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(共53张PPT)
2026中考数学专项复习 精讲课件
03回归教材类探究
新题型突破 精讲课件
探究一　养鸡场何时面积最大
探究二　等腰三角形的双高问题
探究三　等宽纸条重叠问题
新题型突破篇
探究一　养鸡场何时面积最大
[教材母题] 九上P49探究1
用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大
解:矩形场地的周长是60 m,一边长为l m,所以另一边长为(-l)m,
则场地的面积S=l(30-l),即S=-l2+30l(0因此,当l=-=-=15时,S取得最大值=225.
也就是说,当l是15 m时,场地的面积S最大.
变式探究1 墙足够长的情况
(2024泰安)如图T4-1,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是
　　　　平方米.
图T4-1
450
[解析]设菜园垂直于墙的一边长为x米,则平行于墙的一边长为(60-2x)米.又墙长为40米,从而可得0<60-2x≤40,故10≤x<30.根据题意,得菜园的面积S=x(60-2x)
=-2x2+60x=-2(x-15)2+450.∵-2<0,∴当x=15时,S取得最大值,为450.故可围成的菜园的最大面积是450平方米.
变式探究2 墙不够长的情况
如图T4-2,用一段长为24 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场,若墙长
8 m,则养鸡场的最大面积是　　　　m2.
图T4-2
64
[解析]设养鸡场平行于墙的一边长为x m,则垂直于墙的一边长为(24-x)m,
∴养鸡场的面积S=x·(24-x)=-x2+12x=-(x-12)2+72.
∵墙长8 m,∴0∴当 x=8时,S取得最大值,最大值为64.
故养鸡场的最大面积是64 m2.
变式探究3 改变养鸡场围成的形状
如图T4-3,在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆围成一个中间隔有两道篱笆的矩形养鸡场,墙长为8 m,设养鸡场垂直于墙的一边长AB为x m,面积为y m2.怎样围才能使养鸡场的面积最大
图T4-3
解:∵AB=x m,∴BC=(24-4x)m,
∴y=AB·BC=x(24-4x)=-4x2+24x=-4(x-3)2+36.
∵墙长为8 m,∴0<24-4x≤8,解得4≤x<6,
∴当x=4时,y取得最大值,为32.
此时24-4x=8.
答:当AB的长为4 m,BC的长为8 m时,才能使养鸡场的面积最大.
变式探究4 改造养鸡场的形状
如图T4-4,四边形ABCD是一个边长为5 m的正方形养鸡场,现将其改造为矩形AEFG的形状,且满足DG=2BE.设BE为x m,改造后的矩形养鸡场AEFG的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)若养鸡场改造后的面积与改造前的面积相等,则此时
BE的长为多少
(3)当x是何值时,改造后的矩形养鸡场AEFG的面积y最大
图T4-4
(1)求y与x之间的函数解析式;
图T4-4
解:(1)由题意,得AG=(5+2x)m,AE=(5-x)m,
所以y=(5-x)(5+2x),
即y=-2x2+5x+25(0(2)若养鸡场改造后的面积与改造前的面积相等,则此时BE的长为多少
(2)根据题意,得-2x2+5x+25=5×5,
解得x1=2.5,x2=0(不合题意,舍去).
答:此时BE的长为2.5 m.
(3)当x是何值时,改造后的矩形养鸡场AEFG的面积y最大
图T4-4
(3)y=-2x2+5x+25=-2(x-1.25)2+28.125,
所以当x=1.25时,y取得最大值,为28.125.
答:当x为1.25时,改造后的矩形养鸡场AEFG的面积y最大.
变式探究5 加上木门条件后养鸡场面积的探究
如图T4-5,在一面靠墙的空地上用长为30 m的篱笆,围成矩形养鸡场,为了喂养方便,准备在养鸡场的中间留出一条宽为1 m的通道,划分为左右两个养鸡场,并在左、右养鸡场各安装一个1 m宽的木质门.已知墙的长度为20 m,当AD为多少米时,养鸡场的面积最大
图T4-5
解:由题意,得AD=HE=GF=BC.
设AD=x m.
∵两个养鸡场由30 m长的篱笆围成,
∴AE+BF-2=30-4x,即AE+BF=32-4x,
∴养鸡场的面积S=AD·(AE+BF)=x(32-4x)=-4x2+32x=-4(x-4)2+64.
∵-4<0,∴当x=4时,S取得最大值,为64,
此时DC=AE+BF+HG=17<20,符合题意.
答:当AD为4 m时,养鸡场的面积最大.
变式探究6 面积问题中的方程和函数角度
(2024湖北)如图T4-6,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形试验田,墙长为42 m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形试验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S
(单位:m2).
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形试验田的面积S能达到750 m2吗 如果能,求x的
值;如果不能,请说明理由.
