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(共19张PPT)
2026中考数学专项复习 精讲课件
06综合实践探究学习（2类）
新题型突破 精讲课件
类型一　矩形与二次函数模型中家电装置设计
类型二　矩形模型下遮阳伞的研究
新题型突破篇
类型一　矩形与二次函数模型中家电装置设计
(2025内蒙古)问题背景:
综合与实践课上,老师让同学们设计一个家电装置图案,
某小组设计的效果图如图T7-1①所示.
外形参数:
如图②,装置整体图案为轴对
称图形,外形由上方的抛物线
L1,中间的矩形ABCD和下方的
抛物线L2组成.抛物线L1的高度为8 cm,矩形ABCD的边AB=8 cm,BC=6 cm,抛物线L2的高度为4 cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH,点E,F在抛物线L2上,点H,G在抛物线L1上.
例
1
图T7-1
问题解决:
如图③,该小组以矩形ABCD的顶点A为原点,以AB边所在的
直线为x轴,以AD边所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
请结合外形参数,完成以下任务:
(1)直接写出B,C,D三点的坐标;
(2)直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标,并分别求出抛物线L1
和L2的函数表达式;
(3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求,需要EH边的长
为15 cm,求此时EF边的长.
图T7-1
(1)直接写出B,C,D三点的坐标;
图T7-1
解:(1)B(8,0),C(8,6),D(0,6).
[解析]∵矩形ABCD的边AB=8 cm,BC=6 cm,
∴CD=AB=8 cm,AD=BC=6 cm,CD∥AB,BC∥AD,
∴B(8,0),C(8,6),D(0,6).
(2)直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标,并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式;
图T7-1
(2)如图,作出装置整体图案的对称轴,分别交抛物线L1于
点M,交抛物线L2于点Q,交矩形ABCD的边CD,AB于点N,P.
结合矩形和抛物线的对称性,可得直线MQ是抛物线L1和
L2的对称轴,∴AP=BP=AB=4 cm,∠DNP=∠APN=90°,
∴四边形DAPN是矩形,
∴NP=AD=6 cm.
∵抛物线L1的高度为8 cm,抛物线L2的高度为4 cm,
∴MP=MN+NP=8+6=14(cm),QP=4 cm,
∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M(4,14),Q(4,-4).
分别设抛物线L1和L2的函数表达式为y=a1(x-4)2+14,y=a2(x-4)2-4.
将D(0,6)代入y=a1(x-4)2+14,得a1(0-4)2+14=6,解得a1=-,
∴抛物线L1的函数表达式为y=-(x-4)2+14=-x2+4x+6;
将A(0,0)代入y=a2(x-4)2-4,得a2(0-4)2-4=0,解得a2=,
∴抛物线L2的函数表达式为y=(x-4)2-4=x2-2x.
(3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求,需要EH边的长为15 cm,求此时EF边的长.
图T7-1
(3)∵装置整体图案为轴对称图形,∴EF⊥MQ,HG⊥MQ.
∵MQ⊥x轴,∴EF∥HG∥x轴.
∵四边形EFGH是矩形,∴HE⊥EF,∴HE⊥x轴,∴xE=xH.
设xE=xH=n,则yH=-n2+4n+6,yE=n2-2n,
∴EH=yH-yE=-n2+6n+6=15,
解得n1=2,n2=6(在对称轴右侧,不合题意,舍去),∴xE=2.
由抛物线的对称性可得EF=2×(4-2)=4(cm).故此时EF边的长为4 cm.
新题型突破篇
类型二　矩形模型下遮阳伞的研究
(2025广西)综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九(5)班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞,遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形(如图T7-2①).
初始时,矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影 MNPQ的平面图如图②所示,点P在AD上,MN=3 m,AN=1 m,AP=2 m,AB=3 m,BC=2.5 m.由于场地限制,参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞.在移动过程中, MNPQ也随之移动(MN始终在AB边所在直线l上),且形状大小保持不变,但落在义卖区内的部分(遮阳区)会呈现不同的形状.
如图③为 MNPQ
移动到点P落在
BC上的情形.
例
2
图T7-2
【问题提出】西西同学打算用数学方法,确定遮阳区面积最大时 MNPQ的
位置.
设遮阳区的面积为S m2, MNPQ从初始时向右移动的距离为x m.
【直观感知】(1)从初始起右移至图③情形的过程中,S随x的增大如何变化
【初步探究】(2)求图③情形的x与S的值;
【深入研究】(3)从图③情形起右移至点M与点A重合,求该过程中S关于x的函数解析式;
【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时,
MNPQ向右移动了多少 (直接写出结果)
图T7-2
【直观感知】(1)从初始起右移至图③情形的过程中,S随x的增大如何变化
图T7-2
解:(1)由图可知,初始位置时S=0,
∴从初始起右移至图③情形的过程中,S随x的增大而增大.
【初步探究】(2)求图③情形的x与S的值;
图T7-2
(2)如图①.
根据题意,初始时点P在AD上,右移至题图③时,点P在BC上,
∴ MNPQ从初始时向右移动的距离x=AB=3 m,此时AM=1 m,
点Q向右移动到AD上,
∴AN=MN-AM=3-1=2(m),
∴S==5(m2).
【深入研究】(3)从图③情形起右移至点M与点A重合,求该过程中S关于x的函数解析式;
图T7-2
(3)设初始位置时,∠ANP=α,如图②.
∵AP=2 m,AN=1 m,∠PAN=90°,
∴tan α==2.
从题图③情形起右移至点M与点A重合的过程中,设PQ交BC于点G,PN交BC于点E,QM交AD于点F,连接EF,如图③.
由平移的性质,得PG=(x-3)m,BN=(4-x)m,
∴GQ=3-(x-3)=(6-x)m,AN=3-(4-x)=(x-1)m.
∵tan P=tan∠ENB=tan α=2,∴=2,
∴GE=2PG=(2x-6)m,BE=2BN=(8-2x)m.
∵AM=MN-AN=AB-AN=BN,∠MAF=90°=∠NBE,∠FMA=∠ENB,
∴△FMA≌△ENB(ASA),
∴FM=EN.
又∵FM∥EN,
∴四边形FMNE是平行四边形,
∴EF∥MN,EF=MN=3 m.
∵MN∥PQ,
∴四边形QFEG,四边形FANE都是梯形,
∴S=S梯形QFEG+S梯形FANE==-2x2+14x-19,
∴该过程中S关于x的函数解析式为S=-2x2+14x-19(3【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时, MNPQ向右移动了多少 (直接写出
结果)
图T7-2
(4)当遮阳区面积最大时, MNPQ向右移动了 m.
[解析]当0由(2)知,S取得最大值,最大值为5;
当3∴当x=时,S取得最大值,最大值为;当x>4时,S随x的增大而减小,此时S<.
∵5<,∴当遮阳区面积最大时, MNPQ向右移动了 m.
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