资源简介

2
025-2026 学年高二下学期期中测试
数学
现从全校的学生中随机抽取 20 名学生，设其中了解 deepseek 的学生的人数为 ，则当
值为（
A．11
取得最大值时的
）
注意事项：
.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔
将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，
再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，
B．10
C．9
D．8
（ ）
D．
1
6．若事件 A，B 满足
，
，
，则
2
A．
B．
C．
7．若函数
有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是（
）
3
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
A．
B．
C．
D．
8．已知实数
满足方程
，则
的取值范围是（ ）
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确
A．
B．
C．
D．
的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1
．若数列
的前 项和
，则下列结论正确的是（
）
二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，
A．
B．
部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开
C．
D．
设 6 天，则（ ）
2
．如图在直角梯形 ABCD 中，已知
，
，
，
，则
（
）．
A．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有 504 种
B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有 360 种
C．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有 24 种
D．课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有 480 种
1
0．已知公差 不为 0 的等差数列
的前 项和为 ，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
A．22
B．24
C．20
D．18
C．当
时， 中只有 最大
是椭圆
D．当
时，
3
4
．复数
（
）
1
1．已知
的两个焦点，点
在椭圆 上， 是椭圆 上的动点，
轴，垂
A．
B．
C．
D．
足为 ，且点
为
的中点，
轴，垂足为 ，且点
为
的中点，则（
）
A．
．已知集合
，
，则
（ ）
B．
C．
D．
的最小值为
A．
B．
C．
D．
面积的最大值为
面积的最大值为
5
．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各 50 名作
为样本，设事件
“了解 deepseek”， “学生为女生”，据统计 ，将样本的频率视为概率，
，
试卷第 1 页，共 3 页
三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分）
（17 分）18．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，P 为棱
上的动点，点 Q 为
1
1
2．已知函数
在区间
上单调递增，则实数 a 的取值范围为______.
的中点.
3．有 5 道题，5 名女生中有 2 人每题都不能答对，其余 3 人每题都能答对，3 名男生每人对每题答对的概率均为 .现从
上述 5 名女生中选择 2 名女生和 3 名男生答题，每人答一题，答对得 2 分，答错得 0 分，记得分之和为 ，则 的数学
期望为__________.
1
4．已知点 是椭圆
的下顶点，
是
的右焦点，延长
交
于点 ，若
，则
的
离心率为__________.
四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(1)若
，
（
13 分）15．已知函数
.
（
i）证明：
ii）求直线
平面
；
(1) 当
时，求曲线
的单调性；
在点
处的切线方程；
（
与直线
与平面
的所成角的余弦值；
夹角的余弦值为
(2)讨论
(2)若平面
，求
的值.
(3) 若
有极小值，且
，求 a 的取值范围.
（17 分）19．已知双曲线
:
的离心率为
，点
在双曲线 上．
（
15 分）16．已知数列
的前 项和为
，
，且
．
(1)求 的方程；
(1) 求
的通项公式；
，记数列
(2)已知直线
， 交
满足
的面积的最小值．
于
，
两点，
，若存在求出直线 的方程，若不存在请说明理由；
(2) 设
的前 项和为 ，求
．
①
②
是否存在直线
，求
若
（
15 分）17．甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为 80%，乙工厂试生产的零
件的合格率为 90%，若将这些零件混合放在一起，则合格率为 88%.
(1)设甲工厂试生产的零件有 m 件，乙工厂试生产的零件有 n 件，求证：
；
(2)从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率；
(3)已知这批混合零件共 10 件，甲厂 2 件，乙 8 件，从中不放回随机抽取 3 件，记这 3 件来自甲厂的个数为 ，求
分布列及期望.
的
试卷第 1 页，共 3 页
参考答案
1
．D
由
，得：
，
【
详解】当
，则
，
即随机抽取一名学生了解 deepseek 的概率
.
而
，显然不满足上式，所以
.故选：D
由题意，
（二项分布），则
，
2
．A
【
详解】解：因为
，
，
代入
令
得：
，
所以
，解得
最大时
.
，
即当
时，
时，
；
因为
，
，所以
，
当
，
因为直角梯形 ABCD，所以
，故
，
因此
.