(3)当x的值是多少时,矩形试验田的面积S最大 最大面
积是多少
图T4-6
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形试验田的面积S能达到750 m2吗 如果能,求x的值;如果不能,请说明
理由.
图T4-6
解:(1)y与x之间的函数解析式为y=-2x+80,
S与x之间的函数解析式为S=-2x2+80x.
(2)能.由题意,令S=750,则-2x2+80x=750,
解得x1=15,x2=25.
当x=15时,y=-2×15+80=50>42,不符合题意,舍去;
当x=25时,y=-2×25+80=30<42,符合题意,
∴x的值为25.
(3)当x的值是多少时,矩形试验田的面积S最大 最大面积是多少
图T4-6
(3)由题意,得0∴0<-2x+80≤42,解得19≤x<40.
S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800.
∵-2<0,19≤x<40,
∴当x=20时,S取得最大值,最大值为800.
答:当x的值是20时,矩形试验田的面积S最大,最大面积是800 m2.
新题型突破篇
探究二　等腰三角形的双高问题
[教材母题] 八上P51习题12.3T2
如图T4-7,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.
图T4-7
证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴EB=FC.
(1)△ABC的形状是　　　　;
(2)过点C作CG⊥AB于点G,则DE与CG的关系是　　　　.
思考
图T4-7
变式探究1 改变动点D的位置及所求结论
如图T4-8,在△ABC中,AB=AC=4,D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若△ABC的面积为6,则DE+DF=　　　　.
图T4-8
3
[解析]过点C作CM⊥AB于点M,则由面积相等,可知DE+DF=CM.由AB·CM=6,解得CM=3.故DE+DF=3.
变式探究2 继续改变动点D的位置
如图T4-9,在△ABC中,AB=AC,D是BC延长线上的一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F,CG⊥AB于点G,则线段CG,DE,DF三者之间的数量关系是　　　　　　　,请说明理由.
图T4-9
DE=CG+DF
解:DE=CG+DF
理由如下:如图,过点C作CH⊥DE于点H.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠HDC+∠B=90°,∠FDC+∠DCF=90°.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
又∵∠ACB=∠DCF,∴∠B=∠DCF.∴∠HDC=∠FDC.
∵CH⊥DE,∴∠DHC=90°=∠F.
又∵DC=DC,∴△DFC≌△DHC(AAS).∴DF=DH.
∵DE⊥AB,CG⊥AB,CH⊥DE,∴∠GED=∠CGA=∠CHE=90°.
∴四边形CHEG是矩形.∴CG=EH.∴DE=EH+DH=CG+DF.
变式探究3 改变结论
如图T4-10,△ABC的面积为24,AB=AC=8,D为BC边上一点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若DF=2DE,则DF的长为　　　　.
图T4-10
4
[解析]如图,连接AD,
则S△ABD+S△ACD=S△ABC,
即×8DE+×8DF=24,
可得DE+DF=6.
∵DF=2DE,∴DF=4.
变式探究4 将基本图形放到矩形中
(2023西藏)如图T4-11,在矩形ABCD中,AC和BD相交于点O,AD=3,AB=4,E是CD边上一点,过点E作EH⊥BD于点H,EG⊥AC于点G,则EH+EG的值是(　　)
A.2.4 B.2.5 C.3 D.4
图T4-11
A
[解析]过点C作CF⊥BD于点F,连接OE,如图.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OD=BD,OC=AC,AC=BD.
∴OD=OC,BC=AD=3,CD=AB=4.∴BD==5.
∵S△DCB=BD·CF=BC·CD,∴CF==2.4.
∵S△COD=S△DOE+S△COE,∴OD·CF=OD·EH+OC·EG.
∴EH+EG=CF=2.4.
故选A.
变式探究5 将基本图形放到正方形中
如图T4-12,在边长为a的正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,且BE=BC,P是CE上一动点,则点P到BD,BC的距离之和PM+PN的值 (　　)
A.有最大值a
B.是定值a
C.有最小值a
D.是定值a
图T4-12
D
[解析]如图,连接BP,过点E作EF⊥BC于点F,则∠EFB=90°.
由正方形的性质可知∠EBF=45°,∴△BEF为等腰直角三角形.
∵正方形ABCD的边长为a,∴BE=BC=a.
∴BF=EF=BE=a.
∵PM⊥BD,PN⊥BC,∴S△BPE+S△BPC=S△BEC,
即BE·PM+BC·PN=BC·EF.
∵BE=BC,∴PM+PN=EF=a,
即点P到BD,BC的距离之和PM+PN的值是定值a.
变式探究6 在综合题中探究基本图形的构造阅读与理解
如图T4-13,在等边三角形ABC中,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G,则有DE+DF=CG.
