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(共42张PPT)
2026中考数学专项复习 精讲课件
05项目化主题学习（3类）
新题型突破 精讲课件
类型一　与一次函数有关的项目化问题
类型二　与二次函数有关的项目化问题
类型三　与解直角三角形有关的项目化问题
新题型突破篇
类型一　与一次函数有关的项目化问题
(2025云南)请你根据下列素材,完成有关任务.
例
1
角度 　生活中的情境背景
背景 某校计划购买篮球和排球,供更多学生参加体育锻炼,增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等.
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元.
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个,篮球和排球均需购买,且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务 任务一 每个篮球和排球的价格分别是多少元
任务二 给出最节省费用的购买方案.
解:任务一:设每个篮球的价格是x元,每个排球的价格是y元.
根据题意,得解得
答:每个篮球的价格是150元,每个排球的价格是100元.
任务一 每个篮球和排球的价格分别是多少元
任务二:设购买m个篮球,该校购买篮球和排球共花费w元,则购买(60-m)个排球.
根据题意,得w=150m+100(60-m)=50m+6000.
∵k=50>0,∴w随m的增大而增大.
∵购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍,
∴60-m≤2m,解得m≥20,
∴当m=20时,w取得最小值,
此时60-m=60-20=40.
故最节省费用的购买方案是购买20个篮球,40个排球.
任务二 给出最节省费用的购买方案.
(2025吉林)【知识链接】
实验目的:探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程:如图T6-1①,在两个完全相同的溢
水杯中,分别盛满甲、乙两种不同密度的液
体,将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小
铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方,从离
桌面20 cm的高度,分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中,通过观察弹簧测力计示数的变化,探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计)
例
2
角度 　跨学科背景
图T6-1
实验结论:物体在液体中所受浮力的大小,跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大,浮力就越大.
总结公式:当小铝块位于液面上方时,F拉力=G重力;当小铝块浸入液面后,F拉力=
G重力-F浮力.
图T6-1
【建立模型】在实验探究的过程中,实验小组发现:弹簧测力计A,B各自的示数F拉力(N)与小铝块各自下降的高度x(cm)之间的关系如图②所示.
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数;
(2)当6≤x≤10时,求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式;
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,
甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N),若使乙
液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液
体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写出m,n
的值.
图T6-1
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数;
图T6-1
解:(1)当小铝块下降10 cm时,弹簧测力计A的示数为2.8 N,弹簧测力计B的示数为2.5 N.
(2)当6≤x≤10时,求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式;
图T6-1
(2)当6≤x≤10时,设弹簧测力计A的示数
F拉力关于x的函数解析式为F拉力=kx+b.
将(6,4)和(10,2.8)分别代入,
得解得
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=-0.3x+5.8.
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N),若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写出m,n的值.
图T6-1
(3)m=0.6,n=1.6.
[解析] 根据图象,知圆柱体小铝块所受重力为4 N.
在F拉力=-0.3x+5.8中,当x=8时,F拉力=-0.3×8+5.8=3.4,4-3.4=0.6(N),∴m=0.6.
当6≤x≤10时,设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=k1x+b1.
将(6,4),(10,2.5)分别代入,得解得
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计B的示数F拉力关于
x的函数解析式为F拉力=-0.375x+6.25.
当F拉力=3.4时,-0.375x+6.25=3.4,解得x=7.6,
7.6-6=1.6(cm),∴n=1.6.
新题型突破篇
类型二　与二次函数有关的项目化问题
学科实践
问题情境:2024年12月4日,中国春节申遗成功,进一步提升了中华文化的国际地位.“放烟花”作为春节的一项习俗,象征着辞旧迎新,庆贺新年的到来.
驱动任务:烟花燃放升空后形成五彩缤纷的图案.某数学研习小组对某款烟花燃放时的相关问题展开研究.
研究步骤:(1)一枚高50 cm的烟花AB,垂直放置在地面MN上,烟花燃放升空到燃烧物下落的过程可以近似看作若干条抛物线.如图T6-2,抛物线l1、抛物线l2是燃烧物落地点距离烟花底部A最远的两条抛物线,抛物线l1与l2关于AB对称;
(2)烟花燃放时,抛物线l1的最高点C距离地面MN0.9 m,与烟花AB的水平距离为4 m.
例
3
图T6-2
问题解决:请根据以上研究步骤,完成下列任务.
(1)以地面MN所在直线为x轴,以烟花AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,请在图中画出坐标系,并求抛物线l1的表达式;
(2)当烟花燃尽时,求燃烧物落地点D与烟花的水平距离;
(3)为了安全考虑,工作人员设置了一圈警戒线标识,要求观赏者距离燃烧物落地点至少2.5 m.至少需要多长的警戒线 (不考虑接口处所需警戒线,结果保留整数)
图T6-2
(1)以地面MN所在直线为x轴,以烟花AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,请在图中画出坐标系,并求抛物线l1的表达式;
图T6-2
解:(1)如图所示.
