先定角,再定边.
确定相等的角后,可以根据另一组角相等,结合条件分情况求解,也可以将夹着等角的两边作为相似三角形的对应边,分情况进行求解.
知识储备
已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.
(1)如图Z4-29,P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合),过点P作PH⊥x轴于点H,是否存在这样的点P,使得△PAH和△OBC相似 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)如图Z4-30,在线段AC上是否存
在一点M(不与点A,C重合),使得
△AOM和△ABC相似 若存在,求出
点M的坐标;若不存在,请说明理由.
例
7
典题精讲
图Z4-29
图Z4-30
(1)如图Z4-29,P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合),过点P作PH⊥x轴于点H,是否存在这样的点P,使得△PAH和△OBC相似 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-29
解:(1)存在.在y=x2+2x-3中,令x=0,则y=-3,
∴C(0,-3),∴OC=3;
令y=0,则x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),B(1,0),∴OB=1.
设P(t,t2+2t-3),则H(t,0),
∴PH=|t2+2t-3|,AH=|t+3|.
∵PH⊥x轴,∴∠PHA=∠COB=90°.
又∵△PAH和△OBC相似,分以下两种情况:
①若△PAH∽△CBO,则,
∴,∴PH=3AH,即|t2+2t-3|=3|t+3|,
解得t=4或t=-3(舍去)或t=-2.
②若△PAH∽△BCO,则,∴,∴AH=3PH,
即|t+3|=3|t2+2t-3|,
解得t=或t=-3(舍去)或t=.
综上所述,点P的坐标为(4,21)或(-2,-3)或(,)或(,-).
(2)如图Z4-30,在线段AC上是否存在一点M(不与点A,C重合),使得△AOM和△ABC相似 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-30
(2)存在.
由A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),
得AB=4,AC=3,BC=,AO=3,
直线AC的解析式为y=-x-3.
①当△AOM∽△ABC时,则,即,∴AM=.
过点M作MN⊥x轴于点N.
由OA=OC=3得∠OAC=45°,则AN=MN=AM,∴AN=,∴ON=,即xM=-.
把x=-代入y=-x-3,得y=-,∴M(-,-).
②当△AMO∽△ABC时,则,即,得AM=2.
过点M作ML⊥x轴于点L.
同①可得AN=2,∴ON=1,∴xM=-1.把x=-1代入y=-x-3,得y=-2,∴M(-1,-2).
综上所述,点M的坐标为(-,-)或(-1,-2).
(2024内江T28节选)如图Z4-31,在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交AB于点E.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似 若存在,请求
出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
题型精练
图Z4-31
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
图Z4-31
解:(1)在y=-2x+6中,令y=0,
则-2x+6=0,解得x=3;
令x=0,则y=6,
∴A(3,0),B(0,6).
把A(3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c,
得解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+x+6.
(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似 若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-31
(2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似.
∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC,
∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE.
①如图①,当△ACE∽△BDE时,
∠BDE=∠ACE=90°,
∴BD∥AC,∴点D的纵坐标为6.
在y=-x2+x+6中,令y=6,则-x2+x+6=6,
解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1,∴D(1,6).
②如图②,当△ACE∽△DBE时,∠BDE=∠CAE.
过点B作BH⊥DC于点H,则∠BHD=90°,
∴=tan∠BDE=tan∠CAE=.
∵A(3,0),B(0,6),∴OA=3,OB=6.
设D(t,-t2+t+6),则H(t,6),∴BH=t,DH=-t2+t,
∴=2,解得t1=0,t2=.
经检验,t1=0不是所列方程的解,t2=是所列方程的解,∴D(,).
综上所述,点D的坐标为(1,6)或(,).
重难题型突破篇
类型七　二次函数与角度有关的问题
1.角度为特殊角时
(1)若探究特殊角(30°,45°,90°,120°等),可构造“K”形全等或相似.特别地,角度为45°时,可利用圆周角定理转化成圆心角为90°的角.
(2)若探究角度为90°,可直接利用勾股定理求解,或利用直径所对的圆周角是直角作圆找到点,再构造一线三垂直求解.
知识储备
2.等角问题
(1)平行:两直线平行,同位角、内错角相等;
(2)角平分线:角平分线分的两个角相等;
(3)等腰三角形:等边对等角;
(4)全等(相似)三角形:对应角相等;
(5)三角函数:若两个锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等;
(6)圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.
