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(共33张PPT)
2026中考数学专项复习 精讲课件
01规律探索型问题（3类）
重难题型突破 精讲课件
类型一　数式规律探索
类型二　图形规律探索
类型三　坐标系中的规律探索
重难题型突破篇
类型一　数式规律探索
常见的数列:
1.正整数:1,2,3,4,5,…,第n项为n,前n项的和为;
2.奇数:1,3,5,7,…,第n项为2n-1,前n项的和为n2;
3.偶数:2,4,6,8,…,第n项为2n,前n项的和为n(n+1);
4. 1,-1,1,-1,1,-1,…,第n项为(-1)n+1;-1,1,-1,1,-1,1,…,第n项为(-1)n.
知识储备
(2024扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,
2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和,则在这一列数的前2024个数中,奇数的个数为 (　　)
A.676 B.674
C.1348 D.1350
例
1
典题精讲
D
[解析]这列数为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数为偶数.∵2024÷3=674……2,即前2024个数共有674组,且余2个数,∴奇数有674×2+2=1350(个).
(2024成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对1~n这n个自然数中,任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现:当n=2时,只有{1,2}一种取法,即k=1;当n=3时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即k=2;当n=4时,可得k=4……若n=6,则k的值为　　　　;若n=24,则k的值为　　　　.
例
2
9
144
[解析]当n=6时,从1,2,3,4,5,6中,取两个数的和大于6,这两个数分别是{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},∴k=5+3+1=9;
当n=24时,从1,2,3,…,22,23,24中,取两个数的和大于24,这两个数分别是
{24,1},{24,2},…,{24,23},{23,2}{23,3},…,{23,22},
{22,3},{22,4},…,{22,21},…
{14,11},{14,12},{14,13},{13,12},
∴k=23+21+19+…+3+1=144.
1.按规律排列的一组数据:,,□,,,,…,其中□内应填的数是(　　)
A. B. C. D.
题型精练
D
[解析]观察这组数据发现:分子为连续的正奇数,分母为序号的平方加1,
∴第n个数据为.
当n=3时,□的分子为5,分母=32+1=10,∴这个数为.
2.(2024德阳)将一组数,2,,2,,2,…,,…,按以下方式进行排列:
则第八行左起第1个数是 (　　)
A.7 B.8 C. D.4
图ZT4-1
C
[解析]由题意可得前七行所有的数的总个数为1+2+3+4+5+6+7=28,
∴第八行左起第1个数是第29个数,即.
3.(2025内江)对于正整数x,规定函数f(x)=在平面直角坐标
系中,将点(m,n)中的m,n分别按照上述规定,同步进行运算得到新的点的横、纵坐标(其中m,n均为正整数).例如,点(8,5)经过第1次运算得到点(4,16),经过第2次运算得到点(2,8),经过第3次运算得到点(1,4),经过有限次运算后,必进入循环圈.按上述规定,将点(2,1)经过第2025次运算后得到的点是 (　　)
A.(2,1) B.(4,2) C.(1,2) D.(1,4)
A
[解析]第1次运算:横坐标2为偶数,f(2)==1,纵坐标1为奇数,f(1)=3×1+1=4,得到点(1,4);
第2次运算:横坐标1为奇数,f(1)=3×1+1=4,纵坐标4为偶数,f(4)==2,得到点(4,2);
第3次运算:横坐标4为偶数,f(4)==2,纵坐标2为偶数,f(2)==1,得到点(2,1),与初始点相同,即三次一循环.
∵2025÷3=675,
∴第2025次运算后得到的点与第3次运算后得到的点相同,即(2,1).
重难题型突破篇
类型二　图形规律探索
解决图形规律题的步骤:
①标序数——按图号标序号;
②找规律——数出每一项的元素个数,将其表示成与序数有关的式子,用n表示出来;
③验证——代入序号验证所归纳的式子是否正确.