证明:过点D作DM⊥CG于点M,如图T4-13,则∠GMD=90°.
∵DE⊥AB,CG⊥AB,∴∠DEG=∠EGM=90°=∠GMD.
∴四边形DEGM是矩形.∴DE=GM,EG∥DM.
∴∠B=∠MDC.
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°.∴∠MDC=∠ACB.
…
(1)请按照上面的证明思路,完成该结论证明的剩余部分;
图T4-13
(2)如图T4-14,将矩形ABCD沿着EF折叠,使点A与点C重合,点B落在点B'处,
G为折痕EF上一点,过点G作GI⊥FC于点I,GH⊥BC于点H.若BC=8,BE=3,则GH+ GI的长为　　　　;
(3)如图T4-15,E是BC上一点,∠B=∠C=30°,EA⊥AB于点A,ED⊥CD于点D,
BC=6,则EA+ED的长为　　　　.
图T4-14
图T4-15
(1)请按照上面的证明思路,完成该结论证明的剩余部分;
图T4-13
解:(1)在△DMC和△CFD中,
∴△DMC≌△CFD(AAS).∴MC=FD.
∴CG=GM+MC=DE+DF,即DE+DF=CG.
(2)如图T4-14,将矩形ABCD沿着EF折叠,使点A与点C重合,点B落在点B'处,
G为折痕EF上一点,过点G作GI⊥FC于点I,GH⊥BC于点H.若BC=8,BE=3,则GH+ GI的长为　　　　;
图T4-14
4
[解析]连接AE.
∵将矩形ABCD沿着EF折叠,使点A与点C重合,点B落
在点B'处,∴∠AFE=∠CFE,且AE=CE.
∵AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF.∴∠CEF=∠CFE.∴CE=CF.
∵BC=8,BE=3,∴AE=CE=5.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=4,
∴在等腰三角形CEF中,CE边上的高为4.∴GH+GI=4.
(3)如图T4-15,E是BC上一点,∠B=∠C=30°,EA⊥AB于点A,ED⊥CD于点D,
BC=6,则EA+ED的长为　　　　.
图T4-15
3
[解析]延长BA,CD相交于点F,过点B作BG⊥CD,
交CD的延长线于点G,如图.
∵∠ABE=∠C=30°,
∴BF=CF.∴△FBC为等腰三角形.
∵在等腰三角形BCF中,CF边上的高为BG,
∴BG=EA+ED.
在Rt△BGC中,∵BC=6,∠C=30°,∴BG=BC=3.∴EA+ED=3.
如图T4-16,如果是一般三角形,给出两边上的高,你能联想到哪些知识呢
思考
图T4-16
[答案]互余,高,等面积法;勾股定理;四点共圆(如图),相似.
新题型突破篇
探究三　等宽纸条重叠问题
[教材母题] 八下P58练习第3题
如图T4-17,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗 为什么
图T4-17
解:四边形ABCD是菱形.理由如下:
由纸的对边平行可得四边形ABCD是平行四边形.
过点A作AH⊥CD于点H,AN⊥BC于点N,
则S ABCD=CD·AH=BC·AN.
由纸条等宽可得AH=AN,
∴BC=CD.∴四边形ABCD是菱形.
变式探究1 等宽纸条重叠相关计算
1.(2024广西)如图T4-18,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　　　　cm.
图T4-18
8　
[解析]如图,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,则∠AEB=∠AFD=90°.由题意可知AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.∵S ABCD=BC·AE=
CD·AF,AE=AF=3 cm,∴BC=CD,∴四边形ABCD为菱形.
在Rt△ADF中,∵∠ADF=60°,AF=3 cm,∴AD==2(cm),∴四边形ABCD的周长为2×4=8(cm).故答案为8.
2.如图T4-19,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD.若测得点A,C之间的距离为8 cm,点B,D之间的距离为6 cm,则线段AB的长为
　　　　.
图T4-19
5 cm
[解析]如图,连接AC,BD交于点O.
由题意,知AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=AC=×8=4(cm),OB=BD=×6=3(cm).
过点A作AR⊥CD,AS⊥BC,垂足分别为R,S,则AR=AS.
∵S ABCD=BC·AS=CD·AR,∴BC=CD,
∴ ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
在Rt△AOB中,∵OA=4 cm,OB=3 cm,∴AB==5(cm).
故答案为5 cm.
3.如图T4-20,两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起,重合的部分为四边形ABCD.若测得四边形ABCD的面积为16 cm2,点B,D之间的距离为8 cm,求边AB的长.
图T4-20
解:如图,连接AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
由题意,得AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=AC,BO=BD=4 cm.
