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(共58张PPT)
2026中考数学专项复习 精讲课件
04阅读理解型问题（4类）
新题型突破 精讲课件
类型一　定义新运算型阅读题
类型二　定义新概念型阅读题
类型三　方法学习型阅读题
类型四　类比探究型阅读题
新题型突破篇
类型一　定义新运算型阅读题
(2025乌鲁木齐沙依巴克区一模)我们知道:am·an=am+n,现定义一种新运算:h(m+n)=h(m)·h(n).比如h(2)=3,则h(4)=h(2+2)=3×3=9.若h(2)=k(k≠0),则h(2n)·h(2026)的结果是 (　　)
A.2k+2026 B.1013k
C.2k+1013 D.kn+1013
例
1
典题精讲
D
[解析]∵h(2)=k,h(m+n)=h(m)·h(n),
∴h(2n)·h(2026)=·
=kn·k1013=kn+1013.故选D.
1.(2023包头)定义新运算“ ”,规定:a b=a2-|b|,则(-2) (-1)的运算结果为
(　　)
A.-5 B.-3 C.5 D.3
题型精练
D
2.对于实数a,b定义运算“ ”为a b=b2-ab,例如:3 2=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3) x=k-1的根的情况,下列说法正确的是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
[解析]∵(k-3) x=k-1,∴x2-(k-3)x=k-1.
∴x2-(k-3)x-k+1=0.
∵Δ=[-(k-3)]2-4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0,
∴关于x的方程(k-3) x=k-1有两个不相等的实数根.
3.(2025眉山)在平面直角坐标系中,点P的坐标为(m,n),则向量=(m,n).已知=(x1,y1),=(x2,y2),若x1·x2+y1·y2=0,则与互相垂直.下列选项中两向量互相垂直的是 (　　)
A.=(2,3),=(sin 30°,π0)
B.=(3,-9),=(1,-)
C.=(,),=(2,)
D.=(2,1),=(2-1,-1)
D
[解析]∵2sin 30°+3×π0=1+3=4≠0,∴与不互相垂直,故A选项不符合题意;
∵3×1+(-9)×(-)=3+3=6≠0,∴与不互相垂直,故B选项不符合题意;
∵×2+=2≠0,∴与不互相垂直,故C选项不符合题意;
∵2×2-1+1×(-1)=1-1=0,∴与互相垂直,故D选项符合题意.
4.(2024威海)定义新运算:
①在平面直角坐标系中,{a,b}表示动点从原点出发,沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a<0)平移|a|个单位长度,再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b<0)平移|b|个单位长度.
例如,动点从原点出发,沿着x轴负方向平移2个单位长度,再沿着y轴正方向平移1个单位长度,记作{-2,1}.
②加法运算法则:{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d为实数.
若{3,5}+{m,n}={-1,2},则下列结论正确的是 (　　)
A.m=2,n=7 B.m=-4,n=-3
C.m=4,n=3 D.m=-4,n=3
B
5.(2024泸州)定义:在平面直角坐标系中,将一个图形先向上平移a(a>0)个单位,再绕原点按逆时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后得到点A'的坐标为(-1,2),则点B(,-1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B'的坐标为　　 　　.
(-,)
[解析]将点B(,-1)向上平移2个单位所得点M的坐标为(,1).
如图,过点M作MF⊥x轴,垂足为F,则OF=,MF=1.
在Rt△MOF中,tan∠MOF=,OM==2,∴∠MOF=30°.
由旋转可知,B'O=MO=2,∠MOB'=105°,∴∠B'OF=135°.
过点B'作B'E⊥y轴,垂足为E,则∠B'OE=135°-90°=45°,
∴△B'OE是等腰直角三角形.
又B'O=2,∴B'E=OE=,
∴点B'的坐标为(-,).
6.(2025新疆生产建设兵团)对多项式A,B,定义新运算“ ”:A B=2A+B;对正整数k和多项式A,定义新运算“ ”:k A=(按从左到右的顺序依次做“ ”运算).已知正整数m,n为常数,记M=m (x2+31xy),N=n (y2-14xy),若M N不含xy项,则mn=　　　　.
15
[解析]∵k A=,
∴当k=1时,1 A=A=(21-1)A;
当k=2时,2 A=A A=2A+A=3A=(22-1)A;
当k=3时,3 A=A A A=(3A) A=2×3A+A=7A=(23-1)A;
当k=4时,4 A=A A A A=(7A) A=2×7A+A=15A=(24-1)A;
…
∴当k=m时,m A=(2m-1)A,
当k=n时,n A=(2n-1)A,
∴M=m (x2+31xy)=(2m-1)(x2+31xy),N=n (y2-14xy)=(2n-1)(y2-14xy),
∴M N=2M+N=2(2m-1)(x2+31xy)+(2n-1)(y2-14xy)
=(2m+1-2)x2+(2n-1)y2+[62(2m-1)-14(2n-1)]xy.