∵AB=50 cm=0.5 m,∴点B的坐标为(0,0.5).
由题意知点C的坐标为(4,0.9).
设抛物线l1的表达式为y=a(x-4)2+0.9.
将B(0,0.5)代入y=a(x-4)2+0.9,得0.5=a(0-4)2+0.9,
解得a=-,
∴抛物线l1的表达式为y=-(x-4)2+0.9.
(2)当烟花燃尽时,求燃烧物落地点D与烟花的水平距离;
图T6-2
(2)在y=-(x-4)2+0.9中,
令y=0,则0=-(x-4)2+0.9,
解得x1=10,x2=-2(不合题意,舍去).
答:当烟花燃尽时,燃烧物落地点D与烟花的水平距离为10 m.
(3)为了安全考虑,工作人员设置了一圈警戒线标识,要求观赏者距离燃烧物落地点至少2.5 m.至少需要多长的警戒线 (不考虑接口处所需警戒线,结果保留整数)
图T6-2
(3)为了安全考虑,观赏者到烟花底部A的距离至少为10+2.5=12.5(m),
2π×12.5≈79(m).
答:至少需要79 m长的警戒线.
新题型突破篇
类型三　与解直角三角形有关的项目化问题
(2025吉林)综合与实践:确定建筑物的3D打印模型的高度
项目提出:如图T6-3是某城市规划展览馆,树人中学的3D打印社团为展示城市文化,准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型,需要测量并计算展览馆高度,为制作3D打印模型提供数据.
例
4
角度 　高度的测量
图T6-3
项目报告表 时间:2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
(续表)
项 目 实 施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据,并画出了如图T6-4所示的测量草图.
1.测出测角仪的高CD=1.4 m;
2.利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE=61°;
3.测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处的
距离DB=42 m.
任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据,计算该城市规划展览馆AB的高度.(结果精确到1 m)
(参考数据:sin 61°≈0.875,cos 61°≈0.485,tan 61°≈1.804)
图T6-4
(续表)
项目 实施 任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1∶400等比例缩小,得到其3D打印模型的高度约为　　　　cm.(结果精确到1 cm)
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据. 图T6-4
请结合上表中的测量草图和相关数据,帮助该社团完成任务二和任务三.
解:任务二计算实际高度:
由题意,得四边形EBDC为矩形,∴CE=DB=42 m,EB=CD=1.4 m.
∵在Rt△AEC中,∠AEC=90°,∠ACE=61°,
∴AE=CE·tan∠ACE=42×tan 61°≈75.8(m),
∴AB=AE+EB=75.8+1.4≈77(m).
答:该城市规划展览馆AB的高度约为77 m.
项目 实施 任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据,计算该城市规划展览馆AB的高度.(结果精确到1 m)
(参考数据:sin 61°≈0.875,cos 61°≈0.485,tan 61°≈1.804)
图T6-4
[解析]设3D打印模型的高度为x m.
由题意,得x∶77=1∶400,
解得x=0.1925,
∴3D打印模型的高度为0.1925 m.
∵0.1925 m=19.25 cm≈19 cm,
∴3D打印模型的高度约为19 cm.
图T6-4
项目 实施 任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1∶400等比例缩小,得到其3D打印模型的高度约为　　　cm.(结果精确到1 cm)
19
(2025新疆生产建设兵团)某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动,撰写实验报告如下:
例
5
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪、卷尺等
实验过程 1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处,由于大树CD的遮挡,视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处(此时F,C,E三点在同一直线上); 2.测量A,D两点和B,D两点间的距离; 3.用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG; 4.向后退至点H处时,视线恰能看到校徽底部M处(此时N,C,M三点在同一直线上),测量B,H两点间的距离; 5.用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG. (续表)
实验图示 图T6-5 测 量 数 据 1.AD=4 m;　　
2.BD=10 m;　　
3.BH=13.5 m;　
4.∠EFG=43°;　　
5.∠MNG=21.8°.
备注 1.图上所有点均在同一平面内; 2.AE,CD,FB,NH均与地面垂直. 参考数据:sin 21.8°≈0.37,cos 21.8°≈0.93,tan 21.8°≈0.40;sin 43°≈0.68, cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93. 请你根据以上实验过程和测量的数据,计算校徽的高度EM.
实验图示 图T6-5 测 量 数 据 1.AD=4 m;　　
2.BD=10 m;　　
3.BH=13.5 m;　
4.∠EFG=43°;　　
5.∠MNG=21.8°.