3.倍半角问题
思路 图示
构造半角
tan α=　tan
构造二倍角
(续表)
思路 图示
等腰三角 形的外角
角平分线 +平行线
如图Z4-32,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C.
(1)若F是抛物线对称轴上一点,当∠AFC=90°时,求点F的坐标.
(2)若N为抛物线上一点,当∠NBA=30°时,求点N的横坐标.
例
8
典题精讲
图Z4-32
(3)如图Z4-33,已知点Q(0,1),M是抛物线上一动点,是否存在点M使得∠MBQ=
45° 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-33
(4)D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点,F(x,y)是抛物线上的动点,当∠AEF=
∠DBE时,求点F的坐标.
(5)设M为抛物线上的一点,若∠MAB=2∠ACO,求点M的坐标.
图Z4-34
(1)若F是抛物线对称轴上一点,当∠AFC=90°时,求点F的坐标.
图Z4-32
解:(1)易知A(-1,0),B(3,0),C(0,3),抛物线的对称轴为直线x=1,连接AC.
设F(1,n),则AF2=4+n2,CF2=1+(n-3)2,AC2=10,
∵∠AFC=90°,
∴AF2+CF2=AC2.
∴4+n2+1+(n-3)2=10,
解得n=1或n=2,
∴点F的坐标为(1,1)或(1,2).
(2)若N为抛物线上一点,当∠NBA=30°时,求点N的横坐标.
图Z4-32
(2)分两种情况:当点N在x轴上方时,设BN与y轴交于点K,
∵B(3,0),∠NBA=30°,∴OK=OB=.∴K(0,).
∴直线BN的解析式为y=-x+.
令-x2+2x+3=-x+,解得x=3(舍去)或x=-1+;
当点N在x轴下方时,同理可得,点N的横坐标为-1-.
综上,点N的横坐标为-1+或-1-.
(3)如图Z4-33,已知点Q(0,1),M是抛物线上一动点,是否存在点M使得∠MBQ=
45° 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图Z4-33
(3)存在.分两种情况:
如图①②,过点M作MI⊥BQ于点I.易知△MBI是等腰直角三角形,分别过点M,I作y轴,x轴的垂线GM,IG.GM交IG于点G,IG交x轴于点H.
∵点B(3,0),Q(0,1),∴直线BQ的解析式为y=-x+1.
设点I(m,-m+1),则点H(m,0).
①如图①,当点M位于直线BQ上方的抛物线上时,易证△BHI≌△IGM,∴BH=IG,IH=MG.
∴G(m,4-),M(+1,4-).
把点M的坐标代入y=-x2+2x+3中,解得m1=3,m2=0.
当m=3时,点M(3,0)与点B重合,舍去,
当m=0时,点M(1,4).
②如图②,当点M位于直线BQ下方的抛物线上时,
易证△BHI≌△IGM.同理解得点M(-,-).
综上所述,点M的坐标为(1,4)或(-,-).
(4)D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点,F(x,y)是抛物线上的动点,当∠AEF=
∠DBE时,求点F的坐标.
(4)∵A(-1,0),B(3,0),E是AB的中点,∴E(1,0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴D(1,4).
方法1 构造平行线
考虑到A,E,B三点均在x轴上,故可构造EF∥BD即可得角相等.
过点E作EF∥BD交抛物线于点F,如图③.
由B(3,0),D(1,4)易得直线BD的解析式为y=-2x+6,∴直线EF的解析式为y=-2x+2.
令-x2+2x+3=-2x+2,解得x1=2-,x2=2+(不符合题意,舍去).
故点F的坐标为(2-,-2+2).
将直线EF沿x轴翻折,得到EF',与抛物线交于点F',如图④.
则直线EF'的解析式为y=2x-2.
令-x2+2x+3=2x-2,解得x1=-,x2=(不符合题意,舍去).
故点F的坐标为(-,-2-2).
综上,点F的坐标为(2-,-2+2)或(-,-2-2).
方法2 借助三角函数值求解
设点F的坐标为(m,-m2+2m+3),
过点F作FH⊥x轴于点H,则点H的坐标为(m,0).
∴FH=|-m2+2m+3|,EH=|m-1|,
∴tan∠AEF==2,
解得m1=2-,m2=2+(舍去),m3=-,m4=(舍去).
故点F的坐标为(2-,-2+2)或(-,-2-2).
(5)设M为抛物线上的一点,若∠MAB=2∠ACO,求点M的坐标.