∵M N不含xy项,∴62(2m-1)-14(2n-1)=0,
∴31(2m-1)-7(2n-1)=0.
设2m=a,2n=b,则31a-7b=24,
∴b=.
∵a,b均为2的正整数次幂,为正偶数,∴
∴
∴∴mn=15.
新题型突破篇
类型二　定义新概念型阅读题
(2023菏泽)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如:A(1,3),B(-2,-6),C(0,0)等都是“三倍点”.在-3A.-≤c<1 B.-4≤c<-3
C.-≤c<5 D.-4≤c<5
例
2
典题精讲
D
[解析]由题意,得三倍点所在的直线为y=3x,在-3=16+4c≥0,解得c≥-4.把x=1代入y=-x2-x+c,得y=-2+c;把x=1代入y=3x,得y=3,
∴3>-2+c,解得c<5.
综上,c的取值范围为-4≤c<5.
(2024重庆B卷)一个各数位均不为0的四位自然数M=,若满足a+d=
b+c=9,则称这个四位数为“友谊数”.例如:四位数1278,∵1+8=2+7=9,∴1278是“友谊数”.若是一个“友谊数”,且b-a=c-b=1,则这个数为　　　　;若M=是一个“友谊数”,设F(M)=,且是整数,则满足条件的M
的最大值是　　　　.
例
3
3456
6273
[解析]若是一个“友谊数”,且b-a=c-b=1,则a+d=b+c=9.
由得∴a=3,d=6,∴这个数为3456.
若M=是一个“友谊数”,
则M=1000a+100b+10c+d=1000a+100b+10(9-b)+9-a=999a+90b+99,
∴F(M)==111a+10b+11,
∴=9a+8+.
∵是整数,∴9a+8+是整数,即是整数,
∴3a+b+6是13的倍数.
∵a,b,c,d都是不为0的正整数,且a+d=b+c=9,∴1≤a≤8,1≤b≤8,
∴当a=8时,31≤3a+b+6≤38,此时不满足3a+b+6是13的倍数,不符合题意;
当a=7时,28≤3a+b+6≤35,此时不满足3a+b+6是13的倍数,不符合题意;
当a=6时,25≤3a+b+6≤32,此时可以满足3a+b+6是13的倍数,即3a+b+6=26,∴b=2,则此时d=3,c=7.
∵要使M最大,则一定要满足a最大,
∴满足题意的M的最大值为6273.
1.(2024河北)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图T5-1,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 (　　)
A.点A B.点B C.点C D.点D
题型精练
图T5-1
B
[解析]设A(a,b),AB=m,AD=n,则D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m,b+n),∴点A的“特征值”是,点B的“特征值”是,点C的“特征值”是,点D的“特征值”是.
∵,且,∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B.
2.(2024宜宾)如果一个数等于它的全部真因数(含单位1,不含它本身)的和,那么这个数称为完美数.例如:6的真因数是1,2,3,且6=1+2+3,则称6为完美数.下列数中为完美数的是 (　　)
A.8 B.18 C.28 D.32
C
[解析]A.8的真因数是1,2,4.∵1+2+4=7≠8,∴8不是完美数,故A选项错误;
B.18的真因数是1,2,3,6,9.∵1+2+3+6+9=21≠18,∴18不是完美数,故B选项
错误;
C.28的真因数是1,2,4,7,14.∵1+2+4+7+14=28,∴28是完美数,故C选项正确;
D.32的真因数是1,2,4,8,16.∵1+2+4+8+16=31≠32,∴32不是完美数,故D选项错误.故选C.
3.(2024湖南)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若x,y均为整数,则称点P为“整点”,特别地,当(其中xy≠0)的值为整数时,称“整点”P为“超整点”.已知点P(2a-4,a+3)在第二象限,下列说法正确的是(　　)
A.a<-3
B.若点P为“整点”,则点P的个数为3
C.若点P为“超整点”,则点P的个数为1
D.若点P为“超整点”,则点P到两坐标轴的距离之和大于10
C
[解析]∵点P(2a-4,a+3)在第二象限,∴
解得-34.(2024遂宁)如图T5-2①,△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,
∠C≠∠C1,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②,在△ABC中,
AB=AC,点D,E在线段BC上,且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形”(　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
图T5-2
D
[解析]∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△ABE和△ACD中,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴AE=AD.
∵AB=AB,∠B=∠B,AD=AE,∠BAD≠∠BAE,∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”.同理可得,△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”,△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”,△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”,∴图中的“伪全等三角形”共有4对.故选D.
5.(2025成都)分子为1的真分数叫做“单位分数”,也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和,如:.将拆分成两个单位分数相加的形式为　　　　 　　　　;一般地,对于任意奇数
k(k>2),将拆分成两个不同单位分数相加的形式为　　　　　　　　　　.
[解析].
当k=3=2×1+1时,,
当k=5=2×2+1时,,
当k=7=2×3+1时,,
…
当k=2n+1时,.
又∵n=,
∴对于任意奇数k(k>2),.
故答案为,.
新题型突破篇
类型三　方法学习型阅读题
阅读理解:对于x3-(n2+1)x+n这类特殊的代数式,可以按下面的方法分解因式:
x3-(n2+1)x+n=x3-n2x-x+n=x(x2-n2)-(x-n)=x(x-n)(x+n)-(x-n)=(x-n)(x2+nx-1).
理解运用:如果x3-(n2+1)x+n=0,那么(x-n)(x2+nx-1)=0,即有x-n=0或x2+nx-1=0,因此,方程x-n=0和x2+nx-1=0的所有解就是方程x3-(n2+1)x+n=0的解.
解决问题:方程x3-5x+2=0的解为　　 　　.
例
4
典题精讲
x=2或x=-1+或x=-1-
[解析]∵x3-5x+2=0,∴x3-4x-x+2=0.
∴x(x2-4)-(x-2)=0.
∴x(x+2)(x-2)-(x-2)=0.
∴(x-2)[x(x+2)-1]=0,
即(x-2)(x2+2x-1)=0.
∴x-2=0或x2+2x-1=0,解得x=2或x=-1±.
∴方程的解为x=2或x=-1+或x=-1-.
(2024滨州)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题:
题型精练
14.如图T5-3,在锐角△ABC中,探究,,之间
的关系.(提示:分别作AB和BC边上的高.)
【得出结论】.
【基础应用】在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,BC=2,利用以上结论求AB的长.
图T5-3
【推广证明】进一步研究发现,不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足=2R(R为△ABC外接圆的
半径).
请利用图T5-4①证明:=2R.
【拓展应用】
如图②,在四边形ABCD中,AB=2,BC=3,
CD=4,∠B=∠C=90°.求过A,B,D三点的
圆的半径.
图T5-4
【基础应用】在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,BC=2,利用以上结论求AB的长.
图T5-3
解:【基础应用】
∵∠B=75°,∠C=45°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=60°.
∵,∴,
即,解得AB=.
【推广证明】
请利用图T5-4①证明:=2R.
图T5-4
【推广证明】
证明:过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥AB于点E,
连接AO并延长,交☉O于点F,连接CF,如图①所示.
∵,
∴a·csin B=c·bsin∠BAC,
∴.
同理可证,,
∴.
∵AF是☉O的直径,∴∠ACF=90°.
∵∠B=∠AFC,
∴sin B=sin∠AFC=,
∴=2R,
∴=2R.
【拓展应用】
如图②,在四边形ABCD中,AB=2,BC=3,CD=4,∠B=∠C=90°.求过A,B,D三点的圆的半径.
图T5-4
【拓展应用】
连接DB,如图②所示.
∵BC=3,CD=4,∠C=90°,
∴BD==5,
∴sin∠BDC=.
∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°,
∴AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC,∴sin∠ABD=.
过点A作AE⊥CD于点E,则四边形ABCE是矩形,
∴CE=AB=2,AE=BC=3,∴DE=CD-CE=4-2=2,
∴AD=,
∴,
∴过A,B,D三点的圆的半径为.
新题型突破篇
类型四　类比探究型阅读题
(2024达州)在学习特殊的平行四边形时,我们发现正方形的对角线等于其边长的倍.
某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系进行探究,具体如下:如图T5-5.
(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,
∴AB2=AO2+BO2.
又∵AC=2AO,BD=2BO,
∴AB2=　　　　+　　　　.
化简整理,得AC2+BD2=　　　　.
例
5
典题精讲
图T5-5
AC2
BD2
4AB2
【类比探究】
(2)如图T5-6,若四边形ABCD是平行四边形,请说明边长与对角线的数量关系.
【拓展应用】
(3)如图T5-7,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,E为AO的中点,F为BC的中点,连接EF.若AB=8,BD=8,AC=12,直接写出EF的长度.