6．A
所以原等式
【
详解】
，代入
，得到
，
又因为
所以
，
.
7．C
【
详解】
，
由函数
即当
有两个不同的极值点，故函数
有两个变号零点，
.故选：A
时， 有两个不同正实数根，
3
．B
令方程
有两个不同正实数根为
、
，
【
详解】根据复数的运算法则，可得
.故选：B.
则有
，
，则
，解得
，
4
．B
【
详解】由题可知
，
，所以
．
即实数 a 的取值范围是
.故选：C.
5
．C
8．A
【
详解】已知抽取男生、女生各 50 名，总样本 100 名，因此
.
【详解】
可知
，
两边平方整理可得，
，
根据条件概率公式
，代入
，
得：
该方程表示的是圆心为
，半径为 的圆的右半部分曲线，如下图：
答案第 1 页，共 2 页
11．ACD
【
详解】对于 A，
点
在椭圆 上，
故 A 正确.
，则
，解得
，
，
对于 B，设点
.将点 的坐标代入椭圆的方程
，
得
，即
，
点
的轨迹方程为
，
设
，则
显然该直线通过
当直线和圆相切于 时，斜率 最小。
是通过定点
的直线，
则
即
的最小值为点 到圆心的距离减去半径，
时，斜率 最大，最大斜率
，
，故 B 错误.
由圆心
到直线
，即
的距离是
，解得
，即
，
对于 C，由 B 可知，
为
，则当
，故 C 正确.
在第一象限，
.
时，
的面积最大，
于是
.故选：A
9
．ABD
对于 D，由椭圆对称性，设点
，
【
详解】对于 A，应用间接法，总排法
，
减去“数”在第一天的排法
种和“礼”在最后一天的排法
种，
再加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的排法
即不同排法共有 种，故 A 正确；
对于 B，“射”与“御”的相对位置有 2 种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等．
种，
，
当且仅当
时，等号成立，
面积的最大值为 ，故 D 正确.
总排法数为
，故 B 正确；
对于 C，课程“御”、“书”、“数”互不相邻，则可先排“礼、乐、射”，有 种排法，
产生 4 个空位，将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从 4 个空位选 3 个排列，即
．
故排法数为
，故 C 错误；
对于 D，要使课程“御”和“书”不相邻，
只需将课程“御”和“书”在另外四门课留下的 5 个空中选 2 个安排，有 种排法，
再将另外四门课进行全排有 种排法，则不同排法共有
0．ABD
详解】对于 A，等差数列
种，故 D 正确.
1
【
中，
，有
，有
和
，可得
，故 A 正确；
1
2．
对于 B，由
对于 C，由
对于 D，由
，故 B 正确；
最大，故 C 错误；
【
详解】由题可知函数
在
上单调递增，则
，
，有
，所以
参变分离得到
，令
，
.
，
，有
，故 D 正确．故选：ABD．
答案第 1 页，共 2 页
当
当
当
时，
，
单调递增；
单调递减.
，所以
故答案为：
5．(1)
.
1
时，
，
(2)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增
时
取最大值
.
(3)
即实数 a 的取值范围为
.
【
分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出
处的导数值即切线斜率，再求出
时判断导函数在定义域内恒正，
对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.
1
3．
/5.4
（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域
，按参数 的正负分类讨论；
【
分析】列出 所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据
直接得出函数单调递增；
汇总两种情况的单调结论.
时以
为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后
独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可.
【
详解】 的可能取值为
，
（
3）先借助第二问单调性确定
时函数在
处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由
；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点
恒成立
转化为最小值大于等于 0，化简不等式后构造新函数
，利用单
调性分析出使不等式成立的 的取值区间.
【
详解】（1）当
时，
，所以
，
所以切线方程为
即
，
（
若
若
当
2）
，可得
时，当
时，
时，
，所以
在
上单调递增；
上单调递减；
上单调递增；
上单调递增；
上单调递增.
有极小值，极小值为
，可得
，
，所以
在
，
时，
，所以
在
在
综上所述：当
时，
，
当
时，
在
上单调递减，在
时，
所以 的数学期望
.
（3）由（2）可知当
，
1
4．
此时极小值也是最小值，由
，
，
【
【
分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率.