∵S ABCD=BC·AE=CD·AF,AE=AF,
∴BC=CD,∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
∵四边形ABCD的面积为16 cm2,BD=8 cm,
∴×8AC=16,∴AC=4(cm),∴AO=AC=2 cm.
在Rt△AOB中,AB==2(cm),
∴边AB的长为2 cm.
4.(2024扬州)如图T4-21①,将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起,得到四边形ABCD.
(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)已知矩形纸条的宽度为2 cm,将矩形纸条旋转至如图②所示的位置时,四边形ABCD的面积为8 cm2,求此时直线AD,CD所夹锐角∠1的度数.
图T4-21
(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
图T4-21
解:(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:
如图①,过点C作CH⊥AB,垂足为H,CG⊥AD,垂足为G.
∵两个纸条均为矩形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S ABCD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)已知矩形纸条的宽度为2 cm,将矩形纸条旋转至如图②所示的位置时,四边形ABCD的面积为8 cm2,求此时直线AD,CD所夹锐角∠1的度数.
图T4-21
(2)如图②,过点A作AM⊥CD,垂足为M.
∵S菱形ABCD=CD·AM=8 cm2,且AM=2 cm,
∴CD=4 cm,∴AD=CD=4 cm.
在Rt△ADM中,sin∠1=,
∴∠1=30°.
变式探究2 不等宽纸条重叠相关证明与计算
5.(2022赤峰)如图T4-22,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,其中一张纸条在转动过程中,下列结论一定成立的是 (　　)
A.四边形ABCD的周长不变
B.AD=CD
C.四边形ABCD的面积不变
D.AD=BC
图T4-22
D
6.(2022威海)(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图T4-23①叠放.
①判断四边形AGCH的形状,并说明理由;
②求四边形AGCH的面积.
(2)如图②,在矩形ABCD和矩形AFCE中,AB=2,BC=7,CF=,求四边形AGCH的面积.
图T4-23
(1)①判断四边形AGCH的形状,并说明理由;
图T4-23
解:(1)①四边形AGCH是菱形.理由如下:
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形,
∴∠B=∠F=90°,AD∥BC,AF∥CE.
∴四边形AGCH是平行四边形.
∵S AGCH=GC·AB=AG·CF,AB=CF,
∴GC=AG.
∴四边形AGCH是菱形.
②求四边形AGCH的面积.
图T4-23
②由①可知,GC=AG.
设GC=AG=x,则BG=8-x.
在Rt△ABG中,由勾股定理,得42+(8-x)2=x2,
解得x=5,
∴GC=5.
∴S菱形AGCH=GC·AB=5×4=20.
(2)如图②,在矩形ABCD和矩形AFCE中,AB=2,BC=7,CF=,求四边形AGCH的面积.
图T4-23
(2)同(1)①可证四边形AGCH是平行四边形.
∵∠AGB=∠CGF,∠B=∠F,∴△ABG∽△CFG.
∴.
设CG=a,则,解得AG=2a.
在Rt△ABG中,由勾股定理,得(2)2+(7-a)2=(2a)2,
解得a1=3,a2=-(不合题意,舍去),∴CG=3.∴S AGCH=CG·AB=3×2=6.
7.(2023吉林)【操作发现】如图T4-24,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,使重合的部分构成一个四边形EFMN.转动其中一张纸条,发现四边形EFMN总是平行四边形,其判定的依据是
　　　　　　.
图T4-24
两组对边分别平行的四边形是
平行四边形
[解析]∵两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,
∴MN∥EF,NE∥MF.
∴四边形EFMN是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH(ABFG≤BC),其中AB=EF,∠B=∠FEH,将它们按图T4-25①所示放置,EF落在边BC上,FG,EH与边AD分别交于点M,N.求证: EFMN是菱形.
图T4-25
解:【探究提升】证明:∵∠B=∠FEH,∴NE∥AB.
又∵AN∥BE,∴四边形ABEN是平行四边形.
∴EF=AB=NE.∴ EFMN是菱形.
【结论应用】保持图①中的平行四边形纸条ABCD不动,将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移,且EF始终在边BC上.当MD=MG时,延长CD,HG交于点P,得到图②.若四边形ECPH的周长为40,sin∠EFG=(∠EFG为锐角),则四边形ECPH的面积为　　　　.
图T4-25
80
[解析]∵平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移,∴MD∥GP,PD∥MG.
∴四边形MNHG,CDMF,PGMD都是平行四边形.
∵MD=MG,∴四边形PGMD是菱形.
∵四边形EFMN是菱形,∴四边形ECPH是菱形.
∵四边形ECPH的周长为40,∴GF=EH=10.
过点G作GQ⊥BC于点Q,如图.
∵sin∠EFG=,∴.∴GQ=8.
∴四边形ECPH的面积为10×8=80.
Thanks!
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