图T5-6
图T5-7
【类比探究】
(2)如图T5-6,若四边形ABCD是平行四边形,请说明边长与对角线的数量关系.
图T5-6
解:(2)AC2+BD2=2AB2+2AD2.理由如下:
如图①,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB,
交AB的延长线于点F,
∴∠DEA=∠DEB=∠CFB=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠CBF.
在△DAE和△CBF中,
∴△DAE≌△CBF(AAS),∴AE=BF,DE=CF.
在Rt△DBE中,BD2=DE2+BE2=DE2+(AB-AE)2,
在Rt△CAF中,AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+BF)2,
∴BD2+AC2=DE2+(AB-AE)2+CF2+(AB+BF)2
=2DE2+AB2-2AB·AE+AE2+AB2+2AB·AE+AE2
=2(DE2+AE2)+2AB2
=2AD2+2AB2,
∴AC2+BD2=2AB2+2AD2.
【拓展应用】
(3)如图T5-7,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,E为AO的中点,F为BC的中点,连接EF.若AB=8,BD=8,AC=12,直接写出EF的长度.
图T5-7
(3)EF=.
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,AB=8,BD=8,AC=12,
由(2)知AC2+BD2=2AB2+2AD2,∴122+82=2×82+2AD2,
解得AD=2(负值不符合题意,已舍去).
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,
∴BC=AD=2,AO=CO=AC=6,BO=DO=BD=4.
如图②,过点E,O分别作BC的垂线,垂足分别为M,G,连接OF.
∵F为BC的中点,OA=OC,∴BF=BC,OF=AB=4=BO.
∵OG⊥BF,∴BG=GF=BF=BC=,∴CG=BC-BG=.
在Rt△OGC中,由勾股定理,得
OG=.
∵E为AO的中点,∴EO=AO.∵OA=CO,∴EO=CO,∴.
∵EM⊥BC,OG⊥BC,∴EM∥OG,
∴,∴MG=CG=,∴MF=MG+GF=.
∵EM∥OG,∴△COG∽△CEM,∴,∴EM=OG=.
在Rt△EMF中,由勾股定理,得EF=.
在解决几何问题时,通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题.
【问题情境】
(1)如图T5-8,在正方形ABCD中,E,F,G分别是边BC,AB,CD上
的点,FG⊥AE于点Q,判断线段AE,FG的数量关系,并证明.
题型精练
图T5-8
解:(1)AE=FG.
证明:如图①所示,过点B作BH∥FG,交AE于点K,
交CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AB=BC,∠ABE=∠C=90°,
∴四边形BFGH是平行四边形,
∴BH=FG.
∵FG⊥AE,∴BH⊥AE,∴∠BKE=90°,
∴∠KBE+∠BEK=90°.
∵∠BEK+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CBH.
在△ABE和△BCH中,
∴△ABE≌△BCH(ASA),
∴AE=BH,∴AE=FG.
【尝试应用】
(2)如图T5-9,在正方形网格中,点A,B,C,D均为格点,AB交CD于点O,求tan∠AOC的值.
图T5-9
(2)将线段AB向右平移1格至FD处,连接CF,如图②所示,∴∠AOC=∠FDC.
设小正方形的边长均为1,则AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4,
∴由勾股定理,得CF=,
CD==2,
DF==5.
∵()2+(2)2=52,
∴CF2+CD2=DF2,∴∠FCD=90°,
∴tan∠AOC=tan∠FDC=.
【拓展提升】(3)如图T5-10,P是线段AB上的动点,分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF,连接DE,BC,DE与BC,PC分别相交于点M,N.
①求∠DMC的度数;
②连接AC,交DE于点H,求的值.
图T5-10
(3)①连接AF,PE,PD,如图③.
∵四边形APCD和四边形PBEF均是正方形,
∴AP=CP,PB=PF,∠APC=∠CPB=90°,
∠CPD=∠FPE=45°,DP=AP,PE=PF,
∴∠DPE=90°,△APF≌△CPB(SAS),
∴∠BCP=∠FAP,BC=FA.
∵,∠DPE=∠APF,∴△DPE∽△APF,∴∠PCB=∠PAF=∠PDE.
∵∠DNC=∠CPD+∠PDE=∠DMC+∠PCB,
∴∠DMC=∠CPD=45°.
①求∠DMC的度数;
图T5-10
②连接AC,交DE于点H,求的值.
图T5-10
②如图③.
∵∠PDC=∠PAC=45°,∠PDE=∠PAF,
∴∠CAF=∠CDH.
又∵∠ACF=∠DCH=45°,
∴△DCH∽△ACF,
∴.
∵BC=AF,∴.
Thanks!
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