解:由题意,得四边形FGAB,四边形NHAG均为矩形,
∴FG=AB=AD+BD=4+10=14(m),NG=AH=AD+BD+BH=4+10+13.5=27.5(m).
∵在Rt△EFG中,tan∠EFG=,
∴tan 43°=≈0.93,∴EG=14×0.93=13.02(m).
∵在Rt△MNG中,tan∠MNG=,
∴tan 21.8°=≈0.40,∴MG=27.5×0.40=11(m),
∴EM=EG-MG=13.02-11=2.02(m).
答:校徽的高度EM约为2.02 m.
(2024新疆生产建设兵团)数学活动课上,为了测量学校旗杆的高度,某小组进行了以下实践活动:
(1)准备测量工具
①测角仪:把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处,细线的另一端系一个小重物,制成一个简单的测角仪(如图T6-6①),利用它可以测量仰角或俯角;
②皮尺.
例
6
图T6-6
(2)实地测量数据
①将这个测角仪用手托起,拿到眼前,使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点(如图②);
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8 m,眼睛到地面的距离为
1.6 m.
图T6-6
(3)计算旗杆高度
①根据图③中测角仪的读数,得出仰角α的度数为　　　　.
②根据测量数据,画出示意图如图④,AB=1.6 m,BC=16.8 m,求旗杆CD的高度(精确到0.1 m).(参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 55°≈0.82,
cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
③若测量者仍站在原处(点B),能否
用三角尺代替测角仪测出仰角α 若
能,请写出测量方法;若不能,该如何
调整位置才能用三角尺测出仰角α
请写出测量方法.
图T6-6
35°
②根据测量数据,画出示意图如图④,AB=1.6 m,BC=16.8 m,求旗杆CD的高度(精确到0.1 m).(参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 55°≈0.82,
cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)m
图T6-6
解:(3)②由题意,得AE=BC=16.8 m,CE=AB=1.6 m.
在Rt△ADE中,tan α=,
∴DE=AE·tan α≈16.8×0.70=11.76(m),
∴CD=CE+DE=1.6+11.76≈13.4(m),
即旗杆CD的高度约为13.4 m.
③若测量者仍站在原处(点B),能否用三角尺代替测角仪测出仰角α 若能,请写出测量方法;若不能,该如何调整位置才能用三角尺测出仰角α 请写出测量方法.
图T6-6
③∵三角尺只能测出30°,60°和45°,而仰角α为35°,
∴不能用三角尺代替测角仪测出仰角α.
如图,在AE上取点F,使EF=DE,
则△DEF为等腰直角三角形,∴∠DFE=45°,
∴EF=DE=11.76 m.
∵AE=16.8 m,∴AF=AE-EF=16.8-11.76≈5(m),
∴向右走5 m,用含45°角的三角尺测量即可(答案不唯一,
向左走用含30°角的三角尺测量也可以).
角度 　测量方案的设计
(2025临沂)【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射,开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞,制作了一个航天器模型,其中某个部件使用3D打印完成,如图T6-7①.
【问题提出】
部件主视图如图②所示,由于l的尺寸
不易直接测量,需要设计一个可以得
到l的长度的方案,以检测该部件中l的长度是否符合要求.
例
7
图T6-7
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献,提出了钢柱测量法.
测量工具:游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤:如图③,将两个钢柱平行放在部件合适位置,使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图④,☉O分别与AC,AD相切于点B,D.用游标卡尺测量出CC'的长度y.
图T6-7
【问题解决】
已知∠CAD=∠C'A'D'=60°,l的长度要求是1.9 cm~2.1 cm.
(1)求∠BAO的度数.
(2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm,现测得y=7.52 cm.根据
以上信息,通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据:≈1.73)
【结果反思】
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度,能将圆柱换成其他几何体吗 如果能,写出一个;如果不能,说明理由.
图T6-7
(1)求∠BAO的度数.
图T6-7
解:(1)∵☉O分别与AC,AD相切于点B,D,
∴∠BAO=∠OAD=∠CAD=30°.
(2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm,现测得y=7.52 cm.根据以上信息,通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据:≈1.73)
图T6-7
(2)∵钢柱的底面圆半径为1 cm,∴BC=OB=1 cm.
∵☉O与AC相切于点B,∴∠OBA=90°.
由(1)知∠OAB=30°,∴AB= cm,
∴AC=BC+AB=(1+)cm.
同理可得A'C'=(1+)cm,
∴l=7.52-2×(1+)≈2.06(cm).
∵1.9<2.06<2.1,∴该部件l的长度符合要求.
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度,能将圆柱换成其他几何体吗 如果能,写出一个;如果不能,说明理由.
图T6-7
(3)能.将圆柱换成正方体.
Thanks!
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