知识储备
(2024重庆B卷)用菱形按如图Z1-1所示的规律拼图案,其中第①个图案中有2个菱形,第②个图案中有5个菱形,第③个图案中有8个菱形,第④个图案中有11个菱形……按此规律,则第⑧个图案中,菱形的个数是(　　)
A.20 B.21 C.23 D.26
例
3
典题精讲
图Z1-1
C
[解析]由所给图形可知,
第①个图案中,菱形的个数为2=1×3-1;
第②个图案中,菱形的个数为5=2×3-1;
第③个图案中,菱形的个数为8=3×3-1;
第④个图案中,菱形的个数为11=4×3-1;
……
所以第 n 个图案中,菱形的个数为(3n-1).
当n=8时,3n-1=23,
所以第⑧个图案中,菱形的
个数为23.
(2025威海)某广场计划用如图Z1-2①所示的A,B两种瓷砖铺成如图②所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1,1),其右边瓷砖的位置记为(2,1),其上面瓷砖的位置记为(1,2),按照这样的规律,下列说法正确的是(　　)
A.(2024,2025)位置是B种瓷砖
B.(2025,2025)位置是B种瓷砖
C.(2026,2026)位置是A种瓷砖
D.(2025,2026)位置是B种瓷砖
例
4
图Z1-2
B
[解析]A种瓷砖:(1,2),(1,4),(1,6),…,(2,1),(2,3),(2,5),…,
B种瓷砖:(1,1),(1,3),(1,5),…,(2,2),(2,4),(2,6),…,
由此可得,A种瓷砖的坐标规律为(奇数,偶数),(偶数,奇数),B种瓷砖的坐标规律为(奇数,奇数),(偶数,偶数),
∴(2024,2025)位置是A种瓷砖,故A项不符合题意;
(2025,2025)位置是B种瓷砖,故B项符合题意;
(2026,2026)位置是B种瓷砖,故C项不符合题意;
(2025,2026)位置是A种瓷砖,故D项不符合题意.
故选B.
1.(2025重庆)按如图Z1-3所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点……按照这一规律,则第⑥个图中圆点的个数是 (　　)
A.32 B.28 C.24 D.20
题型精练
图Z1-3
C
[解析]第①个图中有4×1=4(个)圆点,
第②个图中有4×2=8(个)圆点,
第③个图中有4×3=12(个)圆点,
第④个图中有4×4=16(个)圆点,
……
则第 n 个图中有4n个圆点,
所以第⑥个图中圆点的个数是4×6=24.
故选C.
2.(2025绥化)观察如图Z1-4,图①有2个三角形,记作a1=2;图②有3个三角形,记作a2=3;图③有6个三角形,记作a3=6;图④有11个三角形,记作a4=11;按此方法继续下去,则an=　　 　　(结果用含n的代数式表示).
图Z1-4
n2-2n+3
[解析]图①有2个三角形,记作a1=02+2=2;图②有3个三角形,记作a2=12+2=3;
图③有6个三角形,记作a3=22+2=6;图④有11个三角形,记作a4=32+2=11;
……
按此方法继续下去,an=(n-1)2+2=n2-2n+3.
3.(2025东营)如图Z1-5所示,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2……按照此规律继续下去,则S2025的值为　　　 .
图Z1-5
　
[解析]如图.
∵正方形ABCD的边长为2,∴S1=4.
∵△DEC是等腰直角三角形,∴2DE2=DC2=S1,
∴S2=DE2=,同理S3=S2=,
……
按照此规律继续下去,S2025=.
重难题型突破篇
类型三　坐标系中的规律探索
(2025达州)定义:在平面直角坐标系中,一个图形向右平移a个单位长度,再绕原点按顺时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的γ(a,θ)变换.现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图Z1-6所示的平面直角坐标系中,△ABC经γ(1,180°)变换后得△A1B1C1为第一次
变换,△A1B1C1经γ(2,180°)变换后得△A2B2C2为第二
次变换,…,经γ(n,180°)变换后得△AnBnCn,则点C2025
的坐标是　 　　　.
例
5
典题精讲
图Z1-6
(-,-)
[解析]过点C作CD⊥x轴于点D.
∵△ABC是斜边为1的等腰直角三角形,∴CD=AB=AD=,∴C(,).
∵点C1是由点C(,)先向右平移1个单位长度,再绕原点按顺时针方向旋转180°得到的,∴C1(--1,-),
同理:C2(+1-2,),C3(--1+2-3,-),C4(+1-2+3-4,),C5(--1+2-3+4-5,-),…,
∴C1(--1,-),C3(--2,-),C5(--3,-),…,∴C2n-1(--n,-).