图Z4-34
(5)如图⑤,取点D(1,0),连接CD,在CD上取一点N,
使得AN=AD,连接AN并延长交抛物线于点M.
∵A(-1,0),D(1,0),
∴OA=OD.
∴AC=DC,∠ACO=∠DCO.
∴∠ACD=2∠ACO=∠MAB.
设直线CD的解析式为y=kx+b.
将D(1,0),C(0,3)代入,得
∴直线CD的解析式为y=-3x+3.
设N(a,-3a+3),则AN2=(a+1)2+(-3a+3)2=AD2=22,
解得a=或a=1(舍去),∴N(,).
设直线AN的解析式为y=k1x+b1,
则解得
∴直线AN的解析式为y=x+.
令x+=-x2+2x+3,
得x2-x-=0,解得x=或x=-1(舍去),
∴点M的坐标为(,).
作点N关于x轴的对称点P,连接AP并延长交抛物线于点M',此时∠M'AB=
∠MAB.由对称性可知点P的坐标为(,-),
同理可求得点M'的坐标为(,-).
综上所述,点M的坐标为(,)或(,-).
(2024烟台T24节选)如图Z4-35,抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线l1:x=-1.将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线l2.
(1)分别求抛物线y1和y2的表达式;
(2)点H的坐标为(0,-2),动点P在抛物线y2上,试
探究是否存在点P,使∠PEH=2∠DHE 若存在,
请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存
在,请说明理由.
题型精练
图Z4-35
(1)分别求抛物线y1和y2的表达式;
图Z4-35
解:(1)设点A,B的坐标分别为(t,0),(t+4,0),
则抛物线y1的对称轴为直线=t+2,
∴t+2=-1,解得t=-3,
∴点A,B的坐标分别为(-3,0),(1,0).
∵OC=OA,∴C(0,3).
设抛物线y1的表达式为y1=a(x+3)(x-1).
将C(0,3)代入,得-3a=3,解得a=-1,∴y1=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.
根据图形的对称性,得y2=x2-2x-3.
(2)点H的坐标为(0,-2),动点P在抛物线y2上,试探究是否存在点P,使∠PEH=
2∠DHE 若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明
理由.
图Z4-35
(2)存在.点P的坐标为(3,0)或(,-).
[解析]∵y2=x2-2x-3=x2-2x+1-4=(x-1)2-4,∴E(1,-4).
由H(0,-2),E(1,-4)易得直线HE的表达式为y=-2x-2.
①当点P在BE的右侧时,如图①.
由题意知BE∥DH,∴∠DHE=∠BEH.
∵∠PEH=2∠DHE,∴∠PEH=2∠BEH,
∴直线EP和直线HE关于对称轴直线l2对称,
∴直线EP的表达式为y=2(x-1)-4.
联立上式和抛物线y2的表达式,得2(x-1)-4=x2-2x-3,
解得x1=1(不合题意,舍去),x2=3,
即P(3,0);
②当点P在BE的左侧时,延长EP交y轴于点G,作HG的垂直平分线交HE于点Q,交y轴于点M,过点E作EK⊥y轴于点K,连接QG,如图②,则QM∥EK.
∵QM垂直平分HG,∴QH=QG,∴∠QHG=∠QGH,
∴∠GQE=∠QHG+∠QGH=2∠DHE.
∵∠PEH=2∠DHE,∴∠GQE=∠PEH,∴GQ=GE.
∵H(0,-2),E(1,-4),∴KE=1,HK=2.
∵QM∥EK,∴△HMQ∽△HKE,
∴,即,
∴HM=2MQ.
设MQ=m,则HM=2m,∴MG=HM=2m,∴GK=2-4m.
在Rt△QMG和Rt△EGK中,由勾股定理,
得MQ2+MG2=GQ2,GK2+KE2=GE2,
∴MQ2+MG2=GK2+KE2,即m2+(2m)2=(2-4m)2+12,
解得m1=,m2=1(不合题意,舍去),
∴GK=2-×4=2-,∴OG=4-,∴G(0,-).
设直线PE的表达式为y=a1x+b1.
将E(1,-4),G(0,-)代入,得解得
∴直线PE的表达式为y=-x-.
联立上式和抛物线y2的表达式,得-x-=x2-2x-3,
整理,得11x2-20x+9=0,解得x1=,x2=1(不合题意,舍去),∴P(,-).
综上,点P的坐标为(3,0)或(,-).
Thanks!
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