又
令
，所以
详解】设椭圆 的焦距为 ，设
，所以
，因为
，所以
，求导得
上单调递减，又
，当
，
，
即
，即
，
所以
当
在
，
时，
时，
，
，
因为点 在椭圆 上，所以
，所以
，所以 的离心率为
.
所以
时，
，此时满足
所以 a 的取值范围
答案第 1 页，共 2 页
乙工厂试生产的 件零件的合格率为 90%，则合格零件为
件，
件，合格率为 88%，则混合后合格零件为
，化简得 ，即
1
6．(1)
混合后，总零件为
依题意，
件，
.
(2)
（2）设甲工厂试生产的零件有 件，乙工厂试生产的零件有 件，由（1）知
，
事件
事件
事件
则
“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”，
“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”，
“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”，
，
【
（
【
分析】（1）利用
2）结合（1），再利用错位相减即可求出
详解】（1）因为 ，所以
来变形，可得数列
是常数列，进而即可求得其通项；
．
，
，
两式相减可得
所以
，
所以所求概率
3）依题意， 的所有可能值为
.
，所以数列
是常数列，
（
，
又
，所以
，所以
，
，
所以
．
所以 的分布列为：
0
1
2
（
则
2）结合（1）得
，
，
两边乘以 4 可得：
，
数学期望
.
两式相减得：
，
18．(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)2
【
分析】（1）（i）可利用中位线找平行关系，利用线面平行的判定定理证明即可；（ii）通过建立空间直角坐标系，再利
用向量夹角公式计算即可；
2）设出 P 点坐标，分别求出两个平面的法向量，再利用法向量夹角公式建立方程求解即可.
，
（
即
．
【详解】（1）（i）因为
P
，
所以
的中点，所以
的中位线，
为
的中点，
，且 Q 为
1
7．(1)证明见解析；
连接
所以
所以
，因为 Q 为
的中点，
(2)
(3)
；
为
0
1
2
，
因为
所以
平面
平面
，
平面
，
.
.
（
ii）取
的中点 O，
的中点 E，连接
为直棱柱，且 的中点为
，又因为 ，且
，
，
，
【
（
（
【
分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证.
2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得.
因为三棱柱
的中点 E，
3）求出 的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
详解】（1）甲工厂试生产的 件零件的合格率为 80%，则合格零件为
件；
所以
平面
的中点为 ，所以
，
答案第 1 页，共 2 页
所以
，
，
两两垂直，以 为原点，直线
，
，
，
分别为 x 轴，y 轴，z 轴，
②
【
建立如图所示的空间直角坐标系，因为
，
，
分析】(1)利用双曲线离心率及
之间的关系得到双曲线方程；
(2)设出两个交点，将直线与双曲线方程联立得到两个根的关系式，①运用向量法将
转化为 ，整理出参数方程最终得到直线方程；
的面积，首先得到弦长 到直线 的距离 ，再表示三角形面积，利用单调性求出面积最小值即
所以
所以
，则
，
，
，
，
，
，
②
为得到
，
可.
【
由
详解】（1）因为
，代入得
在双曲线上，代入
，故
.
，则
.
又因为
故双曲线方程为
2）由题可设
整理得
，得
，则
，
.
（
，将
代入双曲线
中，
所以
，
，由根与系数关系得，
故直线
与直线
的所成角的余弦值为
.
，
（
又
2）在（ii）的坐标系下，设
（
），
，则
，
.
①
令
不存在符合的直线.
设平面
则
的一个法向量为
即
，
，
由
将
得
，即
，
取
，则
，
，
，
代入上式得，
，
所以
易知
所以
为平面
的一个法向量，
，
展开并整理
，
将根与系数关系代入
，
整理得
所以
，解得
或
（舍），
化简整理得
，解得
.
.
因此直线方程为
.
1
9．(1)
检验，此时直线与双曲线的两个交点为
答案第 1 页，共 2 页
，
与
重合，不构成垂直关系，
(2)①不存在，详见解析
因此不存在满足条件的直线.
②
弦长
，
到直线 的距离
，
，
令
故
，可知
，所以
在
单调递增，
的面积最小值为
.
答案第 1 页，共 2 页

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