∵2025=2×1013-1,∴C2025(--1013,-),即C2025(-,-).
1.(2024内江)如图Z1-7,在平面直角坐标系中,AB⊥y轴,垂足为B,将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置,使点B的对应点B1落在直线y=-x上,再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2也落在直线y=-x上,如此下去……若点B的坐标为
(0,3),则点B37的坐标为 (　　)
A.(180,135) B.(180,133)
C.(-180,135) D.(-180,133)
题型精练
图Z1-7
C
[解析]将y=3代入y=-x,得x=-4,所以点A的坐标为(-4,3),
所以OB=3,AB=4.
在Rt△ABO中,AO==5,所以C△OAB=3+4+5=12.
由所给旋转方式可知,点B2n-1(n为正整数)在直线y=-x上.
因为OB1=5+4=9,OB3=9+12,OB5=9+2×12,…,所以OB2n-1=9+12(n-1)=12n-3.
令2n-1=37,解得n=19,所以12n-3=12×19-3=225,即OB37=225.
设点B37的坐标为(m,-m),则m2+(-m)2=2252,解得m=-180(舍去正值).
所以-m=135.所以点B37的坐标为(-180,135).
2.(2024绥化)如图Z1-8,已知A1(1,-),A2(3,-),A3(4,0),A4(6,0),A5(7,),
A6(9,),A7(10,0),A8(11,-),…,依此规律,则点A2024的坐标为　　　　　.
图Z1-8
(2891,-)
[解析]由题及图知,每隔七个点,点An的横坐标增加10,且纵坐标按-,-,
0,0,,,0循环出现.∵2024÷7=289……1,1+289×10=2891,∴点A2024的坐标为(2891,-).
3.(2024广安)如图Z1-9,已知直线l:y=x-与x轴相交于点A1,以OA1为边作等边三角形OA1B1,点B1在第一象限内,过点B1作x轴的平
行线与直线l交于点A2,与y轴交于点C1,以C1A2为边作
等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方),以同样的方式
依次作等边三角形C2A3B3,等边三角形C3A4B4……则
点A2024的横坐标为　　　　.
图Z1-9
()2023　
[解析]∵直线l:y=x-与x轴相交于点A1,∴点A1的坐标为(1,0).∴OA1=1.
如图,分别过点B1,B2作B1M⊥x轴于点M,B2N⊥x轴于点N,交C1A2于点D.
∵△A1B1O为等边三角形,∴∠OB1M=30°.
∴MO=A1O=.∴B1M=.∴B1(,).
当y=时,x-,解得x=,∴A2C1=,A2(,).
∴C1D=A2C1=.∴B2D=.∴B2N=.
当y=时,x-,解得x=,
∴A3(,).而=()2,同理可得点A4的横坐标为=()3,点A5的横坐标为=()4,…,∴点A2024的横坐标为()2023.
4.(2025德阳)如图Z1-10,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),点C在直线m:
y=x-上,且AC=3,连接AB,BC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C1,
点B的对应点B1落在直线m上,再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转得到△A2B2C2,点A1的对应点A2也落在直线m上.如此下去,…,则点A1001的纵坐标是　　　　.
图Z1-10
2004
[解析]如图,设直线m与y轴交于点D,分别过点A2,A5作A2E⊥x轴,A5F⊥x轴,垂足分别为E,F.
在y=x-中,当x=0时,y=-,∴D(0,-),∴OD=.
∵A(2,0),B(0,2),∴OA=2,OB=2.
由勾股定理,得AB==4,tan∠OAD=
,tan∠OAB=,
∴∠OAD=∠CAE=30°,∠OAB=60°,∴∠BAC=90°,
∴BC==5.
由旋转的性质可知C1B1=BC=5,B1A2=AB=4,
∴AA2=AC+C1B1+B1A2=12,
∴A2E=AA2=6,即点A2(A3)的纵坐标为6.
同理,点A5(A6)的纵坐标为12,
∴A3n-1(A3n)的纵坐标为6n.
∵1001=3×334-1,∴点A1001在直线m上,
∴点A1001(A1002)的纵坐标为334×6=2004.
Thanks!
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